高二数学教案322复数代数形式的乘除运算新人教A版选修12

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1、3.2.2复数代数形式的乘除运算(教师用书独具)三维目标1知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法那么，了解共轭复数的概念2过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图3情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算难点：复数除法法那么的运用(教师用书独具)教学建议 建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的根底上可利用一下教学方法及手段完本钱节教学：(1)类比分析法，通过比照多项式的乘法法那么推出复数乘法法那么(

2、2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法那么和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法那么(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法那么，及其满足的运算律引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法完成互动探究完成当堂双基达标，稳固所学知识及应用方法并进行反应矫正归纳整

3、理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导通过易错辨析纠正运算中出现的错误让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法老师组织解法展示，引导学生总结解题规律课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念(易错点)复数的乘法【问题导思】1如何规定两个复数相乘？【提示】两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成1，并且把实部与虚局部别合并即可2复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】

4、满足(1)设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，那么z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数的除法与共轭复数【问题导思】如何规定两个复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？【提示】.(1)z1abi，z2cdi(a，b，c，d为实数，cdi0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成的形式再把分子与分母都乘以cdi化简后可得结果：i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为

5、相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，那么abi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算(1)(2021课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，那么z()A1iB1iC1iD1i(2)(2021大纲全国卷)(1i)3()A8 B8 C8i D8i(3)计算()6_.【思路探究】(1)先设出复数zabi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值(2)直接利用复数的乘法运算法那么计算(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并【自主解答】(1)设zabi，那么(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i.根据复数相等的充要条件得解得z1i.应

6、选A.(2)原式(1i)(1i)2(1i)(22i)26i28.(3)法一原式6i61i.法二原式6i61i.【答案】(1)A(2)A(3)1i1复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成abi(a，bR)的形式2记住以下结论可以提高运算速度(1)(1i)22i，(1i)22i；(2)i，i；(3)i.计算：(1)(1i)2；(2)(i)(i)(1i)；(3).【解】(1)(1i)212ii22i.(2)(i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)(i)(1i)iii.(3)i.虚数单位i的幂的周期性及其应用(1)计算：()2 0

7、13；(2)假设复数z，求1zz2z2 013的值【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解【自主解答】(1)原式()21 006()i()1 006ii1 006i(2)1zz2z2 013，而zi，所以1zz2z2 0131i.1要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解在本例(2)中假设zi，求1zz2z2 013的值【解】由题意知1zz2z2 0131ii2i2 0131i.原式1i.共轭复数的应用设z1，z2C，Az1z2，Bz1z2，问A与

8、B是否可以比拟大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式化简A，B判断A，B是否同为实数结论【自主解答】设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，那么abi，cdi，Az1z2(abi)(cdi)(cdi)(abi)acadibcibdi2acbciadibdi22ac2bdR，Bz1z2|z1|2|z2|2a2b2c2d2R，A与B可以比拟大小1z|z|2|2是共轭复数的常用性质2实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数3假设z0且z0，那么z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数zC，为z的共轭复数，假设z3i13i，求z.【解】设zabi(a，b

9、R)，那么abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，那么有，解得或，所以z1或z13i.记错i2值而致误设复数z满足i，那么z()A2iB2iC2i D2i【错解】设复数zabi(a，bR)满足i，所以12iaib.解得所以z2i，应选D项【答案】D【错因分析】将i21当成i21来运算漏掉负号【防范措施】在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用【正解】设复数zabi(a，bR)满足i，所以12iaib.解得所以z2i，应选C项【答案】C1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的

10、乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的根本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.1(2021北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(1,3)B(3,1)C(1,3) D(3，1)【解析】13i，其对应点的坐标为(1,3)，选A.【答案】A2(2021安徽高考)设i是虚数单位，假设复数a(aR)是纯虚数，那么a的值为(

11、)A3 B1C1 D3【解析】因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.【答案】D3假设x2yi和3xi互为共轭复数，那么实数x_，y_.【解析】由题意得：【答案】114计算：(1)(1i)(i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.【解】(1)法一(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.法二原式(1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.一、选择题1复数(2i)2等于()A34iB54iC32i D52i【解析】(2i)244ii244i134i.应选A.【答案】A2i是虚数单位，

12、复数()A1i B1iC1i D1i【解析】1i.【答案】C3(2021课标全国卷)假设复数z满足(34i)z|43i|，那么z的虚部为()A4 BC4 D【解析】(34i)z|43i|，zi，z的虚部为.【答案】D4假设z6，z10，那么z()A13i B3iC3i D3i【解析】设zabi(a，bR)，那么abi，解得a3，b1，那么z3i.【答案】B5(2021湖北高考)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】z1i，所以1i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限【答案】D二、填空题6(2021江苏高考)设z(2i

13、)2(i为虚数单位)，那么复数z的模为_【解析】z(2i)234i，所以|z|34i|5.【答案】57假设abi(a，b为实数，i为虚数单位)，那么ab_.【解析】(3b)(3b)ii.解得ab3.【答案】38当z时，z2 012z2 014_.【解析】z，z2i，z2 012(i)2 0121，z2 014(i)2 0141，z2 012z2 014110.【答案】0三、解答题9计算以下各题：(1)；(2)(i)5()4()7；(3)(i)12()8.【解】(1)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.(2)(i)5()4()7i()5(1i)22(1i

14、)2i716(1i)i(16)(161)i.(3)(i)12()8(i)12(i)12()8(i)12(i)34(88i)188i78i.10复数z，假设z20，求纯虚数a.【解】z1i，a为纯虚数，设ami(mR，m0)，那么z2(1i)22i(2)i0，m4，a4i.11定义运算adbc，那么满足0的复数z所对应的点在第几象限？【解】结合adbc可知z(1i)(1i)(12i)0，z2i，复数z所对应的点在第四象限.(教师用书独具)z1、z2C，z12z2R，且1，求证：z23z1为纯虚数【思路探究】由题目条件推出(z23z1)2，再证明其小于0即可【自主解答】1，10z5z2z1z2，即

15、z4z4z1z29zz6z1z2，也即(z12z2)2(3z1z2)2.z12z2R，z10，z20，(z12z2)20，(3z1z2)20，(3z1z2)2为负实数，z23z1为纯虚数1证明z为纯虚数的方法：(1)设zabi(a，bR)，证明a0且b0；(2)z20z为纯虚数；(3)z0，且z0为纯虚数2证明zR的方法：(1)设zabi(a、bR)，证明b0；(2)zRz；(3)zRz20；(4)zR|z|2z2.设zabi(a、bR)，假设R，那么a、b应满足什么条件？并说明理由【解】R，b(a2b21)0，b0或a2b21.复数复数的概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的运算复数的减法法那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d|z1z2|复数的加法法那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i复数加法的几何意义复数的乘法法那么(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i复数的除法法那么i(cdi0)