243正多边形和圆（第1课时）

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1、问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等的多边形是正多边形各角也相等的多边形是正多边形.正多边形的性质正多边形的性质60正正n边形内角和：边形内角和：(n2)180108 每条边都相等每条边都相等 每个角都相等每个角都相等135 轴对称图形轴对称图形， 一个正一个正n边形共有边形共有n条对称轴条对称轴， 每条对称轴都通过每条对称轴都通过n边形的边形的中心中心.正多边形的性质正多边形的性质正五边形正五边形正八边形正八边形正三边形正三边形什么叫中心？什么叫中心？ 边数是边数是偶数偶数的正多边形的正多边形 是是中心对称图形中心对称图形， 它的它的中心

2、中心就是就是对称中心对称中心.正八边形正八边形正六边形正六边形正多边形的性质正多边形的性质你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆只要把一个圆分成相等的一些弧分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多就可以作出这个圆的内接正多边形边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆这个圆就是这个正多边形的外接圆. 如图如图,把把 O分成把分成把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依依次连接各分点得到正五边形次连接各分点得到正五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABBCCDDEEA，3.BCECDAAB

3、ABCDEO同理同理B=C=D=E.又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在 O上上, 五边形五边形ABCD是是 O的内接正五边形的内接正五边形, O是五边形是五边形ABCD的外接圆的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明.ABCD正多边形正多边形外接圆外接圆内接正多边形与外接圆的联系内接正多边形与外接圆的联系正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.O中心角中心角半径半径R边心距边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的形的中心中心.外接圆的半径叫

4、做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距.EFCD.n360中心角nBOGAOG180AB边心距边心距OG把把AOB分成分成2个全等的直角三角形个全等的直角三角形.设正多边形的边长为设正多边形的边长为a，半径为，半径为R，它的周长，它的周长为为L = na.Ra）边心距（）边心距（面积，边心距）（rnarLSraR2121222正多边形的有关计算正多边形的有关计算例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基的求地基的周长和面积周长和面积(精确到精确到0.1m2).

5、解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.360606因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距22422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr练习练习1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?为什么为什么?矩形不是正多边形，因为四

6、条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角各角都相等的圆内接多边形呢都相等的圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么;如果不是如果不是,举出反例举出反例.各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1

7、An,12233411.nnnA AA AA AAAA A23341452121.nnA A AA A AA A AA A A123.nAAAA 多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO3.分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=1.2R在在RtABD中中 BAD=30,1322ADOAODRRR，cosADBADAB，323 .c

8、oscos30RADABRBAD21133 33.2224ABCSBC ADRRRABCDO解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR边心距22222BCBERR边长2222ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE 1. 正正n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;中心角是中心角是_；正多边形的中心角与外角的正多边形的中心角与外角的大小关系是大小关系是_.n360nn1802）（相等相等 2. O是正是正ABC的中心

9、，它是的中心，它是ABC的的_圆与圆与_圆的圆心圆的圆心.外接外接内切内切ABCDE3. 求证：正五边形的对角线相等求证：正五边形的对角线相等.证明：连结证明：连结BD、CE，则，则 在在BCD和和CDE中中 BC=CD BCD=CDE CD=DE BCD CDE BD=CE 同理可证对角线相等同理可证对角线相等. 4. 正六边形正六边形ABCDEF外切于外切于 O， O的半径的半径为为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？，则该正六边形的周长和面积各是多少？266323421621 34126 33130tan ,30tan ， ,3021 , ., OBO, :RRROMABSRAMABP

10、ROMAMOMAMROMAOBAOMAOMRtBMAMMABOMOMOA、M，AB中在于则连结于切设如图解ABCDEFOMR 5. A是半径为是半径为2的的 O外的一点外的一点,OA=4,AB是是 O的切线的切线,点点B是切点是切点,弦弦BCOA,边结边结AC,则则图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积等于 ( )A. 32360260 60 , 2, 4 , D.BOAC, OB,OC,，2故选由同底等高知交于点设连结如图扇形阴影COBADBOCDSSCODOABDOBOASSABCDO332 D. C. 38 B. 32 A. AABCDEF6. 已知正六边形已知正六边形ABCDEF的边

11、长为的边长为2厘米厘米, 分分别以每个顶点为圆心别以每个顶点为圆心, 以以1厘米为半径作弧厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形求这些弧所围成的图形(阴影部分阴影部分)面积面积.(精精确到确到0.1平方厘米平方厘米).HG)4.1( 236 360112062436 6222cmSSSAGH扇形正六边形阴O2)233()2(36 2 )( 2 ,120 , , :aSSSSSSSSSSSSCOAAOCCOAAOCCOAOOAOCAOCAOCOAOCAOCOAOCCOAAOCOAOCAOC扇形小弓形阴影扇形扇形弓形小弓形则连结的圆心为设如图解5. 等边等边ABC的边长为的边长为 a ,以各边为弦

12、作以各边为弦作弧交于弧交于ABC的外心的外心O. 求求:菊形的面积菊形的面积.ABCOO正正多多边边形形概念概念计算计算画法画法应用应用正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的对称性、相似性正多边形的对称性、相似性半径、边心距、中心角的计算半径、边心距、中心角的计算边长、面积的计算边长、面积的计算量角器等分圆周画正多边形量角器等分圆周画正多边形尺规作正方形、正六边形等尺规作正方形、正六边形等圆的周长、弧长及组合图形周长的计算圆的周长、弧长及组合图形周长的计算圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算