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1、过程证明：MeT,XQ)N(O,D(1)，所以有心=2,申=1DD(t)空2渔“DtYZ)(02Dt)EX2(/)2=EX4(r)=3D2(r)l不均方收敛。3. 证明若1,i.mX”=X,则X”的特征函数收敛于X的特征函数。H证因为对于函数f(x)=eitxxeR,有卩(兀)|=”严勻小从而|/(x)-/(j)|oo8即lim=AnT8于是(px(r)=lim(px(r)=lim/3=/宀xTOOx-8故X是Poisson随机变量。5假设点，是独立同分布的随机变量列，EC。)=AO,V=Vp服从参数为的指数分布，且与独立，令+和证明：当“TO时，卩匚的极限分布是参数为*的指数分布。(1A证明
2、：设耳严诞严PG忒+赢，令gE1,丿即证佈依分布收敛于由特征函数与分布函数之间的唯一确定关系，故只需证明佈的特征函数收敛丁宅的特征函数。记0(町二疋/細二一一Lp-iuEe严匕打k=k=穴(1-尹)卩伽)丁;1-eP(p(pu)-eeP(ppu)l-e(p(pu)r/、u-以七n)lim%(w)=lim0竹“TOeP(P(Pu)_ii屮jfu为g的特征两数，所以当T0时的极限分布是参数为-的指数分布。6设X(z)=Az2+Bz+C,A、B、C是相互独立的标准正态随机变最，讨论随机过程X(/),-oovrv+oo的均方连续性，均方可积性和均方可导性.解：Rx(s,t)=EX(5)X(/)=EA2
3、s2t2+B2st+C2+0=S2t2+*+1R(s,/)为连续函数，故X(r)均方连续、均方可积，考虑其广义二阶导数R(t+力+k)R(t+h、t)R(t、t+k)+R(t、f)lim/oETOhkv(t+h)(t+k)f+(/+)(/+一(/+力)/_切上)一=limvR)+1-(r+/l)2/2hk1_/2(/+2_&+1+/2/2+/2+1RTO(t+h)?k(2t+R)+kt+h)k(2t+k)tk=lim中t?hkR-0十k(2t+k)h(2t+h)+kh=limkhflTl)*-()=4?+1故X(/)均方可导。7设W(tt0是参数为k的维纳过程求随机过程x(/)no的均值函数和
4、协方差函数.解：令y(r)=w(w)dw则丫,宀0为W)A0的均方不定积分。Ex(r)/?x(M)=Ex(5)X(/)=-Ey(5)y(r)JI=R(u,v)dudvs/JoJwu=一fa2min(M,v)dudvStJoJoI(j2s2-(3/-5)05Zst6=V-1-z-y-2/-2-(3$/)0/0是平均率为久的泊松过程X(/)=fj(；N(u)du求随机过程x(/)0的均值函数和协方差函数.解：令Y(/)=j；N(u)du，则Y(f),fno为N(f)jno的均方不定积分|1rf1et|%(/)=-Ey(r)j=EN(u)idu=-Audx=-tAt/J()/J()2RxGf)=+J
5、(J(RN(s,f)dudv=f2min(w,v)duJv+fA八uvdudvStJoJoJoJostAv(3/-$、)-才st0vny5/6/4=2f6$(3s/)4-stOv/WsC(5,t)=Rx(y,t)-mx(5)mx(/)(3r-5)05r61(35-1)0t0W是参数为a2的维纳过程Y(t)=*W()d,常数L0.求随机过程m/o的均值函数和协方差函数。1cl+L解：竹(1)二三EW(u)du=0C(.v,Z)=/?(5j)-0=IIamin(i/,v)jMJv当st+L时1 rt+Lcs+L9C(5,r)=-A-JoJ(yAvdudv1f/+i9I(T,厶uduL2J/11=e
6、r旷L219=-CT2(2/+厶)21f/+ig)胡门La2vdu加+JJf(y?(u-V)dvdu二右*(2+厶+F)k厶+右心7222由对称性冇(3)当+厶吋(2r+厶)+二(丫+厶一b6L2eg)吟(2$+Q+紗2C(s9t)=2(L+2s)由协方差函数a2(2t+L)2st+L2*牛+厶)+L-5)3C(s,/)nsts+L(L+25)210设W)r0是平均率为久的泊松过程Y(f)=*N(u)d“，常数厶0.求随机过程Y(tt0的均值函数和协方差函数.f+E-港N(t)du=-AU二扌兄+厶)Amin(w,v)+A2uvdudvIjir1无2dv+9(2$厶+Z?)(2仏+厶2)02C
7、y($J)=Ry(比t)一mY(s)tnYAmin(u,v)dudv右r当st+厶时CQr)=-2(2/+L)r2当厶时Cy(S,t)=(2S+2厶)+6L+Lt)当ts+L时-2Q(5,Z)=y(25+L)由协方差两数st+L+L5)3tvsvt+L+厶-/)3svtvs+LtsAL11-设W(Ry翻是参数为1的Wfne;过程dv令X(/)=sW($)ds,/nO,Y(/)=W(l)-W(s)J如no试求X(t),to和),/的均值函数和相关函数。解先求X(r),dOl的均值函数和相关函数mx(z)=EX(z)=JEfs%(s)ds#=0,rn0(RxxE1X(s)X1(/)=|J(w,=f
8、fuvmn(0的均值函数和相关函数。叫(1)二EY(t)=(/)W(“ds=0”)5)RY(S,()=E=Ep+，W(Y-W(M)jw+iW(r)-W(v)jv=j+l创Ew(S)_W(”)w(/)_iv(v)pv=W(5)W(r)-|/+iVV(5)VV(v)/v-jS+lEVV(r)W(H)/w+j5+lJMpW(M)VV(v)/v/r+i$+$+11f+i=min(5,r)-jmin(5,v)Jv-jmin(/,)”+jdujmin(,v)Jv(1) 当OS$GS$+1吋，p/4-lp5+)/r+lRy(s,/)=min(5,/)-jmin(5,v)Zv-jmin(/,w)Jw+jJwj
9、min(w,v)Jv=4v-5-Jmin(人M”一Jmin+jduAmin(w,v)dvr厂牛厂丰1严.厂+)严=-judu-jtdu+Jdujudv+J/wj(v-i/)dv$2)_心+1_+*(2$+1)_*($+_#(F7)-3(K)+2_(2) 当OSSs+lvr吋，Ry(5,Z)=min($,/)_Jmin(5,v)Jv-Jmin(r,)jM+jduAmin(M,v)t/v=5-5-Judu+Jdujudv=0同理(3) 当0v/v5vr+l时扣22)_心+17)+扣$+1)_扣+17)、+($_/)、3(si)+2_(4)当0/+15时Ry(s,f)=O(/$)3(/$)+2,OW
10、sW/Ws+1Ry(S.t)=丄心-门3-3($-/)+2,0/5r+10ss+lti八0tt+l0y(r)=jW(z)-VV(5)tZr=W(r)-jW(s)d$=W(l)LW(s)出+进行计算。12.设X(r)为二阶矩随机过程，其自相关函数心g)二曰，若Y(t)=2X(r)+Xt),试求r(z)的白相关函数。/?r(5,r)=Ey(5)r(/)=E2X($)+Xs)_2Xl)+X/)=4EX(5)X(r)+2EX(5)Xz(z)+2x，(5)x(z)+x，(5)x，(z)=4Rx(s,t)+2Rxx(s,t)十2Rxx($，)+磁,(*)因为Z?XG,/)=Rx(,故Rx.xO)=RxO=
11、RY(S,=13.设X(r)=2A2r,其中4是随机过程，町/fvoo,求fx(M.解因为Rx(sM=EX(s)X(t)=E4Avf=4.S7EA4连续，所以X(M存在取q=1(汕+4),贝打X(M=IJjn工X(协)(也-4)=迪工2A二(rI+l+(仃厲)J0T“0TA=oL-A2(t2-0)TA2t2,故X(r)dr=2A2tdt=A2t2JoJo另解：A2(2th+h2。=limfho-247h=limEA2h/o2=0故X(t)dt=A2rJo14设X(0=sinrX，其中X为一随机变量且EX4oo,求证:X(/)=Xcos/X.证明:只需证切sin(r+/?)X-sinrX丫limEXcostX=0力TO力_由于uSin(/+/0X-sinrXv2vXcostXh=E皿X(cos刘)_%cosrX+西空cosfXh2E血2X(C0SX-1)?+2Ecos2fX(X+a-a)2h2Esin2rX-(/?X)4_+2E4.=lr/72X4i4/i2-于是得证Xt)=XcostX.注：在题屮条件下，同理可证得cosrX=-XsintX
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