7.6空间直线及其方程

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1、2009.2.6北京工商大学7-6-2一、空间直线的各种方程形式1. 空间直线的一般形式空间直线的一般形式1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线. 222221111100 DzCyBxADzCyBxA空间直线的空间直线的一般式方程一般式方程L注注;)1(222111不成比例不成比例、与与、CBACBA(2) 直线直线L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.空间直线及其方程空间直线及其方程xyzOL(1)2009.2.6北京工商大学7-6-32.对称式对称式点向式方程点向式方程定义定义 如果一非零向量平行于一条如果一非零向量平行于一条sL0M M 一

2、条直线可以有许多一条直线可以有许多方向向量方向向量.已知直线已知直线, 称此向量为该直线的称此向量为该直线的方向向量方向向量. .s空间直线及其方程空间直线及其方程xyzO),(0000zyxM设一直线过设一直线过 ， 其方向向量为的其方向向量为的),(pnms 求此直线方程。求此直线方程。2009.2.6北京工商大学7-6-4pzznyymxx000 直线的直线的对称式方程对称式方程而方向而方向且且sMM0/( (点向式、标准式点向式、标准式）空间直线及其方程空间直线及其方程的的直线直线L称称为为、的的三三个个坐坐标标pnms方向数方向数. .向量的余弦称为该直线的方向余弦。向量的余弦称为该

3、直线的方向余弦。L)z , y,x(M 解解),(0000zzyyxxMM 因为因为(2)2009.2.6北京工商大学7-6-5 0000 xxpzznyy直线的方向数直线的方向数m,n,p 可以等于可以等于0,当当m=0时时,空间直线及其方程空间直线及其方程注意注意 直线的方程可表示为直线的方程可表示为 0000 xxyy当当m=n=0 时时,直线的方程可表示为直线的方程可表示为2009.2.6北京工商大学7-6-63. 直线的参数方程直线的参数方程求直线与平面的交点时常用此。求直线与平面的交点时常用此。tpzznyymxx 000设设为参数为参数ttpzztnyytmxx 000直线的直线

4、的参数式方程参数式方程故故 ),(pnms 空间直线及其方程空间直线及其方程(3)2009.2.6北京工商大学7-6-74. 空间直线的两点式空间直线的两点式),(),(22221111zyxMzyxM设一直线过两点设一直线过两点 ，则此直线的方程为则此直线的方程为: 121121121zzzzyyyyxxxx 直线的直线的两点式方程两点式方程 由直线的对称式得由直线的对称式得pzznyymxx000 ),(121212zzyyxx 21MM空间直线及其方程空间直线及其方程(4)直线方程的几种形式可以互相转换直线方程的几种形式可以互相转换.2009.2.6北京工商大学7-6-8 例例解解取取所

5、求直线方程为所求直线方程为 11xpzznyymxx000 M1 M2s求过两点求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程的直线方程.向量向量21MM与直线平行与直线平行)2 , 4 , 1( s 21MM 42y23 z 过两点作直线过两点作直线空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-9解解 交点为交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线方程 22x. A. Bs,),4 , 3, 2(轴轴垂垂直直相相交交且且和和一一直直线线过过点点yA .求其方程求其方程例例 03y.44 z空间直线及其方程空间直线及其

6、方程xyzO2009.2.6北京工商大学7-6-10可将对称式方程拆为一般方程可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为如对称式方程为111101 zyx可写成一般方程可写成一般方程 可将直线的对称式方程可将直线的对称式方程又如又如110101 zyx注注 )0( zy即即可写成一般方程可写成一般方程pzznyymxx000 01 x11 zy 1 x1 y化为一般方程吗化为一般方程吗 各类直线方程的互换各类直线方程的互换空间直线及其方程空间直线及其方程xyzO112009.2.6北京工商大学7-6-11直线的一般方程如何化为对称式方程直线的一般方程如何化为对称式方程(1) 用代数的用代数的消元

7、法消元法化为比例式化为比例式; (2) 在直线上找一定点在直线上找一定点,再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)即写出对称式方程即写出对称式方程.空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-12写成比例式写成比例式,7351 zyx例例 0220123zyxzyx将将解解 法一法一 0220123zyxzyx(1)(2)015 yx037 zx)2(2)1( )2()1( . z可消去可消去. y可可消消去去两个方程中两个方程中, 每一个只有两个变量每一个只有两个变量,共同的变量共同的变量即得即得对称式方程对称式方程.化为对称式方程化为对称式方程.解出解出x.空间

8、直线及其方程空间直线及其方程此直线上一定点为此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为方向向量为(1,5,7)2009.2.6北京工商大学7-6-13先求直线上一定点先求直线上一定点: 于是得直线上的一定点于是得直线上的一定点取取 21nns对称式方程对称式方程7578173zyx 将将 化为对称式方程化为对称式方程. 0220123zyxzyx 0220123zyxzyx,73 x,0 ,78,73 因因所求直线与两平面的法向量都垂直所求直线与两平面的法向量都垂直. )1, 1 , 2()1 , 2, 3(2n1ns法二法二,0代代入入以以 z00)7 , 5 , 1(78 y空间直线及

9、其方程空间直线及其方程1 2 Ls2009.2.6北京工商大学7-6-14两个对称式方程两个对称式方程7351 zyx7578173zyx 实际上直线的对称式方程不唯一实际上直线的对称式方程不唯一.注意注意怎么不一样怎么不一样答答(当定点取得不同时对称式方程不同当定点取得不同时对称式方程不同).空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-15241312 zyx令令241312 zyx得得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直线求直线例例与平面与平面的交点的交点.t 得得, 1 x, 2

10、y. 2 z空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-16解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 3再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令12131 zyx tztytx1213. M垂直相交垂直相交的直线方程的直线方程.12131)3 , 1 , 2( zyxM且且与与直直线线求求过过点点例例 N2 1 )2( x)1( y)3( z0 t 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-1773 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)37

11、3, 1713, 272( )724,76,712( 直线方程为直线方程为451122 zyx0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得将将)3 , 1 , 2(M直直线线过过点点. M N空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-18定义定义直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx ),cos(21LL两直线的两直线的方向向量的夹角方向向量的夹角称为称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式二、两直线的夹角二、两直线的夹角（锐角锐角）222222212121212121pn

12、mpnmppnnmm 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-19两直线的两直线的位置关系位置关系 21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例例.21LL 即即(两直线两直线垂直、平行的条件垂直、平行的条件):1L:2L),(1111pnms ),(2222pnms 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-20 1.与与直线直线及及112211 zyx都平行且过原点的都平行且过

13、原点的平面方程平面方程为为( ).例例 tztyx2110 zyx提示提示平面过原点平面过原点由点法式方程即可得由点法式方程即可得.法向量法向量)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-212.垂直的垂直的且与直线且与直线过点过点 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平面方程是平面方程是043 zyx3.130211:1 zyxL过过直直线线且且平平行行于于).(11122:2的平面方程为的平面方程为直线直线zyxL 023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(点点)1 , 3, 1()

14、1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn)1 , 3 , 1( n 提示提示空间直线及其方程空间直线及其方程 2009.2.6北京工商大学7-6-22与与两两直直线线182511:1 zyxL).(326:2的夹角为的夹角为与与 zyyxL6. A4. B3. CC2. D 提示提示22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式:4.)2 , 1, 1( )1 , 2 , 0()0 , 1, 1( 2s)1 , 2, 1( 1s空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-23解解 设所求直

15、线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.和和且且与与两两平平面面求求过过点点34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 过已知直线外一点作直线与已知直线平行过已知直线外一点作直线与已知直线平行空间直线及其方程空间直线及其方程 2009.2.6北京工商大学7-6-24直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 定义定义20 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx ),(pnms ),(CB

16、An 2),(ns 2),(ns三、直线与平面的夹角三、直线与平面的夹角 sin 2cos空间直线及其方程空间直线及其方程称为该直线与平面的夹角称为该直线与平面的夹角.2cos 222222|pnmCBACpBnAm 直线与平面夹角公式直线与平面夹角公式2009.2.6北京工商大学7-6-25直线与平面的直线与平面的)1()2(/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件);pCnBmA . 0 CpBnAm LL 位置关系位置关系空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-26解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sin

17、pnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角.,21121: zyxL设设直直线线例例, 32: zyx 平平面面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角.空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-27,031020123 zyxzyxL为为设直线设直线1995,数学一考研选择数学一考研选择,(3分分).(, 0224则则为为平面平面 zyx 平平行行于于LA. .上上在在 LB 垂垂直直于于LC.斜交斜交与与 LD.C),(pnms / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( 空间直线及其方程空间直

18、线及其方程)10, 1, 2()2 , 3 , 1( 2009.2.6北京工商大学7-6-28平面束的方程平面束的方程设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线L过直线过直线L的所求全体平面的所求全体平面 平面束平面束)1(0:11111 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA作作(3)表示过直线表示过直线L的平面的平面)(2 除除0)(2222 DzCyBxA1111DzCyBxA )3()2(0:22222 DzCyBxA 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-29解解想一

19、想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?试比较哪种方法试比较哪种方法简单简单?的的和和点点求求过过直直线线)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平面方程平面方程)1(0)1( zyxzyx 将点将点 代入代入(1)中中,得得)1, 1 , 1( 0)1111(111 23 将将代入代入(1)中中,得得23 035 zyxn例例过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-30例例解解且且与与平平面面求求过过直直线线 , 0405:zxzyx过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为0)4(5 zxzyx 04)1(

20、5)1( zyx即即其其法法向向量量又已知平面的法向量又已知平面的法向量).8, 4, 1(2 n.401284角角的的平平面面方方程程组组成成 zyx 1n)1, 5,1( 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-31 4cos 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此得由此得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx且且与与平平面面求求过过直直线线 , 0405:zxzyx.401284角角的的平平面面方方程程组组成成 zyx2121nnnn 0)4(5 zxzyx )1, 5,1(

21、1n空间直线及其方程空间直线及其方程)8, 4, 1(2 n2009.2.6北京工商大学7-6-32上海交大考题上海交大考题(98级级)的两个互相的两个互相求通过直线求通过直线 020:zyxyxL.,zyx 线线其中一个平面平行于直其中一个平面平行于直垂直的平面垂直的平面解解 设设平面束方程平面束方程02)1()1( zyx,1 的平面为的平面为设平行于直线设平行于直线zyx 0)1()1( 2 方方程程平平面面1 ,21 的平面方程为的平面方程为又设垂直于又设垂直于由由即即; 0423 zyx由由02)1(3)1( 31 ),1,1(1 n. 02242 zyx方方程程平平面面 空间直线及

22、其方程空间直线及其方程1 2 0)2( zyxyx2009.2.6北京工商大学7-6-33思考题思考题1 1想一想下述问题能否转化为用点法式确定想一想下述问题能否转化为用点法式确定平面方程？平面方程？(1) 过两条相交直线过两条相交直线,确定一平面确定一平面;(2) 过两条平行直线过两条平行直线,确定一平面确定一平面;(3) 过一直线与该直线外一点过一直线与该直线外一点,确定一平面确定一平面;(4) 过一直线垂直与一已知平面过一直线垂直与一已知平面,确定一平面确定一平面.(设此直线不垂直于设此直线不垂直于一已知平面一已知平面)如何转化？如何转化？空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6

23、北京工商大学7-6-34思考题思考题2 2想一想下述问题能否转化为用对称式想一想下述问题能否转化为用对称式方程来确定直线方程方程来确定直线方程?(1) 过一点且与一已知平面垂直过一点且与一已知平面垂直,确定一直线方程确定一直线方程;(2) 过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程;(3) 过一点且与一已知平面平行过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相与一已知直线相 交的直线方程交的直线方程.如何转化？如何转化？ 空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-35(3)过一点且与一已知平面平行过一点且与一已知平面平行,与一已知直线与一已

24、知直线相交的直线方程相交的直线方程.应注意应注意, s即有即有因此在因此在L上上即有即有s共面共面,有有(a),(b)联立解得联立解得s,n0 ns)(a)(b0)( ABls空间直线及其方程空间直线及其方程为了确定所求直线的方向向量为了确定所求直线的方向向量垂直于已给平面的法线向量垂直于已给平面的法线向量由于已知直线由于已知直线L与欲求直线相交与欲求直线相交,取一已知点取一已知点B,它与欲求直线上任一点它与欲求直线上任一点A的连线的连线AB必与必与L,L snl B A则由则由对称式对称式求出所给直线求出所给直线.2009.2.6北京工商大学7-6-36空间直线的一般方程空间直线的一般方程两

25、直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角(两直线垂直、平行的充要条件两直线垂直、平行的充要条件)(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件)五、小结五、小结空间直线及其方程空间直线及其方程空间直线的参数方程空间直线的参数方程(关键确定直线的方向向量关键确定直线的方向向量)空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程各类直线方程的各类直线方程的作用及它们之间作用及它们之间的互换的互换 2009.2.6北京工商大学7-6-37思考题思考题使之满足使之满足作一直线作一直线过已知点过已知点,)3, 2 , 1(0 M相相交交，与与直直线线532131:)2(1 zyxL求

26、此直线方程求此直线方程. 作直线与定直线相交作直线与定直线相交解解方方向向向向量量1L),5, 2 , 3(1 s,)3 , 1, 1(11上上在在点点LM 1L0M 1 M),(zyxM ;)3, 2, 6()1(垂垂直直与与向向量量 a10LM 及及由由所确定的平面方程为所确定的平面方程为0523632321 zyx0)3(13)2(28)1(3 zyx空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-38即即0)3(13)2(28)1(3 zyxaM且垂直于且垂直于过过0的平面方程的平面方程:0M a0)3(3)2(2)1(6 zyx故所求方程故所求方程: 0)3(3)2(2)1(60)3(13)2(28)1(3zyxzyx即即633221 zyx空间直线及其方程空间直线及其方程2009.2.6北京工商大学7-6-39作业作业习题习题7-6 (3357-6 (335页页) ) 3. 5. 7. 9. 11. 13. 14. 15. 16.空间直线及其方程空间直线及其方程40 结束语结束语