五年级奥数知识必备手册

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1、第一讲 数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识1.整除约数和倍数例如：153=5，637=9一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2.数的整除性质性质1：如果a、b

2、都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“

3、特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。能被5整除的数的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因为10

4、00是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为115，所以11123456789。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为0是任何整数的倍数，所以110.因此13574

5、是11的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725练习.样的五位数。4.将自然数1、2、3、4、5、6

6、、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？5.一本陈年老账上记着：72只桶，共67.9元.这里处字迹已不清.请把处数字补上，并求桶的单价。6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.答案：1.39312。2.8。3.32250、32550、32850。第二讲 质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，

7、那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30235。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12223223，2、3都叫做12的质因数。二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什

8、么？解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：19中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，142

9、7，15=35，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=27）放在第一组，那么7和6（=23）只能放在第二组，继而15（35）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样1415=210=567。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于42560.40404064000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在3040之间。解：42560=26571925（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分别是32

10、、35和38。例7 有3个自然数a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，

11、各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：10

12、80a=23335a，又1080=23335的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为235。1080a108023510803032400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。例9 问360共有多少个约数？分析 360=23325。为了求360有多少个约数，我们先来看325有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23325（=360）的所有约数.为了求325有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到325的所有约数。解：记5的约数个数为Y1，325的约数个数为Y2，360（=2

13、3325）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24个约数。说明：Y3=4Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是36023325中质因数2的个数加1；Y2=3Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23325中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23325中质因数5的个数加1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对23325（=360）的约数个数的讨论方式

14、，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例10 求240的约数的个数。解：240243151，240的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240有20个约数。请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？练习：1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？3.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。4.自然数a乘以338，恰好是自然数b

15、的平方.求a的最小值以及b。5.求10500的约数共有多少个？答案：1.105=357，105=1105=335=521=715，共有4种。2.分析每一横行棋子数比每一竖列棋子数多1个。横行数与竖列数应是两个相邻的自然数.解：11112222=33333334答案为3334。3.7、8、9、10、11。4.分析自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，a与338的积分解质因数以后，每个质因数的个数之和都是偶数。解：338=21313，a2，b21326。5.解：10500=223537，又（21）（1+1）（3+1）（1+1）=48。10500的约数共有48个.第三讲 最大公约数和最小公倍数一

16、、基本概念和知识1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍数有：18，36，54，72，90，12和18的公倍数有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36

17、。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。练习：1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？2.一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体

18、的体积是多少？一共可锯多少块？6.一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？答案：1.甲数是18，乙数是54。2.每两棵之间的距离是60米，最少要种树苗6棵。3.解：设这两个自然数为A和B。A，B=576631=186。186=2331，这两个自然数为31和186或62和93。4.10月25日。5.每个立方体的体积是125立方分米.一共可锯60块。6.3千克.第四讲 带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我

19、们称之为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，0rb，使得a=bq+r。当r=0时，我们称a能被b整除。当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为ab=qr，0rb。例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30

20、、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，（除数40+16）+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。答：被除数是856，除数是21。例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根据

21、题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便

22、得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是23。例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合条件的最小自然数是23。方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余

23、4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7除余1”的条件？28+5，64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，适合条件的最小的自然数是148。例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。解：想：2+3？之后能满足“5除余3”的条件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能满足“7除余4”的条件？8+3，53=53。符合条件的最小的自然数是53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解

24、这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+5，71=37（个）37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37个。例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。反之，

25、如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。例9可做如下解答：三个整数被N除余数相同，N（90-69），即N21，N（125-90），即N35，N是21和35的公约数。要求N的最大值，N是21和35的最大公约数。21和35的最大公约数是7，N最大是7。练习：1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运

26、7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.答案：1.除数为47。2.58。3.共13个.有：67，139，211，283，355，427，499，571，643，715，787，859，931。4.163。5.11.第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用一、基本概念和知识1.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数偶数=偶数，

27、奇数奇数=偶数。性质2：偶数奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。练习：1.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？2.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？3.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。5.如果两个人通一次

28、电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为_。（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。6.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。7.有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？8.有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？9.电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？10.

29、由14个大小相同的方格组成下列图形（右图），请证明：不论怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.答案：1.偶数至多有48个。2.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。3.设四个连续奇数是2n1，2n3，2n5，2n7，n为整数，则它们的和是（2n+1）（2n3）（2n5）+（2n7）2n4168n+16=8（n+2）。所以，四个连续奇数的和是8的倍数。4.证明：设填入数分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假设要证明的结论不成立，则有：偶数奇数，假设不成立，命题得证。5.应选择（B）.参考例3。6.是偶数.

30、参考例3。7.不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。8.能.例如第一次 78910第二次 3456第三次 2345第四次 13 459.这种交换方法是不可行的.参考例12。10.利用黑白相间染色方法可以证明：不可能剪成由7个相邻两个方格组成的长方形，因为图形中一种颜色有8格，另一种颜色有6格，而每个相邻两个方格组成的长方形是一黑格一白格，7个这样的长方形共7黑格7白格.与图形相矛盾.第六讲 能被30以下质数整除的数的特征大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是

31、“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。练习：1.公式1003=1759曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式也是判定被59整除的简便公式。2.说明公式也是判定被53整除的简便公式。3.61是质数，并且10004=61164，你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？4.67是质数，1005=6715，请证明：（可在右端加上67的适当倍数）。5.9947114，71是质数，请导出判定被71整除的公式。6.N=31428576可否被37整除？答案？（10071953）6.N31428576314285763200443

32、236（mod37）.所以不可以。7.x=1。9N.所以，可以整除6，不能整除9。第七讲 行程问题大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目.为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：路程=速度时间；总路程=速度和时间；路程差=速度差追及时间。练习：1.晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5

33、分钟，如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程？2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？3.A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32公里处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里处相遇，甲、乙两站间相距多少公里？4.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙

34、恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？5.老王从甲城骑自行车到乙城去办事，每小时骑15千米，回来时改骑摩托车，每小时骑33千米，骑摩托车比骑自行车少用1.8小时，求甲、乙两城间的距离。6.速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24公里，中速车每小时20公里，那么慢车每小时行多少公里？7.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟

35、？习题七解答1.解法1：（605+752）（7560）=30（分钟），60（30+5）=2100（米），或75（302）=2100（米）。解法2：设路程为x米。x2100（米）。2.解法l：乙丙相遇时间：（6075）2（67.560）=36（分钟）。东西两镇之间相距多少米？（67.575）36=5130（米）解法2：设东西两镇之间相距x米，x=5130（米）。3.A、B共行3个全程，则有：解法1：设全程为x公里，（x-32+x-64）232，x=64322，x80（公里）。解法2：设全程为x公里x-32=（64+32）2，x=80（公里）.解法3：643232（公里），32+32322=32+

36、32+1680（公里）。4.乙从相遇点C跑回B点时，甲从C过B到A，他比乙多跑了100米.乙从B到C时，甲从A到C，说明A到C比B到C多100米.跑道周长400米，所以B到C是100米，A到C是200米。乙每跑100米，甲就多跑100米.要使甲、乙从C点开始，再次相遇，甲要比乙多跑一圈，也就是说，乙跑400米时，甲跑800米与乙第二次相遇，再加上甲从A到C的200米，甲共跑了1000米。 6.快车每分钟行多少米：2400060=400（米）.中速车每分钟行相差米数：（24002000）（106）=100（米）。三辆汽车与骑车人的路程差：慢车每小时行多少千米：7.设用字母a表示甲速，用字母b表示

37、乙速（ab）。（a+b）4=（ab）12ab=21（甲、乙速度比是21）第八讲 流水行船问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。根据加

38、减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：船速=（顺水速度+逆水速度）2，水速=（顺水速度-逆水速度）2。例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系

39、先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21（千米/小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小

40、时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：1441212（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。解：轮船逆流航行的

41、时间：（35+5）2=20（小时），顺流航行的时间：（355）2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。答：机帆船往返两港要64小时。下面继续研究两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速

42、+乙船船速。这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果两船逆向追赶时，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。例4 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们

43、发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速.解：路程差船速=追及时间24=0.5（小时）。答：他们二人追回水壶需用0.5小时。例5 甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？解：相遇时用的时间336（24+32）=

44、33656=6（小时）。追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336（3224）42（小时）。答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。练习：1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？2.一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？3.一只小船静水中速度为每小时30千米.在176千米长河中逆水而行用了11个小时.求返回原处需用几个小时。4.一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。5.

45、两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。6.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。7.乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？8.某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以

46、与此物相遇？答案：1.从甲到乙顺水速度：234926（千米/小时）。从乙到甲逆水速度：2341318（千米/小时）。船速是：（26+18）2=22（千米/小时）。水速是：（26-18）24（千米/小时）。2.顺水速度：25+3=28（千米/小时）。顺水行140千米所需时间：14028=5（小时）。3.水速：30-（176ll）=14（千米/小时）.返回原处所需时间：176（1430）4（小时）。4.逆水速度：1823=12（千米/小时）。船速：（18+12）2=15（千米/小时）。水流速度：（18-12）2=3（千米/小时）。5.（35211-35216）2=5（千米/小时）。6.90330（

47、千米/小时）。9015=6（千米/小时）.甲船速度：（306）2=18（千米/小时）.乙船速度：（30-6）212（千米/小时）。7.乙船顺水速度：1202=60（千米/小时）.乙船逆水速度：1204=30（千米/小时）。水流速度：（60-30）215（千米/小时）.甲船顺水速度：12O34O（千米/小时）。甲船逆水速度：40-215=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：12010=12（小时）。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）。8.船速：10004=250（米/分）。相遇时间：45000250=180（分）=3（小时）.第九讲 “牛吃草”问题有这样的问题.如：牧场上有一片匀

48、速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图）从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于276162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃

49、草量相当于239=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）（9-6）=15头牛一周的吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即156=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。所以牧场上原有草量为276-156=72头牛一周的吃草量（或者为239-159=72）。牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15

50、头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃726=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与

51、3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量时间人数，即131030.船内原有水量与8小时漏水量之和为158=40。每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差时间差，即（40-30）（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于32=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（23）=24。如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24212（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+214（人）。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单

52、位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。例3 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？分析 解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天（12281033.6）。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63213044.l）。一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即（44.l-33.6）（63-28）=0.3（头）。一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即33.6-0.328=25.2（头）。72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即7225.212