两个随机变量的函数的分布1

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1、.,),(,的的分分布布分分布布确确定定的的如如何何通通过过的的函函数数关关系系与与并并且且已已知知表表示示该该人人的的血血压压年年龄龄和和体体重重分分别别表表示示一一个个人人的的和和令令有有一一大大群群人人ZYXYXfZYXZZYX 为了解决类似的问题为了解决类似的问题,下面下面我们讨论两个随机变量函数的分布我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入例例1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得

2、得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0结论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP

3、., 2 , 1 , ),( kpjikyxfzij的分布函数为则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),( xyOzyx yxyxpyzdd),( yux yuyyupzdd),( .dd),(uyyyupz 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 与与Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zpZ,d)()()( yypyzpzpYXZ.d)()()

4、(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY 例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.,21)(22 xexpxX 由由于于解解.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由由公公式式.)2 , 0(分布分布服从服从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezpxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立

5、且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布. 例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例6 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解: 由卷积公式由卷积公式 1010 xzx也即也即 zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找

6、出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是 dxxzpxpzpYXZ)()()(的分布的分布YXZ . 2分布函数为的则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2GyxyxpGdd),(1 yxyxpGdd),(2 yxyxpyzdd),(0 ,dd),(0yxyxpyz ,yxu 令令yxyxpGdd),(1 yxyxpyzdd),(0 yuyyuypzdd),(0 uyyyuypzdd),(0 同理可得同理可得 z

7、Guyyyuypyxyxp02,dd),(dd),(故有故有)(zZPzFZ yxyxpGdd),(1 yxyxpGdd),(2 yyyzypyyyzypzpd),(d),()(00 .d),(yyyzpy 当当 X, Y 独立时独立时,.d)()()(yypyzpyzpYX .dd),(d),(00uyyyuypyyyuypz 由此可得分布密度为由此可得分布密度为., 0, 0,2)(, 0, 0,)(,2的概率密度函数的概率密度函数试求试求其它其它其它其它它们的概率密度分别为它们的概率密度分别为相互独立相互独立寿命寿命的灯泡的的灯泡的分别表示两只不同型号分别表示两只不同型号设设YXZyey

8、pxexpYXYXyYxX ,d),(d),()(00yyyzypyyyzypzpZ 解解由公式由公式例例7 ., 0, 0, 0,2),(2其它其它yxeeyxpyx得所求密度函数得所求密度函数)0(时时当当 z)0(时时当当 z,0)( zpZ,)2(22z yeyzyd2)2(0 yeeyzpyyzZd2)(20 得得 .0,0,0,)2(2)(2zzzzpZ3.极值分布极值分布),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP

9、 zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 它它们们的的分分布布函函数数分分别别为为量量个个相相互互独独立立的的随随机机变变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzF

10、nXXX 则则分分布布函函数数相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF 若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量,X的的分布密度为分布密度为p(x), 则则M与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同分布相互独立同分布,令令 则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 )().(1 2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N

11、),.,(1,1, 它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为)(.)(n1)()(.)(n)(1 -n1 -nzpzFzpzpzFzpNM n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN 例例1* 设设X,Y独立同分布独立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律的分布律. 解解 从而从而M的分布律为的分布律为 952113312; 22; 11; 2291111; 11 MPMPMPYXPYXPYXPMPYPXPYXPMP类似可得类似可得N的分布率为的分布率为 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9

12、 1/3 5/9 从而从而M的分布律为的分布律为例例2 书上书上002.25( ),( ),0,0,min(,).( )1(0)( )1(0)xuxXyvyYXExpYExpXYZX YFxeduexFyedvey 例已知例已知与 相互独立 求的分布密度与 相互独立 求的分布密度解 由题设知解 由题设知()()( )11( )1( )1(0)( )()(0)().ZXYzzZZFzFzFzezPzezZExp 则 的分布函数为则 的分布函数为则则说明说明四、小结四、小结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量

13、, 2 , 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( YXfZ ),(kkzYXfPzZP ., 2 , 1),( kpjikyxfzij2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布的分布的分布YXZ )1(的分布的分布及及),min(),max()3(YXNYXM 的分布的分布YXZ )2(若随机变量（若随机变量（X,Y)X,Y)的概率密度为的概率密度为p(x,y)p(x,y)，则，则 (4) Z=XY的概率密度为 xd)zx, x(pyd)y, yz(p)z(pZ（5 5）Z=kx+Y,(k0)Z=kx+Y,(k0)的概率密度为的概率密

14、度为 xd)kxz, x(p)z(pZ（6 6）Z=XYZ=XY的概率密度为的概率密度为 xd)xz, x(p|x1|)z(pZ 本本 节节 结结 束束例例1 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立,且其分布密且其分布密度分别为度分别为 , 0, 10, 1)(xxfX其它其它. , 0, 0,)(yeyfyY其它其它.求随机变量求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度的分布密度.),(yxf 由于由于 X 与与Y 相互独立相互独立,所以所以 ( X,Y ) 的分布密的分布密度函数为度函数为解解)()(yfxfYX ., 0, 0, 10,其其它它yxey备份题备份题.dd2yxez

15、YXy )(zZPzFZ 2zYXP yxyxfzYXdd),(2 xyOzyx 2)0, 10( yx随机变量随机变量 Z 的分布函数为的分布函数为所以随机变量所以随机变量 Z 的分布密度为的分布密度为 . 2,2) 1(, 20,2)1(, 0, 0)()(2zeezezzFzfzzZZ 102202. 2,d)1 (, 20,d)1 (, 0, 0)(zxezxezzFzxzzxZ解解),max(54321XXXXXD 设设例例2.4),max(:., 0, 0,1)(:,55432182543212的概率的概率试求试求其它其它且都服从同一分布且都服从同一分布机变量机变量设它们是相互独立

16、的随设它们是相互独立的随察值为察值为得到的观得到的观次次测量了测量了对某种电子装置的输出对某种电子装置的输出 XXXXXzezFXXXXXze,)()(5maxzFzF 因因为为41 DP.)1(152ee )4(1maxF 5)4(1F 4 DP所以所以. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻其它其它它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxpRRRR 解解的的概概率率密密度度为为由由题题意意知知 R.d)()()( xxzpxpzpR例例3 ,100,100 xz

17、x当当,10,100时时即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零 xxzpxpzpR) 1 (., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其它zzRzxxzpxpzxxzpxpzp ., 0,100,5010)(其它将xxxp此时此时.),(iii),(ii),(i),2121图所示图所示如如开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例9度分别为度分

18、别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL , 0, 0, 0,)(xxexfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就就停停止止工工作作系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时由由于于当当LLL的的寿寿命命为为所所以以这这时时 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL , 0, 0, 0,1)(xxexFxX , 0, 0, 0,)(xxexfxX , 0, 0, 0,)(yyeyfyY ; 0, 0, 0,)(yyeyfyY由由 . 0, 0, 0,1)(yye

19、yFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,1)(zzez . 0, 0, 0,)()()(minzzezfz的的寿寿命命为为所所以以这这时时 L).,max(YXZ 的的分分布布函函数数为为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),1)(1(zzeezz . 0, 0, 0,)()()(maxzzeeezfzzz并联情况并联情况(ii),21才才停停止止工工作作系系统统都都损损坏坏时时由由于于当当且且仅仅当当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此

20、整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzyee0)(d zyzyee0)(d备备用用的的情情况况(iii)例例1 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互独独立立与与因因为为YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0

21、P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的的分分布布律律分分别别为为所所以以YXYX ,