列举法求概率

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1、25.2. 用列举法求概率（用列举法求概率（1）复习引入复习引入 必然事件；必然事件；在一定条件下必然发生的事件，在一定条件下必然发生的事件， 不可能事件不可能事件；在一定条件下不可能发生的事件在一定条件下不可能发生的事件 随机事件随机事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，2.概率的定义概率的定义事件事件A发生的频率发生的频率m/n接近于某接近于某个常数，这时就把这个常数叫做个常数，这时就把这个常数叫做事件事件A的的概率，概率，记作记作P（A）. 0P(A) 1.必然事件的概率是必然事件的概率是1，不可能事件的概率是，不可能事件的概率是0.等可能

2、性事件等可能性事件 问题问题1.掷一枚硬币，朝上的面有掷一枚硬币，朝上的面有 种可能。种可能。 问题问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的数抛掷一个骰子，它落地时向上的数 有有 种可能。种可能。 问题问题3.从标有从标有1，2，3，4，5号的纸签中随意地抽取一根，抽出号的纸签中随意地抽取一根，抽出的签上的号码有的签上的号码有 种可能。种可能。265以上三个试验有两个共同的特点：以上三个试验有两个共同的特点：1。 一次试验中，可能出现的结果有限多个。一次试验中，可能出现的结果有限多个。2。一次试验中，各种结果发生的可能性相等。一次试验中，各种结果发生的可能性相等。问题问题1：P(反面朝上反面朝上)

3、 21P(点数为点数为2)61问题问题2：列举法列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法的方法古典概型的特点古典概型的特点列举法就是把要数的对象一一列列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法举出来分析求解的方法一般地一般地,如果在一次试验中如果在一次试验中,有有n种可能的结果种可能的结果,并且它们发生的并且它们发生的可能性都相等可能性都相等,事件事件A包含其包含其中的中的m种结果种结果,那么事件那么事件A发生的概率为发生的概率为nmAP)(事件事件A发生的可发生的可能种数能种数试验的总共可能试验的总共可能种数种数例：下列事件哪些是等可能性事件

4、？哪例：下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？些不是？ 抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。 某运动员射击一次中靶心或不中靶心。某运动员射击一次中靶心或不中靶心。 从分别写有从分别写有1，3，5，7中的一个数的四张卡片中任抽一张结果中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是是1，或，或3或或5或或7。不是不是不是不是是是列举法求概率列举法求概率枚举法枚举法在一次试验中，如果可能出现的结果在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分

5、析出随机事件发生的概果的方法，分析出随机事件发生的概率。率。所谓枚举法，就是把事件发生的所有可能所谓枚举法，就是把事件发生的所有可能的结果一一列举出来，计算概率的一种数的结果一一列举出来，计算概率的一种数学方法。学方法。例例4：掷两枚硬币，求下列事件的概率：掷两枚硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币正面全部朝上）两枚硬币正面全部朝上（2）两枚硬币全部反面朝上）两枚硬币全部反面朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正、正反、反正、反反。举出来，它们是：正正

6、、正反、反正、反反。所有的结果共有所有的结果共有4个，并且这四个结果出现的可个，并且这四个结果出现的可能性相等。能性相等。（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件朝上（记为事件A）的结果只有一个，即）的结果只有一个，即“正正正正”所以所以P（A）=14（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件上（记为事件B）的结果只有一个，即）的结果只有一个，即“反反反反”所以所以P（B）=14（2）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件枚硬币反面

7、朝上（记为事件C）的结果共有）的结果共有2个，个，即即“正反正反”“”“反正反正”所以所以P（C）= =2412例例4.掷两枚硬币掷两枚硬币,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)两枚硬币全部正面朝上两枚硬币全部正面朝上;(2)两枚硬币全部反面朝上两枚硬币全部反面朝上;(3)一枚硬币正面朝上一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上一枚硬币反面朝上.问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？解解:其中一枚硬币为其中一枚硬币为A,另一枚硬币为另一枚硬币为

8、B,则所有可能结果如则所有可能结果如表所示表所示:正反正(正,正)(正,反)反(反,正)(反,反)AB总共总共4种结果种结果,每种结果出现的可能性相同每种结果出现的可能性相同.(1)所有结果中所有结果中,满足两枚硬币全部正面朝上的结果只满足两枚硬币全部正面朝上的结果只有一个有一个,即即”(正正,正正)”,所以所以P(两枚硬币全部正面朝上两枚硬币全部正面朝上)=41例例4.掷两枚硬币掷两枚硬币,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)两枚硬币全部正面朝上两枚硬币全部正面朝上;(2)两枚硬币全部反面朝上两枚硬币全部反面朝上;(3)一枚硬币正面朝上一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上一枚硬币反面朝上.

9、解解:其中一枚硬币为其中一枚硬币为A,另一枚硬币为另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示则所有可能结果如表所示:正正反反正正(正正,正正)(正正,反反)反反(反反,正正)(反反,反反)AB总共总共4种结果种结果,每种结果出现的可能性相同每种结果出现的可能性相同.(2)所有结果中所有结果中,满足两枚硬币全部反面朝上的结果只满足两枚硬币全部反面朝上的结果只有一个有一个,即即”(反反,反反)”,所以所以P(两枚硬币全部反面朝上两枚硬币全部反面朝上)=41(3)所有结果中所有结果中,满足一枚硬币正面朝上满足一枚硬币正面朝上, 一枚硬币反一枚硬币反面朝上的结果有面朝上的结果有2个个,即即”(正正,反反)

10、,(反反,正正)”,所以所以P(一枚硬币正面朝上一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上一枚硬币反面朝上)=2142如图如图, ,袋中装有两个完全相同的球袋中装有两个完全相同的球, ,分别标有数分别标有数字字“1”1”和和“2”.2”.小明设计了一个游戏小明设计了一个游戏: :游戏者游戏者每次从袋中随机摸出一个球每次从袋中随机摸出一个球, ,并自由转动图中并自由转动图中的转盘的转盘( (转盘被分成相等的三个扇形转盘被分成相等的三个扇形).).游戏规则是游戏规则是: :w如果所摸球上的数字与转盘转出的数如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为字之和为2,2,那么游戏者获胜那么游戏者获胜. .求游戏者求

11、游戏者获胜的概率获胜的概率. .驶向胜利的彼岸123思考思考2:2:解解: :每次游戏时每次游戏时, ,所有可能出现的结果如下所有可能出现的结果如下: :总共有总共有6 6种结果种结果, ,每种结果出现的可能性相每种结果出现的可能性相同同, ,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为和为2 2的结果只有一种的结果只有一种:(1,1),:(1,1),因此游戏者因此游戏者获胜的概率为获胜的概率为1/6.1/6.转盘转盘摸球摸球1 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)3 3(1,3)(1,3)(2,3)(

12、2,3)123例、同时掷两个质地均匀的骰子例、同时掷两个质地均匀的骰子, ,计算下列事件计算下列事件的概率的概率: :(1)(1)两个骰子的点数相同两个骰子的点数相同(2)(2)两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是9 9(3)(3)至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2 2问题：利用分类列举法可以知道事件发生问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？况还有什么更好的方法呢？6，66，56，46，36，26，15，65，55，45，35，25，14，64，54，44，34，24，13，63，53，4

13、3，33，23，12，62，52，42，32，22，11，61，51，41，31，21，1654321654321第2个第1个61366)(AP91364)(BP3611)(CP没有变化没有变化123456123456w用表格表示用表格表示(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

14、(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)当一次试验要涉及两个因素当一次试验要涉及两个因素, ,并且可能出并且可能出现的结果数目较多时现的结果数目较多时, ,为了不重不漏的列为了不重不漏的列出所有可能的结果出所有可能的结果, ,通常采用通常采用解解:由表中可以看出由表中可以看出,在

15、两堆牌中分别取一张在两堆牌中分别取一张,它可它可 能出现的结果有能出现的结果有36个个,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数满足两张牌的数字之积为奇数( 的有的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这这9种情况种情况,所以所以 P(A)=41369 在在6 6张卡片上分别写有张卡片上分别写有1 16 6的整数，随机地的整数，随机地抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么第二次取出的数字能够整除第一取出的数字第二次取出的数字能够整除第一取出的数字的概率是多少？的概率是多少？

16、6，66，56，46，36，26，15，65，55，45，35，25，14，64，54，44，34，24，13，63，53，43，33，23，12，62，52，42，32，22，11，61，51，41，31，21，1654321654321第2个第1个1873614)(AP课堂练习：课堂练习：1.1.一黑一红两张牌一黑一红两张牌. .抽一张牌抽一张牌 , ,放放回回, ,洗匀后再抽一张牌洗匀后再抽一张牌. .这样先后这样先后抽得的两张牌有哪几种不同的可抽得的两张牌有哪几种不同的可能能? ?他们至少抽到一张黑牌的概率他们至少抽到一张黑牌的概率是多少是多少? ?2.2.这是一个抛掷两个筹码的游戏，

17、准备两个筹这是一个抛掷两个筹码的游戏，准备两个筹码，一个两面都画上码，一个两面都画上；另一个一面画上；另一个一面画上，另一面画上，甲乙各持一个筹码，抛掷手中另一面画上，甲乙各持一个筹码，抛掷手中的筹码。的筹码。游戏规则：掷出一对游戏规则：掷出一对，甲得，甲得1 1分；掷出一个分；掷出一个一个，乙得一个，乙得1 1分。分。那么这个游戏公平吗？那么这个游戏公平吗？当一次试验要涉及两个因素并且可能出现当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为避免重复遗漏，经的结果数目较多时，为避免重复遗漏，经常采用列表法常采用列表法例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：例：为活跃联欢晚会

18、的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A A、B B两两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A A上的数字上的数字分别是分别是1 1，6 6，8 8，转盘，转盘B B上的数字分别是上的数字分别是4 4，5 5，7 7（两个转盘除表面（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）数字不同外，其他完全相同）. .每次选择每次选择2 2名同学分别拨动名同学分别拨动A A、B B两个两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线

19、上，则重获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）转一次）. .作为游戏者，你会选择作为游戏者，你会选择A A、B B中哪个转盘呢？并请说明理中哪个转盘呢？并请说明理由由. .168A457B联欢晚会游戏转盘联欢晚会游戏转盘分析：首先要将实际问题转化为数学问题，即：分析：首先要将实际问题转化为数学问题，即：“停止转动后，停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”这个问题涉及这个问题涉及两个带指针的转盘，即涉及两个因素，产生的结果数目较多，两个带指针的转盘，即涉及两个因素，产生的结果数目较多，列举时很容易造成重复或遗漏列

20、举时很容易造成重复或遗漏. .为了避免这种重复或遗漏为了避免这种重复或遗漏, , 可可以用列表法求解，列表的时候，注意左上角的内容要规范，中以用列表法求解，列表的时候，注意左上角的内容要规范，中间结果一般要用有序数对的形式表示；每一个转盘转动，都有间结果一般要用有序数对的形式表示；每一个转盘转动，都有3 3种等可能的结果种等可能的结果, ,而且第二个转盘转动的结果不受第一个结果而且第二个转盘转动的结果不受第一个结果的限制，因此一共有的限制，因此一共有=9=9种等可能的结果种等可能的结果. .4 45 57 71 1（1 1，4 4）（1 1，5 5）（1 1，7 7）6 6（6 6，4 4）（

21、6 6，5 5）（6 6，7 7）8 8（8 8，4 4）（8 8，5 5）（8 8，7 7）AB解：列表如下解：列表如下从表中可以发现：从表中可以发现：A A盘数字大于盘数字大于B B盘数字的结果共有盘数字的结果共有5 5种种. .P(AP(A数较大数较大)= ,P(B)= ,P(B数较大数较大)= .)= .P(AP(A数较大数较大) )P(BP(B数较大数较大),),选择选择A A装置的获胜可能性较大装置的获胜可能性较大. .9594 随堂练习随堂练习（基础练习）（基础练习）41914.4.现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯，各组现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯

22、，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。概率。将所有可能出现的情况列表如下：将所有可能出现的情况列表如下： （红，红）（红，红）（黄，红）（黄，红）（蓝，红）（蓝，红）（绿，红）（绿，红）（红，黄）（红，黄）（黄，黄）（黄，黄）（蓝，黄）（蓝，黄）（绿，黄）（绿，黄）（红，蓝）（红，蓝）（黄，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）（蓝，蓝）（绿，蓝）（绿，蓝）（红，绿）（红，绿）（黄，绿）（黄，绿）（蓝，绿）（蓝，绿）（绿，绿）（绿，绿）5.5.某商场在今年某商场在今年“十十一一”国庆节举行了购物摸奖活动摸奖国庆节举行了购物摸奖

23、活动摸奖箱里有四个标号分别为箱里有四个标号分别为1 1，2 2，3 3，4 4的质地、大小都相同的小球，的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号商场规定：两次摸出的小摸出一个小球，又记下小球的标号商场规定：两次摸出的小球的标号之和为球的标号之和为“8”8”或或“6”6”时才算中奖请结合时才算中奖请结合“列表法列表法”，求出顾客李老师参加此次摸奖活动时中奖的概率求出顾客李老师参加此次摸奖活动时中奖的概率6.6.如图，有三张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其如图，有三张

24、不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，它均相同将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字试用列表的方法，求抽出的两张卡片上的数字都是正数的字试用列表的方法，求抽出的两张卡片上的数字都是正数的概率概率-31正面背面27.7.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1 1）两个骰子的点数的和是）两个骰子的点数的和是5 5；（2 2）至少有一个骰子的点数为）至少有一个骰子的点数为5.5.

25、8. “8. “六一六一”儿童节期间，某儿童用品商店设置了如下促销活儿童节期间，某儿童用品商店设置了如下促销活动：如果购买该店动：如果购买该店100100元以上的商品，就能参加一次游戏，即元以上的商品，就能参加一次游戏，即在现场抛掷一个正方体两次（这个正方体相对的两个面上分在现场抛掷一个正方体两次（这个正方体相对的两个面上分别画有相同图案），如果两次都出现相同的图案，即可获得别画有相同图案），如果两次都出现相同的图案，即可获得价值价值2020元的礼品一份，否则没有奖励求游戏中获得礼品的元的礼品一份，否则没有奖励求游戏中获得礼品的概率是多少？概率是多少？9.9.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓

26、球单打比赛，要从中甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，选出两位同学打第一场比赛，请用列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；请用列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。求恰好选中乙同学的概率。10.10.在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1 1，2 2，3 3，4 4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. .小明先从盒子里小明先从盒子

27、里随机取出一个小球，记下数字为随机取出一个小球，记下数字为x x；放回盒子摇匀后，再由小华；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为随机取出一个小球，记下数字为y y. .（1 1）用列表法表示出（）用列表法表示出（x x，y y）的所有可能出现的结果；）的所有可能出现的结果；（2 2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x x，y y）落在反比）落在反比例函数例函数 的图象上的概率；的图象上的概率；（3 3）求小明、小华各取一次小球所确定的数）求小明、小华各取一次小球所确定的数x x、y y满足满足 的的概率概率. .4yx4yx11.11.

28、一个口袋中有一个口袋中有4 4个小球，这个小球，这4 4个小球分别标记为个小球分别标记为1 1，2 2，3 3，4 4（1 1）随机模取一个小球，求恰好模到标号为）随机模取一个小球，求恰好模到标号为2 2的小球的概率；的小球的概率；（2 2）随机模取一个小球然后放回，再随机模取一个小球，求两）随机模取一个小球然后放回，再随机模取一个小球，求两次摸取的小球的标号的和为次摸取的小球的标号的和为3 3的概率的概率12.12.如图，有如图，有A A、B B两个转盘，其中转盘两个转盘，其中转盘A A被分成被分成4 4等份，转盘等份，转盘B B被分成被分成3 3等份，并在每一份内标上数字。现甲、乙两人同时

29、等份，并在每一份内标上数字。现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将视为无效，重转），若将A A转盘指针指向的数字记为转盘指针指向的数字记为x x，B B转转盘指针指向的数字记为盘指针指向的数字记为y y，从而确定点，从而确定点P P的坐标为的坐标为P P（x x，y y）。）。记记S=S=x x+ +y y。（1 1）请用列表法写出所有可能得到的点）请用列表法写出所有可能得到的点P P的坐标；的坐标；（2 2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S6S6时甲

30、获胜，时甲获胜，否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？对谁有利？否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？对谁有利？A AB B1 12 23 34 44 42 26 613.13.如图如图1111，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1-1，1 1，2 2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形

31、）形）. .（1 1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2 2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人则称两人“不谋而合不谋而合”. .用列表法求两人用列表法求两人“不谋而合不谋而合”的概率的概率. .14.“14.“五五一一”假期，某公司组织部分员工分别到假期，某公司组织部分员工分别到A A、B B、C C、D D四地四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票旅游，公司按定额购买了前往各地的车票. .下图是未制作完的车票下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列

32、问题：种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题： （1 1）若去）若去D D地的车票占全部车票的地的车票占全部车票的10%10%，请求出，请求出D D地车票的数量，并地车票的数量，并补全统计图；补全统计图；（2 2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去到去A A地的概率是多少？地的概率是多少？（3 3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一

33、枚各面分别标有分别标有1,2,3,41,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李面的数字小，车票给小王，否则给小李”. .试用试用“列表法或画树状列表法或画树状图图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？的方法分析，这个规则对双方是否公平？15.615.6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这把这6 6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上

34、，另外还有与卡片上图张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等。形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等。从这从这6 6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？从这从这6 6张卡片中随机抽取张卡片中随机抽取2 2张，利用列表法计算：与卡片上图张，利用列表法计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？正 三 角正 三 角形形

35、A A正方形正方形B BD D正 六 边正 六 边形形正 五 边正 五 边形形C CE E正 八 边正 八 边形形正 十 边正 十 边形形F F 当一次试验要涉及当一次试验要涉及两个因素两个因素, ,并且可能出现并且可能出现的结果数目较多时的结果数目较多时, ,为了不重不漏的列出所有可为了不重不漏的列出所有可能的结果能的结果, ,通常采用通常采用列表法列表法. .一个因素所包含的可能情况一个因素所包含的可能情况 另一另一个因素个因素所包含所包含的可能的可能情况情况两个因素所组合的两个因素所组合的所有可能情况所有可能情况, ,即即n n 在所有可能情况在所有可能情况n n中中, ,再找到满足条件

36、的事件的个再找到满足条件的事件的个数数m,m,最后代入公式计算最后代入公式计算. .列表法中表格构造特点列表法中表格构造特点: : 当一次试当一次试验中涉及验中涉及3 3个个因素因素或或更多更多的因素的因素时时, ,怎怎么办么办? ? 当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时, ,用列用列表法就不方便了表法就不方便了. .为了不重不漏地列出所有可能的结果为了不重不漏地列出所有可能的结果, ,通常采用通常采用“树形图树形图”. .树形图的画法树形图的画法: :一个试验一个试验第一个因数第一个因数第二个第二个第三个第三个 如一个试验如一个试验中涉及中涉及3 3

37、个因数个因数, ,第第一个因数中有一个因数中有2 2种种可能情况可能情况; ;第二个第二个因数中有因数中有3 3种可能种可能的情况的情况; ;第三个因第三个因数中有数中有2 2种可能的种可能的情况情况, ,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图. .n=2n=23 32=122=12例例1 1 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1) (1) 三枚硬币全部正面朝上三枚硬币全部正面朝上; ;(2) (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; ;(3) (3) 至少有两

38、枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上. .正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试验抛掷硬币试验解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,抛掷抛掷3 3枚枚硬币的结果有硬币的结果有8 8种种, ,它们出现的它们出现的可能性相等可能性相等. . P(A)P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上( (记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18= P(B)P(B)38=(2)(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上币反面朝上( (记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种

39、种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝满足至少有两枚硬币正面朝上上( (记为事件记为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C)P(C)48=12=第第枚枚 例例2.2.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先打呢由哪两人先打呢? ?他们决定用他们决定用 “ “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏时游戏时三人每次做三人每次做“石头石头” “” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势中的一三种手势中的一种种, ,规定规定“石头石头” ” 胜胜“剪刀剪刀”, “, “剪刀剪刀”胜胜“布布”, “, “布布”胜胜“石头石头”. . 问一次比赛能淘汰一人的

40、概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,游戏的结果有游戏的结果有2727种种, ,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等. . 由规则可知由规则可知, ,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“:“石石剪石石剪” ” “剪剪布剪剪布” “” “布布石布布石”三类三类. .而满足条件而满足条件( (记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9

41、种种 P(A)=P(A)=13=927 例3：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E;丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地抽取1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个、和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用树形图。解：根据题意，画出如下的“树形图”甲乙丙ABCDEHICDEHI HIHI HI HI从树形图看出，所有

42、可能出现的结果共有12个ACHACIADHADIAEHAEIBCHBCIBDHBDIBEHBEI （1）只有一个元音的字母的结果（红色）有5个125(一个元音）P 有两个元音的字母的结果（绿色）有4个 有三个元音的字母的结果（蓝色）有1个31124(两个元音）P121(三个元音）P （2）全是辅音字母的结果（黑色）有2个61122(三个辅音）P用树状图和列表的方法求概率的前提:各种结果出现的可能性务必相同.例如注意：1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两辆车向右转，

43、一辆车向左转；（3）至少有两辆车向左传。第一辆左右左右左直右左直右第二辆第三辆直直左右直左右直左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直直右右左直右左直右 左直左直右右左直右左直右左左直右直右共有27种行驶方向解：画树形图如下：271()1 (全部继续直行）P91273()2(两车右转，一车左传）P（3）至少有两辆车向左传，有7种情况，即：左左左，左左直，左左右，左直左，左右左，直左左，右左左。 277(至少有两车向左传）P 2.在一个不透明的口袋中装有在一个不透明的口袋中装有4 4张相同的纸牌，它们分别标有张相同的纸牌，它们分别标有数字数字1 1，2 2，3 3，4.4.随机地摸取出一张纸牌

44、然后放回，在随机摸随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌取出一张纸牌. .（1 1）计算两次摸取纸牌上数字之和为）计算两次摸取纸牌上数字之和为5 5的概率；的概率；（2 2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。这胜。这 是个公平的游戏吗？请说明理由是个公平的游戏吗？请说明理由. .解：用树状图法。12341112223334441234由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它

45、们出现的可能性相等.(1)两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P(A)= =16441(2)这个游戏公平，理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P(B)= =两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P(C)= =两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平.16821168213.3.一个不透明的布袋里装有一个不透明的布袋里装有3 3个球，其中个球，其中2 2个红球，个红球，1 1个白球，它个白球，它们除颜色外其余都相同们除颜色外其余都相同(1)(1)求摸出求摸出1 1个球是白球的概率；个球是白球的概率；(2)(2)摸出摸出1 1

46、个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1 1个球，求两个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图）；次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图）；(3)(3)现再将现再将n n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1 1个球是白球的概个球是白球的概率为率为 ，求，求n n的值的值574.4.在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球（除颜色外其余都相同），其中有白球2 2个，黄球个，黄球1 1个个. .若从中若从中任意摸出一个球，这个

47、球是白球的概率为任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 .0.5 .（1 1）求口袋中红球的个数）求口袋中红球的个数. .（2 2）若摸到红球记）若摸到红球记0 0分，摸到白球记分，摸到白球记1 1分，摸到黄球记分，摸到黄球记2 2分，甲分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个. .请用画树状图的方请用画树状图的方法求甲摸得到两个球且得法求甲摸得到两个球且得2 2分的概率分的概率. .3.3.游戏者同时转动图中得两个转盘进行游戏者同时转动图中得两个转盘进行“配紫色配紫色”的游戏，求游戏的游戏，求游戏者获胜的概率。（配紫色即转成红蓝两种颜色）者获胜的概率

48、。（配紫色即转成红蓝两种颜色）红白黄蓝绿4.4.小王将一黑一白两双相同号码的袜子一只一只的扔进抽屉里，小王将一黑一白两双相同号码的袜子一只一只的扔进抽屉里，当他随意的从抽屉里拿出两只袜子时，恰好成双的额概率是多当他随意的从抽屉里拿出两只袜子时，恰好成双的额概率是多少。少。5.5.准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1 1和和2 2，从每组牌中各摸出一张，称为一次试验。从每组牌中各摸出一张，称为一次试验。（1 1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有那些值，）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有那些值，（2 2）两张牌的牌面数字和等于）

49、两张牌的牌面数字和等于3 3的概率是多少。的概率是多少。（3 3）你认为哪种情况的概率最大。）你认为哪种情况的概率最大。5.5.甲、乙、丙三个布袋都不透明甲、乙、丙三个布袋都不透明, ,甲布袋中装有甲布袋中装有1 1个红球和个红球和1 1个白个白球球; ;乙布袋中装有乙布袋中装有1 1个红球和个红球和2 2个白球个白球; ;丙布袋中装有丙布袋中装有2 2个白球个白球, ,这些这些球除颜色外都相同球除颜色外都相同, ,从这匹个布袋中各随机地取出从这匹个布袋中各随机地取出1 1个小球个小球. .(1)(1)取出的取出的3 3个小球恰好是个小球恰好是2 2个红球和个红球和1 1个白球概率是多少个白球

50、概率是多少? ?(2)(2)取出的取出的3 3个小球恰好全是白球的概率是多少个小球恰好全是白球的概率是多少? ?6.6.如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏，准备了两个可以自由转如图所示，小吴和小黄在玩转盘游戏，准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并动的转盘甲、乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域，并在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当在每个扇形区域内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为转盘停止转动后，指针所指扇形区域内的数字之和为4 4，5 5或或6 6时，时，则小吴胜；否则小黄胜。（

51、如果指针恰好指在分割线上，那么重则小吴胜；否则小黄胜。（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）（1 1）这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；）这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由；（2 2）请你设计一个对双方都公平的游戏规则。）请你设计一个对双方都公平的游戏规则。7.7.小明和小华为了获得一张小明和小华为了获得一张20102010年上海世博园门票，他们各自设计了一个方案：年上海世博园门票，他们各自设计了一个方案：小明的方案是：小明的方案是：转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影转动如图所示的转盘，当转盘

52、停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成分成6 6个扇区，若指针停在边界处，则重新转动转盘）个扇区，若指针停在边界处，则重新转动转盘）小华的方案是小华的方案是：有三张卡片，上面分别标有数字：有三张卡片，上面分别标有数字1 1，2 2，3 3，将它们背面朝上洗，将它们背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张，匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张，若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票若摸出两张卡

53、片上的数字之和为偶数，则小华获得门票（1 1）在小明的方案中，计算小明获得门票的概率，并说明小明的方案是否公）在小明的方案中，计算小明获得门票的概率，并说明小明的方案是否公平？平？（2 2）用树状图法列举小华设计方案中可能出现的所有结果，计算小华获得门）用树状图法列举小华设计方案中可能出现的所有结果，计算小华获得门票的概率，并说明小华的方案是否公平？票的概率，并说明小华的方案是否公平？(1) (1) 列表法和树形图法的优点是什么列表法和树形图法的优点是什么? ? (2)(2)什么时候使用什么时候使用“列表法列表法”方便方便? ?什么时候使什么时候使用用“树形图法树形图法”方便方便? ? 利用利

54、用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出某可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果个事件发生的所有可能出现的结果; ;从而较方从而较方便地求出某些事件发生的概率便地求出某些事件发生的概率. . 当试验包含当试验包含两步两步时时, ,列表法列表法比较方便比较方便, ,当然当然, ,此时也可以用树形图法此时也可以用树形图法; ; 当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时, ,用用树形图法树形图法方便方便. .课堂小节（二）列举法（二）列举法求概率求概率1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的虑如

55、何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目问题可能解的数目. 2利用列举法求概率的关键在于正确列举出试利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等分类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等.例：将正面分别标有数字例：将正面分别标有数字1 1、2 2、3 3、4 4、6 6，背面，背面花色相同的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌花色相同的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两张面上，从中随机抽取两张. .（1 1）写出所有机会均等的结果，并求抽出的两）写出所

56、有机会均等的结果，并求抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率；张卡片上的数字之和为偶数的概率；（2 2）记抽得的两张卡片的数字为）记抽得的两张卡片的数字为(a,b)(a,b)，求点，求点P(a,b)P(a,b)在直线在直线y=x-2y=x-2上的概率上的概率. .分析：因为从五张卡片中随机抽取两张分析：因为从五张卡片中随机抽取两张, ,它的可它的可能结果是有限个，并且各种结果发生的可能性能结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等相等. .因此，它可以应用因此，它可以应用“列举法列举法”的公式概的公式概率注意率注意, ,在问题（在问题（1 1）中抽出的两张卡片是没）中抽出的两张卡片是没有先后顺

57、序的；在问题（有先后顺序的；在问题（2 2）中抽出的两张卡片）中抽出的两张卡片是有先后顺序上的是有先后顺序上的. .解：（1）任取两张卡片共有10种取法，它们是：（1、2），（1、3），（1、4），（1、6），（2、3），（2、4），（2、6），（3、4），（3、6），（4、6）；和为偶数的共有四种情况故所求概率为 .142105P （2 2）抽得的两个数字分别作为点）抽得的两个数字分别作为点P P的横、纵坐标共有的横、纵坐标共有2020种机会均等的结果，在直线种机会均等的结果，在直线y=x-2y=x-2上的只有（上的只有（3 3、1 1），），（4 4、2 2），（），（6 6、4 4）三种情况，故所求概率）三种情况，故所求概率 . .1320P