郑采星大学物理学习教案

《郑采星大学物理学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《郑采星大学物理学习教案（55页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、会计学1第一页，共55页。2宏观宏观(hnggun)法与微观法相辅相成。法与微观法相辅相成。热学热学(rxu)（Heat） 热学是研究与热现象有关的规律的科学。热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动热现象是物质中大量分子无规则运动(yndng)(yndng)的集体表现。的集体表现。 大量分子的无规则运动大量分子的无规则运动(yndng)(yndng)称为热运动称为热运动(yndng)(yndng)。热学的研究方法热学的研究方法：1.宏观法宏观法. 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理(运用数学运用数学) -称为热力学。称为热力学。 优点：可靠、普遍。

2、优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。缺点：未揭示微观本质。2.微观法微观法. 物质的微观结构物质的微观结构 + 统计方法统计方法 -称为统计力学称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。第1页/共55页第二页，共55页。3宏观宏观(hnggun)量与微量与微观量观量 对热力学系统的两种描述对热力学系统的两种描述(mio sh)方法：方法：1. 宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量从整体上描述系统的状态量，一

3、般可以直接测量(cling)。 如如 M、V、E 等等-可以累加，称为广延量。可以累加，称为广延量。 P、T 等等-不可累加，称为强度量。不可累加，称为强度量。2. 微观量微观量 描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量如分子的质量m、 直径直径 d 、速度、速度 v、动量、动量 p、能量、能量 等。等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果， 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。第2页/共55页第三页，共5

4、5页。4作业作业(zuy)：1、2、4、5、6、8、9。第3页/共55页第四页，共55页。51 状态状态 过程过程(guchng) 理想气体理想气体温度温度T反映物体冷热程度的物理量，其高低反反映物体冷热程度的物理量，其高低反映内部分子热运动的剧烈程度。映内部分子热运动的剧烈程度。 热力学温标热力学温标(T:K)与摄氏温标与摄氏温标(t:)： t=T-273.15体积体积 V 气体气体(qt)分子所能到达的空间。分子所能到达的空间。1dm3=1L压强压强 P P 气体分子垂直作用气体分子垂直作用(zuyng)(zuyng)于器壁单于器壁单位面积上的位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观

5、力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。表现。 760 mmHg=1.01 760 mmHg=1.01105Pa105Pa。1.气体状态参量气体状态参量第4页/共55页第五页，共55页。6平衡态：在不受外界影响的条件下，系统宏观平衡态：在不受外界影响的条件下，系统宏观(hnggun)性质均匀一致、不随时间变化的状态，气体状态（性质均匀一致、不随时间变化的状态，气体状态（P,V,T）就是指平衡态。）就是指平衡态。 2.平衡平衡(pnghng)态和态和平衡平衡(pnghng)过程过程 平衡态是一个理想化模型，我们平衡态是一个理想化模型，我们(w men)主要研究平衡态的热学规律。主要研究平衡态的

6、热学规律。说明两个概念：说明两个概念：动态平衡动态平衡 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。改变。这称为动态平衡。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同两侧粒子数相同。粒子数是宏观量粒子数是宏观量气缸中的气体气缸中的气体第5页/共55页第六页，共55页。7涨落涨落 处在平衡态的系统的宏观处在平衡态的系统的宏观

7、(hnggun)量，如压强量，如压强P，不随时间改变，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。上例中两侧粒子数不可能上例中两侧粒子数不可能严格相同，这里的偏差也严格相同，这里的偏差也就是就是(jish)涨落。涨落。平衡态平衡态1非平衡态非平衡态平衡态平衡态2状态变化状态变化(binhu)的过程的过程 系统从平衡态系统从平衡态1到平衡态到平衡态2，经过一个过程，经过一个过程,平衡态平衡态1必首先被破坏，系统变为非平衡态，从非平衡态到新的平衡

8、态所需的时间为弛豫时间。必首先被破坏，系统变为非平衡态，从非平衡态到新的平衡态所需的时间为弛豫时间。第6页/共55页第七页，共55页。8状态状态(zhungti)到状态到状态(zhungti)是一个状态是一个状态(zhungti)变化的过程。若此过程足够缓慢，这个过程中每一状态变化的过程。若此过程足够缓慢，这个过程中每一状态(zhungti)都可近似看作平衡态，则叫平衡过程。都可近似看作平衡态，则叫平衡过程。平衡平衡(pnghng)过过程程在过程中每一时刻在过程中每一时刻(shk)(shk)，系统都处于平衡态，这是，系统都处于平衡态，这是一种理想过程。一种理想过程。u例例1 1：外界对系统做功

9、，过程无限缓慢，无摩擦。：外界对系统做功，过程无限缓慢，无摩擦。 非平衡态到平衡态的过渡时非平衡态到平衡态的过渡时间，即弛豫时间，约间，即弛豫时间，约 10 -3 秒秒 ，如果实际压缩一次所用，如果实际压缩一次所用时间为时间为 1 秒，就可以说是秒，就可以说是平衡过程。平衡过程。第7页/共55页第八页，共55页。92分子热运动分子热运动(yndng)和统计规律和统计规律分子热运动分子热运动(yndng)(yndng)：大量分子做永不停息的无规则运：大量分子做永不停息的无规则运动动(yndng).(yndng).基本特征：基本特征：(1)无序性无序性某个分子的运动，是杂乱无章某个分子的运动，是杂

10、乱无章(z lun w zhng)的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。(2)统计性统计性但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。第8

11、页/共55页第九页，共55页。10定义定义: 某一事件某一事件 i 发生发生(fshng)的概率为的概率为 Pi Ni - 事件事件 i 发生发生(fshng)的的 次数次数 N - 各种事件发生各种事件发生(fshng)的的 总次数总次数统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点(tdin):（1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变).（3）总是伴随着涨落）总是伴随着涨落.表演表演(bioyn)实验：伽耳顿板实验：伽耳顿板例例. 扔硬币扔硬币什么是统计规律性什么是统计规律性 大量偶然

12、事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。NNPiNilim第9页/共55页第十页，共55页。11微观模型与统计微观模型与统计(tngj)方法方法理想气体分子理想气体分子(fnz)的微观假设（力学假设）的微观假设（力学假设）3 气体动理论气体动理论(lln)的压强公式的压强公式1.理想气体微观模型理想气体微观模型(1)气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。(2)气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；(3)分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。分

13、子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。对大量分子组成的气体系统的对大量分子组成的气体系统的统计假设统计假设：（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；（2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，）平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；即分子数密度到处一样，不受重力影响；VNdVdNndV-体积元（宏观小，微观大）体积元（宏观小，微观大）第10页/共55页第十一页，共55页。12（3）平衡态时分子的速度按方向）平衡态时分子的速度按方向(fngxing)的分布是各向均匀的。的分布

14、是各向均匀的。0zyxvvv32222vvvvzyxiiiixixnvnviiiixxnnvv222. 速率分布速率分布(fnb)函数函数 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子运动论从物质微观结构出发，研究大量(dling)(dling)分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，因此，写出分布函数对具有统计性的系统来讲，总存在着确定

15、的分布函数，因此，写出分布函数f（x）是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。第11页/共55页第十二页，共55页。13速率分布函数速率分布函数一定量的气体一定量的气体(qt)分子总数为分子总数为NdNv/N 是是 v 的函数，在不同的函数，在不同(b tn)速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。dNv表示表示(biosh)速率分布在某区间速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数，dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（百分比）。百分比）。 d

16、Nv/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。因此有因此有 dvvfNdNv 或或 dvNdNvf物理意义：速率在物理意义：速率在 v v 附近，附近，单位速率区间的分子数占总单位速率区间的分子数占总分子数的比率。分子数的比率。 100dvvfNdNNv归一化条件归一化条件第12页/共55页第十三页，共55页。14设在体积为设在体积为V的容器中储有的容器中储有N个质量为个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响(yngxing)，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为

17、n=N/V.dAdtdIPdI为大量分子在为大量分子在dt时间内施加在器壁时间内施加在器壁dA面上面上(min shn)的平均冲量。的平均冲量。4. 压强公式的简单推导压强公式的简单推导从微观上看，气体从微观上看，气体(qt)的压强等于大量分子在单位时间内的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有施加在单位面积器壁上的平均冲量。有 为讨论方便，将分子按速度分组，第为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为组分子的速度为vi（严格说在（严格说在vi 附近）分子数为附近）分子数为Ni ,分子数密度为分子数密度为 ni=Ni/V,并有并有 n=n1+n2+ni+.= ni

18、第13页/共55页第十四页，共55页。15xdAvixdtv平衡态下，器壁各处压强相等平衡态下，器壁各处压强相等(xingdng)，取直角坐标系，在垂直于，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如右图）计算其所受的压强（如右图）单个分子单个分子(fnz)在对在对dA的一次碰撞中施于的一次碰撞中施于dA的冲量为的冲量为2mvix. dt时间时间(shjin)内，碰到内，碰到dA面的第面的第i组分子施于组分子施于dA的冲量为的冲量为 2mni vix2dtdA关键在于：在全部速度为关键在于：在全部速度为vi的的分子中，在分子中，在dt时间内，能

19、与时间内，能与dA相碰的只是那些位于以相碰的只是那些位于以dA为底，以为底，以 vixdt 为高，以为高，以 vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数为为轴线的圆柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA 。第14页/共55页第十五页，共55页。16dt时间时间(shjin)内，与内，与dA相碰撞的所有分子施与相碰撞的所有分子施与dA的冲量为的冲量为 dAdtvmndIixiixvi2)0(2iixiiixidAdtvmndAdtvmndI22221注意注意(zh y)： vix0 vix0 的分子的分子(fnz)(fnz)数等于数等于 vix0 vix0 的分子的分子(fnz)(fnz)数。数。i

20、ixivnmdtdAdIP2压强nniixix22vv定义：2xvmnP 则：第15页/共55页第十六页，共55页。17平衡态下，分子速度平衡态下，分子速度(sd)(sd)按方向的分布是均匀的，有按方向的分布是均匀的，有222vvvzyx22222222vvvvvvvvzyxzyx231222vvvvzyx所以所以(suy)2v31mnP 或者或者(huzh)nmnP32)v21(3222v21m分子平均动能显示了宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律分子平均动能显示了宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。第16页/共55页第十七页，共55页。

21、18温度的微观意义温度的微观意义比较比较 P=nkT 和和 ，有，有nP32温度温度T T 标志着物体内标志着物体内部分子无规则运动部分子无规则运动(yndng)(yndng)的激烈程度的激烈程度：分子无规则：分子无规则运动激烈程度运动激烈程度的定量表示的定量表示理想气体状态方程的分子形式理想气体状态方程的分子形式由：由： PV= PV=RT RT 若知分子总数若知分子总数N N，则有，则有 PV=NRT/NA PV=NRT/NA 定义定义(dngy)(dngy)玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数: k =R/NA =1.38: k =R/NA =1.3810-23J10-23JK-1K-1 则则 PV

22、=NkT PV=NkT 或或 P=nkT P=nkTkT234 理想气体的温度理想气体的温度(wnd)公式温度公式温度(wnd)1. 温度的本质和温度的本质和统计意义统计意义第17页/共55页第十八页，共55页。19方均根速率方均根速率(sl)(sl)2vkTm23v221mkT/3v2RTmkT33v2在同一温度下，质量大的分子在同一温度下，质量大的分子(fnz)(fnz)其方均根速率其方均根速率小。小。2. 方均根速率方均根速率 (气体分子气体分子(fnz)速率平方的平均值的平方速率平方的平均值的平方根根)平均平动动能只与温度有关平均平动动能只与温度有关kT23温度是统计概念，只能用于大量

23、分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。第18页/共55页第十九页，共55页。20 1.一定质量的气体一定质量的气体,当温度不变时当温度不变时,压强随体积减小而增大压强随体积减小而增大;当体积不变时当体积不变时, 压强随温度升高而增大，从宏观上说压强随温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化这两种变化(binhu)都使压强增大都使压强增大;从微观上说从微观上说,它们是否有区别它们是否有区别? 2.两种不同种类的理想气体两种不同种类的理想气体(l xin q t),压强相同压强相同,温度相同温度相同,体积不同体积不同,

24、 试问单位体积内的分子数是否相同试问单位体积内的分子数是否相同? 3.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同(xin tn),但气体的分子数密度不同但气体的分子数密度不同,试问他们的压强是否相同试问他们的压强是否相同(xin tn)? 4.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,体积不同体积不同,但温度和压强相同但温度和压强相同,问气体分子的平均平动动能是否相同问气体分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动动能是否相同单位体积中的分子的总平动动能是否相同?问题：问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,

25、后者是由于运动加剧导致）后者是由于运动加剧导致）（答案（答案:相同）相同）（答案（答案:不同）不同） （答案（答案:相同相同,相同）相同）nkTP kT23kT23nkTP 第19页/共55页第二十页，共55页。21 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子子(yunz)(yunz)分子气体，双原子分子气体，双原子(yunz)(yunz)分子气体，分子气体，多原子多原子(yunz)(yunz)分子气体。这样，气体分子除平动分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子外，还有转动和分子内原子(yunz)(yunz)之间的振动。之间的振动。作为统

26、计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念介绍自由度的概念5 能均分能均分(jn fn)定理定理 理想气体的内理想气体的内能能1. 自由度自由度自由度：在力学中，自由度是指决定一个自由度：在力学中，自由度是指决定一个(y )(y )物体物体的空间位置所需要的独立坐标数的空间位置所需要的独立坐标数. t : . t : 平动自由度平动自由度, , r : r : 转动自由度转动自由度第20页/共55页第二十一页，共55页。22单原子分子单原子分子(自由自

27、由(zyu)运动质点运动质点) t = 3刚性双原子分子刚性双原子分子 t =3 r =2（两个被看作（两个被看作(kn zu)质点的原子被一条质点的原子被一条几何线连接）几何线连接）刚性刚性(n xn)多原子分子多原子分子 t =3 r =31coscoscos222质心：质心：3x，y，zc方位：方位：2 ， 转动：转动：1 xOyz),(zyx)He(第21页/共55页第二十二页，共55页。232. 能量能量(nngling)按自由度均分定理按自由度均分定理kTvm23221222231vvvvzyxkTvmvmvmvmzyx21)21(312121212222平方平方(pngfng)(

28、pngfng)项的平均值项的平均值平动平动(pngdng)(pngdng)自由度自由度kT21一个分子的平均平动能为：一个分子的平均平动能为：平衡态下平衡态下可得：可得：分子的每一个平动自由度的平均动能都等于分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，得推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理能量均分定理。第22页/共55页第二十三页，共55页。24在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于由度的平均动能都相等，都等于 。kT21是统计规律是统计规律(gul)，只适用于大量分子组成的系统。，只适用于大量分子组成的系统。

29、 是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。非刚性双原子分子非刚性双原子分子(fnz)除平动能、转动能，除平动能、转动能，还有振动能：还有振动能：每个振动每个振动(zhndng)自由度分配平均能量自由度分配平均能量 2 倍倍振动自由度振动自由度 = 1kT21222121krdtdrE振动221kr势能：kTsrtkTs)2(2121第23页/共55页第二十四页，共55页。25此结论在与室温此结论在与室温(sh wn)相差不大的温度范围内与实验近似相符。相差不大的温度范围内与实验近似相符。i 表示一个分子的总自由度表示一个分

30、子的总自由度 N 表示气体分子的总数表示气体分子的总数(zngsh) 表示气体总摩尔数表示气体总摩尔数分子的平均动能分子的平均动能 理想气体的内能理想气体的内能kTi2RTiNkTiNU223. 理想气体理想气体(l xin q t)的的内能内能内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用 E 表示。对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括所有分子的平均动能之和。表示。对于刚性分子，不

31、计分子间势能，内能仅包括所有分子的平均动能之和。理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比第24页/共55页第二十五页，共55页。26一）兰媚尔实验一）兰媚尔实验(shyn)原理：速率筛每旋转一周，分子通过原理：速率筛每旋转一周，分子通过W，到达屏上，但不是所有，到达屏上，但不是所有(suyu)速率的分子都能通过分子筛的。只有满速率的分子都能通过分子筛的。只有满足关系：足关系：vl的分子的分子(fnz)才能才能通过通过lv即只有速率为：即只有速率为：的分子才能通过的分子才能通过。,改变改变 等可让不同速率等可让不同速率的分子通过的分子通

32、过P分子源分子源（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）SWW W W狭缝屏狭缝屏淀积屏淀积屏速率筛速率筛l6 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1. 分子速率的实验测定分子速率的实验测定第25页/共55页第二十六页，共55页。27OV相对粒子数相对粒子数粒子速率粒子速率(sl)分布实验曲线分布实验曲线粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线(qxin)如下所示如下所示2. 麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)速率分布律速率分布律dvvekTmNNkTmv2232224d2232224)(vekTmvfkTmvpv)(vfvO)(vfv麦克斯韦的主要科学麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面，

33、贡献在电磁学方面，同时在天体物理学、同时在天体物理学、气体分子运动论、热气体分子运动论、热力学、统计物理学等力学、统计物理学等方面，都作出了卓越方面，都作出了卓越的成绩。的成绩。 第26页/共55页第二十七页，共55页。28 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律（一定条件（一定条件(tiojin)下，速率分布函数的具体形式）下，速率分布函数的具体形式）dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)速率分布函数速率分布函数在平衡态下，当气体分子在平衡态下，当气体分子(fnz)间的相互作用间的相互作用可以忽略时，分布在任一速

34、率区间可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的的分子分子(fnz)数占总分子数占总分子(fnz)数的比率为数的比率为第27页/共55页第二十八页，共55页。29曲线下面曲线下面(xi mian)宽度为宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)速率分布曲线速率分布曲线dvvfNdN)(vPvv+dvf(v)vf(vP)最最 概概 然然 速速 率与率与 f(v)极大值对应的速率。物理意义：若把整个速率范围划分极大值对应的速率。物理意义：若把整个速率范围划分

35、(hu fn)为许多相等的小区间，则分布在为许多相等的小区间，则分布在vP 所在区间的分子数比率最大。所在区间的分子数比率最大。 当当 v = vp时时 0dvvdfRTmkTvp22 1218ekTmvfp第28页/共55页第二十九页，共55页。30温度越高，速率温度越高，速率(sl)大的分子数越多大的分子数越多RTmkTvp22 1218ekTmvfpT3 T2 T1vp 随随 T 升高而增大升高而增大(zn d)，随，随 m 增大增大(zn d)而减小。而减小。 可讨论可讨论 T 和和 m 对速率分布的影响。对速率分布的影响。 10dvvff(vp1) f(vp2) f(vp3)f(v)

36、f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2o同一气体不同温度下速率同一气体不同温度下速率(sl)分布比较分布比较第29页/共55页第三十页，共55页。31 dvvvf0RTmkTv88 dvvfv02mkTv32RTmkTv332 dvvfvgvg0平均速率平均速率 和方均根速率和方均根速率v2v 三种速率均与三种速率均与 , 成反比，但三者有一个确定的比例关系成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。三种速率使用于不同的场合。mTNNvvN022dNNvvN0dpvv2v第30页/共55页第三十一页，共55页。32例例: : 试计算气体分子热运动试计算气体分子

37、热运动(yndng)(yndng)速率的大小介于速率的大小介于 vp- vp/100 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的百分数。之间的分子数占总分子数的百分数。pppvvvv1009910050100100pppppvvvvvv 在此利用在此利用vp ，引入，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单(jindn)形式：形式：WeWWWfNNW224)(解解: : 按题意按题意(t y)(t y)现在现在10099pvvW 501pvvW%66. 15011009942100992eNN

38、第31页/共55页第三十二页，共55页。33速度空间的概念速度空间的概念 表示分子的速度表示分子的速度以其分量以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空间为速度空间。v0vdvvdV24VzVyVxzyxdvdvdvdV 速率空间速率空间(kngjin)体体积元积元速度空间体积速度空间体积(tj)元元麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律速度分布律第32页/共55页第三十三页，共55页。34在平衡态下，当气体在平衡态下，当气体(qt)分子之间的相互作用可忽分子之间的相互作用可忽略时，速度分量略时

39、，速度分量vx在区间在区间vxvx+dvx，vy 在区间在区间vyvy+dvy，vz在区间在区间vzvz+dvz内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率为子数的比率为zyxkTvvvmvvvdvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222kTvvvmzyxzyxekTmv ,v ,vf2232222为麦克斯韦速度分布为麦克斯韦速度分布(fnb)函数。函数。dvxdvydvz为速度空间的一个为速度空间的一个(y )体积元。体积元。第33页/共55页第三十四页，共55页。356-7 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布(fnb)律律麦氏速度麦氏速度(sd)(sd)分布律为分布律为zyxvvvdvdvdv

40、ekTmNdNkTzvyvxvmzyx2222232Kzyxmvvvvm2222212其指数其指数(zhsh)仅包含分子运动动能仅包含分子运动动能 设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为 ，p用用Pk代替代替k分子力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。分子力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。用用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构成的六维空间中的体积元为轴构成的六维空间中的体积元dxdydzdvxdvydvz 代替速度空间的体积元代替速度空间的体积元dvxdvydvz zyxkTdvd

41、vdxdydzdvekTmndNPK2302第34页/共55页第三十五页，共55页。36玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布(fnb)(fnb)律律（玻尔兹曼分子按能量分布（玻尔兹曼分子按能量分布(fnb)(fnb)定律）定律）当系统当系统(xtng)(xtng)在力场中处于平衡态时，在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间其中坐标介于区间xx+dxxx+dx、yy+dyyy+dy、zz+dzzz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于vxvx+dvxvxvx+dvx，vyvy+dvyvyvy+dvy，vzvz+dvzvzvz+dvz内内的分子数为的分子数为zyxkTdvdvdxdydzdvekTmndNPK

42、23020Pn0为在为在 处，单位体积处，单位体积内具有各种速度的分子总数。内具有各种速度的分子总数。第35页/共55页第三十六页，共55页。37求单位体积分子求单位体积分子(fnz)(fnz)数数n n 将玻尔兹曼分布率积分将玻尔兹曼分布率积分, ,有有dxdydzendvdvdvekTmdxdydzenNdkTzyxkTkTPKP02302kTPendxdydzNdn0mghPRTghkTmghenenn00重力场中粒子按高度重力场中粒子按高度(god)(god)的分布（的分布（ ）第36页/共55页第三十七页，共55页。38等温大气压强公式等温大气压强公式(gngsh)(gngsh)（高

43、度计原理）（高度计原理）RTghenn0RTghePP0每升高每升高1010米，大气压强降低米，大气压强降低133Pa133Pa。近似近似(jn s)(jn s)符合实际，可粗略估计高度变化。符合实际，可粗略估计高度变化。假设：大气为理想气体假设：大气为理想气体 不同不同(b tn)(b tn)高度处温度相等高度处温度相等利用：利用：P = nkT可得可得: :第37页/共55页第三十八页，共55页。39奥地利物理学家奥地利物理学家(w l xu ji)(w l xu ji)玻耳兹曼是统计力玻耳兹曼是统计力学的奠基者学的奠基者 18661866年年2 2月月6 6日，不满日，不满(bmn)22

44、(bmn)22岁的玻耳兹曼向维也纳科学院宣读了他的博士论文，其题目是岁的玻耳兹曼向维也纳科学院宣读了他的博士论文，其题目是“力学在热力学第二定律中的地位和作用力学在热力学第二定律中的地位和作用”。 经过两年的思考，经过两年的思考， 1868 1868年，玻耳兹曼在年，玻耳兹曼在“关于运动质点活力平衡研究关于运动质点活力平衡研究”的文章中，把麦克斯韦的文章中，把麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)的气体分子速度分布律从单原子气体推广到多原子乃至用质点系看待分子体系平衡态的情况，把统计学的思想引入分子运动论。的气体分子速度分布律从单原子气体推广到多原子乃至用质点系看待分子体系平衡态

45、的情况，把统计学的思想引入分子运动论。正值玻耳兹曼即将完成博士论文之际，麦克斯韦相继发表了两篇关于气体动力学方面的论文，并计算出了分子速度的麦克斯韦分布律。玻耳兹曼随即转向研究麦克斯韦的工作领域。正值玻耳兹曼即将完成博士论文之际，麦克斯韦相继发表了两篇关于气体动力学方面的论文，并计算出了分子速度的麦克斯韦分布律。玻耳兹曼随即转向研究麦克斯韦的工作领域。第38页/共55页第三十九页，共55页。40然而，在当时实证主义思潮正席卷物理学界，机械自然观的局限性逐渐暴露的背景下，玻耳兹曼以分子然而，在当时实证主义思潮正席卷物理学界，机械自然观的局限性逐渐暴露的背景下，玻耳兹曼以分子(fnz)(fnz)原

46、子假设为基础的观点，被学术界充斥为是不能实证的虚构的原子假设为基础的观点，被学术界充斥为是不能实证的虚构的“数学模型数学模型”或假设，受到了强烈批评及指责；或假设，受到了强烈批评及指责； 18951895年，玻耳兹曼从慕尼黑大学聘到母校维也纳大学年，玻耳兹曼从慕尼黑大学聘到母校维也纳大学, ,大多数学生仅仅大多数学生仅仅(jnjn)(jnjn)选择玻耳兹曼为第二指导老师，不像玻耳兹曼在格拉茨和慕尼黑那样，学生争着拜他为第一导师。无疑也刺痛了玻耳兹曼的自尊心。选择玻耳兹曼为第二指导老师，不像玻耳兹曼在格拉茨和慕尼黑那样，学生争着拜他为第一导师。无疑也刺痛了玻耳兹曼的自尊心。玻耳兹曼把所有的时间都

47、投入到对哲学的疯狂研究中去，完成一本系统阐述自己见解的哲学著作成为他的一个最大夙愿。然而，令人遗憾的是，还没有等著作完成，这位孤独者于玻耳兹曼把所有的时间都投入到对哲学的疯狂研究中去，完成一本系统阐述自己见解的哲学著作成为他的一个最大夙愿。然而，令人遗憾的是，还没有等著作完成，这位孤独者于19061906年年9 9月月5 5日以上吊自杀的方式结束了自己的生命，解脱了心中的一切烦恼日以上吊自杀的方式结束了自己的生命，解脱了心中的一切烦恼(fnno)(fnno)。玻耳兹曼的死因成为物理学史上极其令人痛心的一桩事件，它既为后人研究他的思想提供了想像的余地，同时也留下了一个永远难以揭开的谜。玻耳兹曼的

48、死因成为物理学史上极其令人痛心的一桩事件，它既为后人研究他的思想提供了想像的余地，同时也留下了一个永远难以揭开的谜。第39页/共55页第四十页，共55页。411. 分子分子(fnz)碰碰撞撞分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。平衡态的过程中起着关键作用。在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的有效引力的有效(yuxio)(yuxio)直径为直径为d d 的刚球。的刚球。8 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数(csh) 平均平均自由程自由程 分了碰撞也是分了碰撞也是“无规则无规

49、则”的的, ,相隔多长时间碰撞一相隔多长时间碰撞一次次, ,每次飞翔多远才碰撞每次飞翔多远才碰撞 ，也都有是随机的、偶然的，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些因此也只能引出一些平均值来描写平均值来描写。第40页/共55页第四十一页，共55页。42气体气体(qt)分子自由程分子自由程线度线度 10-8m一个分子连续两次碰撞之间经历的平均一个分子连续两次碰撞之间经历的平均 自由路程叫平均自由程自由路程叫平均自由程 一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率 Zzv 单位时间内分子经历的平均距离单位时间内分子经历的平均距离 v ，平均碰撞

50、，平均碰撞 Z 次次2. 平均平均(pngjn)自由程自由程 平均平均(pngjn)碰撞频率碰撞频率第41页/共55页第四十二页，共55页。43 平均自由程平均自由程 和和平均碰撞频率平均碰撞频率 的计算的计算 Zvu2A分子分子A的运动轨迹为一折线的运动轨迹为一折线以以A的中心运动轨迹（图中的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有效虚线）为轴线，以分子有效直径直径d为半径，作一曲折为半径，作一曲折(qzh)圆柱体。凡中心在圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与此圆柱体内的分子都会与A相碰。相碰。跟踪分子跟踪分子(fnz)A，看其在一段时间，看其在一段时间t内与内与 多少分子多少分子(fnz

51、)相碰。相碰。u假设：其他分子静止不动，只有分子假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们之间以平均相对速率在它们之间以平均相对速率 运动。运动。第42页/共55页第四十三页，共55页。44在在 t 内，内，A所走过的路程为所走过的路程为 ， 相应圆柱体相应圆柱体的体积为的体积为 ， 设气体分子数密度为设气体分子数密度为n。则。则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在 t时间时间内与内与A相碰的分子数为相碰的分子数为 。 平均碰撞频率为平均碰撞频率为tu tu tun unttunZ vu2nvdnvZ222圆柱体的截面积为圆柱体的截面积为 ，叫做分子，叫做分子(f

52、nz)的碰撞截面。的碰撞截面。 = d2A第43页/共55页第四十四页，共55页。45平均平均(pngjn)自由程为自由程为ndn22121PdkT22nkTP Z在标准状态下，多数气体平均自由程在标准状态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢气约为只有氢气约为10-7m。一般。一般d10-10m，故，故 d。可求得。可求得 109/秒。秒。 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！说明：平均自由程与分子有效直径的平方说明：平均自由程与分子有效直径的平方(pngfng)及单位体积内的分子数成反比，与平均速率无关。及单位体积内的分子数成反比，与平均速率无关。第44

53、页/共55页第四十五页，共55页。46例题例题1：在某一容器内盛有质量相同的两种理想气体，摩尔：在某一容器内盛有质量相同的两种理想气体，摩尔(m r)质量分别为质量分别为1和和2 ，当此混合气体处于平衡态时，求两种气体分子数密度之比和方均根速率之比。，当此混合气体处于平衡态时，求两种气体分子数密度之比和方均根速率之比。解：解：21TT 212121NNnnVNVN122211mmmMmM121020mNmNVVV21或由或由 p=nkT，1221212211RTRTppnnMM21MM RTv32122221vv习题习题(xt)讨论课讨论课第45页/共55页第四十六页，共55页。47例题例题2

54、：设氦气和氮气的质量相等：设氦气和氮气的质量相等(xingdng)，方均根速率，方均根速率相等相等(xingdng)。则氦气和氮气的内能之比为多少？。则氦气和氮气的内能之比为多少？解：解：RTv322211TTRTiME22121iiEE氦气氦气i1=3和氮气和氮气(dn q)i2=553第46页/共55页第四十七页，共55页。48例题例题3 3：水蒸汽分解成同温度的氢气与氧气，不计：水蒸汽分解成同温度的氢气与氧气，不计振动自由度，内能增加振动自由度，内能增加(zngji)(zngji)了多少？了多少？解：解：222O21HOHRTiME2氢气氢气(qn q)i=5与氧气与氧气i=5，水分子，

55、水分子i=6RTRTRTE26)4525(RT43第47页/共55页第四十八页，共55页。49例题例题4：温度为温度为T时时,在方均根在方均根smv/502的速率的速率(sl)区间内，试比较氢、氮两种气体（视为理区间内，试比较氢、氮两种气体（视为理想气体）分子数占总分子数的百分率。想气体）分子数占总分子数的百分率。vvkTmvekTmNN2223424解：解：RTv32mkTv32代入上式mkTvv322vmkTkTkTekTmNN3423234 m1/222NHNNNN 第48页/共55页第四十九页，共55页。50例题例题5：一定量的理想气体贮于某一容器内，温度为：一定量的理想气体贮于某一容

56、器内，温度为T，气体分子的质量为气体分子的质量为m，根据理想气体的分子模型，根据理想气体的分子模型(mxng)和统计假设，分子速度在和统计假设，分子速度在x方向的分量平方的平均值为多方向的分量平方的平均值为多少？少？解：解：KT232v21m2222vvvvyyx2222v31vvvyyxmkT3v2mkTx22v31v第49页/共55页第五十页，共55页。51例题例题6：在标准状态下，若氧气：在标准状态下，若氧气(yngq)和氦气的体积比为和氦气的体积比为1/2，求其内能之比。，求其内能之比。解：解：氧气氧气(yngq)i1=5和氦气和氦气i2=3RTiRTiEE22112122RTiE22

57、121653521第50页/共55页第五十一页，共55页。52例题例题7：已知：已知 f（v）为麦克斯韦分布函数，）为麦克斯韦分布函数， N为总分子为总分子数，数， m为分子质量，为分子质量，vp 分子的最可几速率分子的最可几速率(sl)，问，问下列各式的物理意义：下列各式的物理意义：0)() 1 (dvvvfdvvfNdN)(ppvvvNNdvvfNdNp)(分子分子(fnz)的平均速率的平均速率pvdvvf)(2）（00)(vdvvvfNvdNvp-速率速率(sl)区间的分子占总分子数的百分比（几率）。区间的分子占总分子数的百分比（几率）。第51页/共55页第五十二页，共55页。53pvd

58、vvNf)(3）（dvvfNdN)(pppvvvNdNdvvNf)(vp-速率区速率区间间(q jin)的的分子数分子数pvdvvfvm)(2142）（Vp-速率区间速率区间(q jin)分子的平均平动动能？分子的平均平动动能？第52页/共55页第五十三页，共55页。54Vp-Vp- 速率区间分子速率区间分子(fnz)(fnz)的平均平动动能：的平均平动动能：ppppvvvvNdNvNfvmNdNmv)(212122pvdvvfvm)(212第53页/共55页第五十四页，共55页。55pvdvvfvm)(2142）（202)(vdvvfv022)(2121dvvfvmvmppvvdvvfvmdvvfvm)(21)(21202 0-vp vp- vp-速率速率(sl)区间的分子对分子平均平动动能的贡献。区间的分子对分子平均平动动能的贡献。第54页/共55页第五十五页，共55页。