4.1.4三角形的高线

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1、1课堂讲解课堂讲解三角形的高三角形的高 三角形高的位置三角形高的位置2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1.什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？2.三角形的三条中线、角平分线相交于一点吗？三角形的三条中线、角平分线相交于一点吗？这一交点在三角形的内部还是外部？这一交点在三角形的内部还是外部？复复习习回回顾顾1知识点知识点三角形的高三角形的高知知1 1导导 如图所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什如图所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系么特殊的位置关系? （来自（来自教材教材） 从三角形的一

2、个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线三角形的高线，简称，简称三角三角形的高形的高(height).如图，线段如图，线段AF是是ABC的的BC边上的高边上的高.归归 纳纳知知1 1导导（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲1.定义：定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；一个三角形有三条高三角形的高；一个三角形有三条高3.表达方式：表达方式：(1)AD

3、是是ABC的的BC边上的高；边上的高；(2)ADBC于点于点D；(3)ADC90，ADB90，或或ADCADB90.注：注：上述三种情况都表示上述三种情况都表示AD是是ABC的高，选用哪种的高，选用哪种表示法，应根据解题需要合理选用表示法，应根据解题需要合理选用（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 动手操作题，易错题动手操作题，易错题 画出下图中画出下图中ABC的三条的三条高高(要标明字母，不写画法要标明字母，不写画法)“作一边上的高作一边上的高”，即可看成，即可看成“过过一点一点(这边所对角的顶点这边所对角的顶点)作已知直作已知直线线(这边所在的直线这边所在的直线)的垂线的垂线”按按照

4、照“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”进进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意需注意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时边上的高在三角形的外部，作高时先延长先延长AB与与CB.导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲如图所示如图所示解：解：（来自（来自点拨点拨）(1)作三角形的高时，找准作三角形的高时，找准顶点和对边顶点和对边是关键，作高的是关键，作高的步骤就是步骤就是“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”的步骤：的步骤：一靠一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、

5、二找二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线三画线(画垂线段画垂线段)，如图，如图.(2)注意：注意：高是线段，垂线是直线高是线段，垂线是直线总总 结结知知1 1讲讲知知1 1讲讲例例2 动手操作题动手操作题如图，在如图，在32的正方形网格中，小正的正方形网格中，小正方形的边长为方形的边长为1，以图中，以图中A，B，C，D，E中的三点为中的三点为顶点的三角形中，面积为顶点的三角形中，面积为1的三角形有哪些？的三角形有哪些？首先要清楚以五点中的三点为顶点首先要清楚以五点中的三点为顶点的三角形有多少个，注意的三角形有多少个，注意C，D，E三点

6、在一条直线上，不能组成三角三点在一条直线上，不能组成三角形；再从这些三角形中找出面积为形；再从这些三角形中找出面积为1的三角形；而要找面积为的三角形；而要找面积为1的三角的三角形，根据这些三角形的特征，实质上是要找高为形，根据这些三角形的特征，实质上是要找高为1，底为底为2和底为和底为2，高为，高为1的所有三角形的所有三角形导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲以以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有中的三点为顶点的三角形有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE.其中面积为其中面积为1的有的有ABC，ADE，BCE，ACD.解：解：（来自（来自点

7、拨点拨）(1)三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角形三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角形的面积就会联想到高，因为三角形的面积等于底与的面积就会联想到高，因为三角形的面积等于底与高乘积的一半；高乘积的一半；(2)解答本例的关键是找底和高，注意三角形中大于解答本例的关键是找底和高，注意三角形中大于90的角的两边上的高在三角形的外部，这是难点，也的角的两边上的高在三角形的外部，这是难点，也是易错点是易错点总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1如图，在如图，在ABC中，中，BC边上的高是边上的高是_；在；在BCE中，中，BE边上的高是边上的高是_；在；在ACD中，

8、中，AC边上的高是边上的高是_（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练2(2016淄博淄博)如图，如图，ABC的面积为的面积为16，点，点D是是BC边边上一点，且上一点，且BD BC，点，点G是是AB上一点，点上一点，点H在在ABC内部，且四边形内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中是平行四边形，则图中阴影部分的面积是阴影部分的面积是()A3B4C5 D6（来自（来自典中点典中点）142知识点知识点三角形高的位置三角形高的位置知知2 2导导做一做做一做每人准备一个锐角三角形纸片每人准备一个锐角三角形纸片.(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折

9、纸的方方法得到它们吗法得到它们吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.（来自（来自教材教材）知知2 2导导议一议议一议在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系关系?(2)你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗们吗?(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线直线交于一点吗交于一点吗? 将你的结果

10、与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.（来自（来自教材教材）三角形的三条高所在的直线交于一点三角形的三条高所在的直线交于一点.归归 纳纳知知2 2导导（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲1.位置图例：位置图例：(1)三个角都是锐角的三角形：三条高都在三个角都是锐角的三角形：三条高都在三角形的内部，其交点也在三角形的内三角形的内部，其交点也在三角形的内部部(如图如图)；(2)有一个直角的三角形：一条高在三角形有一个直角的三角形：一条高在三角形的内部，其余两条高在三角形边上；其的内部，其余两条高在三角形边上；其交点为直角顶点交点为直角顶点(如图如图)；(3)有一个钝角的三角形：一条高在三角形有一

11、个钝角的三角形：一条高在三角形的内部，其余两条高在三角形的外部，的内部，其余两条高在三角形的外部，其所在直线的交点在三角形的外部其所在直线的交点在三角形的外部(如图如图)（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲2.特别提醒：特别提醒：(1)三角形中的三角形中的重要线段重要线段：三条高、三条中：三条高、三条中线、三条角平分线线、三条角平分线(2)三角形中的三个重要的点：三条高的交点叫垂心，三角形中的三个重要的点：三条高的交点叫垂心，三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心3.易错警示：易错警示：(1)三角形中大于三角形中大于90的角的两边上的高的作

12、法的角的两边上的高的作法(高均在三高均在三角形的外部角形的外部)；(2)任何三角形的三条高所在直线交于一点任何三角形的三条高所在直线交于一点(垂心垂心)（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例3 如图，在如图，在ABC中，中，BC边上的高边上的高AD4cm，BC4cm，AC5cm.(1)试求试求ABC的面积及的面积及AC边上的高边上的高BE的长；的长；(2)试求试求AD BE的值的值利用三角形面积公式及面利用三角形面积公式及面积法求解积法求解导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲(1)SABC BCAD 448(cm2)，因为因为SABC ACBE 5BE8(cm2)，所以所以BE

13、cm.(2)AD BE4 解：解：（来自（来自点拨点拨）121212121651655.4 求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想方法之一，而用同一个三角形方法之一，而用同一个三角形不同不同的面积表达式建的面积表达式建立求线段长度的等量关系，是一种很重要的数学方立求线段长度的等量关系，是一种很重要的数学方法：法：面积法面积法总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例4 如图，已知如图，已知ABC中，中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC.试

14、说明：试说明：BGDEDF.要说明线段的和、差关系，需将它要说明线段的和、差关系，需将它们转化为三角形的高的和、差关系，们转化为三角形的高的和、差关系，再利用面积的和、差关系来解决再利用面积的和、差关系来解决其中只有其中只有BG是是ABC的高的高DE，DF要想成为高，很自然地联想要想成为高，很自然地联想到要连接到要连接AD.导引：导引：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲如图，连接如图，连接AD，因为，因为SABCSABDSADC，所以所以 ACBG ABDE ACDF.又因为又因为ABAC，所以所以BGDEDF.解：解：（来自（来自点拨点拨）121212 “面积法面积法”是数学中很重要的方法

15、，而在涉及垂是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决关系来解决总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是顶点，那么这个三角形是()A锐角三角形锐角三角形 B钝角三角形钝角三角形C直角三角形直角三角形 D都有可能都有可能2不一定在三角形内部的线段是不一定在三角形内部的线段是()A三角形的角平分线三角形的角平分线 B三角形的中线三角形的中线C三角形的高三角形的高 D以上都不对以上都不对知知2 2

16、练练（来自（来自典中点典中点）3下列结论：下列结论：三角形的角平分线、中线、高都是线段；三角形的角平分线、中线、高都是线段；直角三角形只有一条高；直角三角形只有一条高；三角形的中线可能在三角形外部；三角形的中线可能在三角形外部；三角形的高都在三角形内部三角形的高都在三角形内部其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1.三角形的高线：三角形的高线：(1)定义；定义；(2)高线的画法；高线的画法；(3)三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这一点三角形的三条高线所在的直线相交于一点，这一点叫做三角形的垂心叫做三角形的垂心.2.特别提醒：特别提醒：(1)三角形中的重要线段：三条高、三条中三角形中的重要线段：三条高、三条中线、三条角平分线线、三条角平分线(2)三角形中的三个重要的点：三条高的交点叫垂心，三角形中的三个重要的点：三条高的交点叫垂心，三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心1.必做必做: 完成教材完成教材P90随堂练习随堂练习T1， 习题习题4.4T1-32.补充补充: 请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题30 结束语结束语