自适应滤波器翻译作业

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1、第八章快速横向LMS滤波算法8.1简介在大量的算法解决最小二乘问题递归形式的方法中快速横向递归最小二乘(FTRLS)算法是非常具有吸引力，因为其能减少计算复杂度。FTRLS算法可以通过求解同时向前和向后的线性预测问题，连同其他两个横向过滤器：过程估计量和一个辅助滤波器的期望信号向量有一个作为其第一和唯一的非零元素(例如,d(0)=1)。与格型算法相比,FTRLS算法只需要时间递归方程。然而，需要得到一些FTRLS算法的关系，可参考前面一章LRLS算法。FTRLS算法考虑快速的横向滤波器RLS的算法更新的解决方法。因为顺序固定，更新横向白适应滤波器系数向量在每个计算中都迭代。格型算法的向后和向前

2、的派生关系可以用于预测所派生的FTRLS算法。由此产生的算法计算复杂度在实际中实现N使它们特别具有吸引力。相比格型算法，FTRLS算法的计算复杂度较低，由于没有权向量更新方程。特别是，FTRLS算法通常需要7n到11n每输出样本，乘法和除法则需要LRLS14n到29n计算。因此，FTRLS算法被认为是最快的解决方案的实现RLS的问题1-7。在工程实践领域相继提出几种不同的FTRLS算法，所谓的快速卡尔曼算法1,这的确是一个早期的快速横向RLS算法，计算11n次乘法和除法的复杂运算在每次输出示例。在后面的研究阶段开发领域的快速横向算法，快速后验误差序列的技术(fa)2,快速横向滤波器(FTF)3

3、算法提出了要求，同样需要7n乘法和每次除法的输出样本。FTF算法是具有最低的复杂性的RLS算法，不幸的是，这些算法对量子化效应非常敏感，如果有一些步骤没被采取将会变得不稳定。在这一章,FTRLS算法的一种特殊形式将被提到，基于那些被提的网格算法所派生出来的。众所周知，量子化错误在FTRLS算法中是指数发散1-7。白从FTRLS算法不稳定的行为用有限精度算法实现的时候，我们讨论实现FTRLS数值稳定的算法，并提供一个特定算法的描述8,10。8.2递归最小二乘预测快速算法探索一些结构性的信息数据以达到低计算的复杂性。在特定情况下的快速RLS算法本文中讨论达到减少计算复杂度的情况下,由输入信号连续推

4、迟样本中相同的信号。在本例中，模式的快速算法是相似的，向前和向后预测这些过滤器是必不可少的部分算法。建模的预测执行任务的输入信号，因此允许替换矩阵方程的矢量和标量关系。派生的FTRLS算法，解决方案的RLS向前和向后的预测问题需要权向量递归方程。在本节中，这些解决方案进行了综述强调FTRLS算法相关的结果。如前所述，我们将借一些派生的前一章对点阵算法。是值得的提及,FTRLS可以被介绍通过一个独立的推导，基于格型的推导在这点可能更加深刻的当然更直截了当的。8.2.1向前预测关系瞬时向前后验Nth-order预测作为预测误差EfgN)=x(k)w；(XN)x(kLN)亍1=xT(k：N+l)my

5、Vf(k.N)和为了方便在这里重复ef(RN)=一个简单的处理方程后验和先验的向前预测误差之间的关系，首次提出了方程(7-49)勺(5(7.73)，导致以下的最小加权最小二乘误差时间的更新，这种方法将用于FTRLS算法：戏亦3，N)=fN)5k,N)*N)同样的从等式(7.73)，我们可以获得，需要的等式在FTRLS算法中人0(kLN)mmT(RN十1)=导”涡怙顷)可以通过执行前一章的方程(7.40)提出更新方程预测抽头系数矢量w/fk,N)=w/(fc1,TV)+机k1,N)ef(k1TV)在这里c(k1.A)=S)(k一1,A)x(k1.A).将会看到，向量的更新4(k-1,N)(k,N

6、+1)是需要更新落后的预测系数向量。同时，最后一个元素的Hk,N+1)是用于更新反向预测先验误差和获得丫(k,N)。向量(k,N+1)可以通过白右乘方程(7.56),双方在即时k和系数N通过x(k,N+1)=x(k)xT(k-1,N)。结果可以表示为(k.N+l)=妣_5)十弓瑚,N)小5然而，不方便使用FTRLS算法因为上面的方程产生反向预测部分，它将导致额外的计算。解决方案是使用另一种递归涉及,.(k,N1)峨,N+)=z+n代替“(k,N+1)(具体参照问题7)k,N1后产生的递归可以派生一些代数运算方程(8.6)和(8.3)(8.5),得到*,011巾(5+1)=诳_E)J+母瑚_顷)

7、|f心-LN)麟M正向预测抽头系数向量应该被更新使用，这样N)=f(k1,N)+6(A:1,N)cj(k,N)8.2反向预测关系在本节中，关系涉及用于FTRLS反向预测问题算法。后验概率预测与先验概率预测误差之间的关系可以表示为E认虹N)e认k,N)T(k,N)我们也知道对于不同转换因素的比率表示为HRN+L)对N)见前一章的方程(7.79)我们为了方便重写了最后的平等方程(7.70),得到玳(k,N)=X(k-1,N)rmn%*/umin7z这个等式也可以这样写1|殊化N)=3，N)M(5也渺一5一槌顷-LN)现在我们回想一下，反向预测滤波器的更新的时间可以写成Wb(E)=W雄一LN)+(k

8、,N)eb(k,N)=-LTV)+6侬,N)%(从N)以下类似的方法，得到方程(8.7)，首先两边的方程(7.59),在即后乘时k和N,通过x(k,N+1)=(k,N)xtx(k-N),并使用关系(8.10),(8.11),(8.13)我们有二枫虹N+l)-J1,N:1eb(k.N)注意,在这个等式的最后一个元素&k,N+1)已经在方程(8.7)计A算。在任何情况下，值得一提的是，最后一个元素的Nk,N+1)或者可以表达6n+i（氏N+1）=通过方程(8.9),(8.15)，在方程(8.12)和(8.10)，我们可以得到将方程(8.9)代入上面的方程，我们可以归纳出更新方程，并用于FTRLS算

9、法广(k,N)=N+1)-N+l)eb(k.N)有关后验与先验的预测问题和转换因子丫(k,N)的更新方程现在可用。我们可以通过期望信号d(k)进行派生解决估计的更一般的问题相关的过程，称为过程评估。8.3过程评估对于所有先前提出了白适应滤波器算法，得到FTRLS算法是很有用的，可以匹配一个期望信号d(k)的最小化加权方差。从先验误差心N)=d(k)-wr(fc-1,N)x(k,N)我们可以计算后验误差E(k,N)=e(k,N)y(k,N)在传统的RLS算法，更新的时间输出联合过程的抽头系数估计量可以执行w(A：,N)=w(A：1,N)+Nw(A：1,N)+(AN)e(AAi现在所有的更新方程可

10、用来描述快速横向RLS算法。的FRLS算法由方程(8.1)-(8.3),(8.7)-(8.8)和(8.4)提出相关预测；方程(8.15),(8.17),(8.9),(8.11),(8.14)和(8.13)相关的预测和落后的东西转换因子;(8.18)-(8.20)与过程估计量有关。FTRLS算法在逐步形成算法8.1。FTRLS算法的计算复杂度7(N)+14乘法/输出示例。FTRLS算法的关键特性是它不需要矩阵乘法。正因为如此,FTRLS算法的实现每输出样本顺序相乘N的复杂性。初始化过程包括设置反向预测的抽头系数，前进预测和过程评估过滤器为零，即wj(1?7V)=Wb(1,N)=w(1,N)=0向

11、量&-1,n)设置0假设的输入和期望信号零k0,町肇)f估/+1)曜)(S3)08)(S.7)0.N)=N)g,N+1,1)带有这个关系，我们可以获得所需的方程忙九q，N)L=疽金JSLN)，册,N+1，1)履(妃+1)选择的丫(k,N+1,1)是用来保持系统错误的工作状态的稳定9。使用方程转换因子和冗余的先验向后误差，我们可以获得稳定的快速横向RLS算法(SFTRLS)逐步实现给定的算法8.2。参数Ki,i=1,2,3确定通过计算机模拟搜索9的最佳值发现K1=1.5,K2=2.5,K3=1。在9还发现，数值表现对于Ki的最优值毫无反应，选择最佳值对于一个给定的情况对各种环境和工作算法设置情况

12、(例如，对于不同的遗忘因子的选择)。SFTRLS算法相关的另一个问题涉及的范围值入的稳定保证。1iA0,睛5)=/(2+1)_财ej(k,N)=eyfjfe,Nh(fe-1,N,3)r01rrii雄,N+l=祉_1/)1,N)勺(5)=T(k,/V+1=旷1(&-1,叫3)+家(加N+1)“此N)好蛔(加牌t=*t好协值_牌_雄,叫+1,1说也村+1)叮(k,N)=wy(fc-1,77)+砚1,NgfgN)免(晶NJ)=码(fc-1)$阳1(知+1)钮住,村泼)=招k1,A)lx3.V+l)%0M3)=%住,M2)融+eb(kfN,1)1-Kifori=1,2,3广伐M2)=广偈N+1,1)-

13、队(k,N4-l)S3(k,N,3)JMN=%件、M3)g,Nj=1,2就N)=崛血(耙-I/)+祢伉M3)脸(辰3)(t)(k,N*?l.r,lx-,htaF一轿认kLN)郸6J=0e(fc)UUd(k)xT(fc)w(fc)P=sgne(fc)w(fc+1)=w(A;)+2px(k)4.2.1符号误差算法最简单形式的量化函数(sgn)函数定义的表达式为1,b0otb=0Lb0符号误差算法利用符号函数作为误差量化器，其中系数向量的更新为w侬+1)=w(+2尹sgnfeiAJx(k)图4.1说明了实现符号误差算法延迟线输入x(k)。如果V是2的籍，数量,一个迭代算法符号误差N+1相乘的误差。添

14、加的总数是2n+2。符号误差算法的详细描述算法4.1所示。显然，向量x(0)和w(0)可以以不同的方式初始化中描述的算法目标函数最小化的符号误差算法是误差的模量乘以2,也就是说，Fe(k)=2e(k)注意，两个因素是只包括向符号误差和LMS算法在一个统一的形式。显然，在真正实现这个因素可以与收敛因子合并V。一些属性相关的收敛行为符号误差算法在固定环境中已经被描述，与前一章的LMS算法遵循同样的步骤4.2.1xk)图4.1基于符号误差算法的LMS滤器.1稳态行为中的向虽系数符号误差算法可以或者描述Av(k+1)=Aw(A)+2sgne(A)x(k)这里w(k)=w(k)-wo,系数误差的向量的预

15、期值列出了EAw(fc+1)=EAw(fc)+2/iEsgne(fc)x(fc)符号误差的噪声测量的n(k)的集合的概率密度函数的重要性是个值得关注的特点。这是因为sgne(fc)x(k)=sgn-Awr(A；)x(fc)+戒左)、(幻符号操作的结果高度依赖于n(k)的概率密度函数n(k)。在1中，作者提出一个收敛分析输出的MSE,即E(e2(k),不同分布的额外的噪音，如高斯、均匀的和二进制概率分布。仔细检查方程(4.8)表明，即使误差信号变得非常小，白适应滤波器系数将不断更新由于信号函数应用到错误信号。因此，在这样一种情况：白适应滤波器有足够数量的系数模型所需的信号，并没有额外的噪音，w(

16、k)不会收敛到零。在这情况下,w(k)将收敛到一个气球在我们中心，当头是适当的选择。e(k)的平均绝对值也收敛到一个气球围绕零，这意味着|e(kj)仍然小于球半径r6。回想一下,所需的信号没有测量噪声和d(k)表示。如果认为d(k)和x(k)的元素为零意味着，共同高斯和附加噪声n(k)也是零平均值，高斯，和独立的x(k)和d(k),误差信号也将零均值高斯信号条件onAw(k)。在这种情况下，使用价格定理描述的结果在Papoulis27和28,下面的结果是有效的。研卸心曲”湍风)假设E(k)为e(k)的方差而e(k)的平均值。上述对小的近似值是有效的。对于大P,e(k)取决于Aw(k)和有条件的预期值Aw(k)应该被使用而不是3-5。通过应用方程在方程(4.9)和(4.10)由e(k)取代0k)AwT(k*(k),它遵循|EAw(fe+1)=+E茶EM)从正交性原理我们知道Ee0(k)x(k)=0,这样上面的方程的最后一个元素为零。仕+1)=_2“湍E(k)遵循相同的步骤分析Ew(k)在传统的LMS算法,它可以表明，白适应滤波器的系数实现标记误差算法收敛的意思如果收敛因子选择的范围T八max戒侬)入max哪里的最大特征值r.应该提到，以防入max入min很大,系数的收敛速度的价值取决于入min相关最慢的是哪个