7.4刚体定轴转动的动能定理

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1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学dMrFrFrFAzdddd 若刚体转过的角位移为若刚体转过的角位移为 ，则，则力作的功为力作的功为 dd00 zMrFA 作用于刚体的外力的功，可用外力作用于刚体的外力的功，可用外力对转轴的力矩对转轴的力矩 所做的功来计算所做的功来计算.力矩的功率：力矩的功率：单位时间内力单位时间内力矩作的功矩作的功zzzMtMtAP dddd一、力矩的功一、力矩的功 FOzrF F dzFPrrd 刚体中某刚体中某P点在力点在力 的作用下发生了位移的作用下发生了位移 ，则，则力的元功为力的元功为 Frd力矩的元功力矩的元功上上 页页下下

2、 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学二、二、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时,其动能为刚体上所有质量其动能为刚体上所有质量元作圆周运动动能的总和元作圆周运动动能的总和.2k21 zIE 2kk21iiivmEE 2221 iirm 22)(21 iirm2k21iiivmE 任意质量元的动能为：任意质量元的动能为：1.刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能 刚体的动能刚体的动能 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学2.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 2022121 zziIIA

3、A 外外外外 zzIM 作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等于刚体绕定轴转动动能的改变量刚体绕定轴转动动能的改变量. d0iziMA外外外外dd0dtIz 0d zI0dIz外力矩的功外力矩的功上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学三、三、 刚体的重力势能刚体的重力势能 cmgyE p 刚体的重力势能刚体的重力势能与把质量全部集中在质心处的一与把质量全部集中在质心处的一个质点的重力势能相等个质点的重力势能相等. iigymEpgymii)( mgymmii)( 刚体的重力势能等于各质量元重力势能之和。刚体的重力势能等

4、于各质量元重力势能之和。 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题1（p233)装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为半径为R，重锤质量为，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落落并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率高度时的速率v，不，不计阻力，不计绳的质量及伸长计阻力，不计绳的质量及伸长.1m2mhR解法解法1. 利用质点和刚体转动的动利用质点和刚体转动的动能定理求解能定理求解.22T221vmhFghm 2212T4121 RmIRF 由质点动能定理由质

5、点动能定理 由刚体动能定理由刚体动能定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 Rv hR 联立求解，得：联立求解，得： 21222mmghmv解法解法 2. 利用质点系动能定理求解利用质点系动能定理求解 将转动柱体、下落物体视作质点系将转动柱体、下落物体视作质点系 由质点系动能定理由质点系动能定理 221222222)21(21212121 RmvmIvmghm Rv 联立求解，得：联立求解，得： 21222mmghmv 1m2mhR上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学解法解法 3.利用转动定律求解利用转动定律求解1m2mh

6、R)4(2)3()2(21) 1 (mT-gm2222ahvramRITRa联立求解，得：联立求解，得： 21222mmghmv上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题2(P234)均质杆的质量为均质杆的质量为m，长为，长为l,一端为光滑的支一端为光滑的支点点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.O上上 页页下下 页页结结

7、束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学解解(1)由机械能守恒得由机械能守恒得221 Imghc lhc21 231mlI 联立得联立得gllv3Ep=0OClg3上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学(2)根据质心运动定理根据质心运动定理 camWF NmrmaFctNt分量式分量式 ccrvmmgF2Nn NFneteCEp=0W杆处于铅直位置时不受力矩作用，由杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以转动定理，角加速度为零，所以0Nt Flgllvlrcc322 ,21mgmgmgFF2523NnN 方向向上方向向上 . 上上 页页下

8、下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 刚体对转轴的角动量守恒定律：刚体对转轴的角动量守恒定律：当定轴转动的当定轴转动的刚体所受的合外力对转轴的合力矩为零时刚体所受的合外力对转轴的合力矩为零时, ,刚体对刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。同一转轴的角动量不随时间变化。恒量得：ILz在定轴转动中在定轴转动中,如果如果 Mz = 0, 由由角动量定理角动量定理四、刚体对转轴的角动量守恒定律四、刚体对转轴的角动量守恒定律（p168)1221dIItMttz上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是

9、自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.角动量守恒条件：角动量守恒条件：刚体所受的合外力矩为零刚体所受的合外力矩为零0M若若I不变，不变，不变；不变；若若I变，变，也变，但也变，但 不变不变.IL讨论讨论 在在冲击冲击等问题中，因内力矩等问题中，因内力矩远大于外力矩远大于外力矩 ，此时，此时，角动量守恒。角动量守恒。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动如人手持哑铃的转动 、花样滑冰、跳水运动员跳花样滑冰、跳水运动员跳水、水、运动

10、员作各种快速旋转动作运动员作各种快速旋转动作, 都利用了对转都利用了对转轴的角动量守恒定律。轴的角动量守恒定律。W11.AVI 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例1：芭蕾舞演员开始绕自身轴张开手臂转动时的：芭蕾舞演员开始绕自身轴张开手臂转动时的角速度为角速度为0，转动惯量为，转动惯量为I0，她将手臂收回使，她将手臂收回使I减为减为I0 / 3，求芭蕾舞演员将手臂收回时的角速度，求芭蕾舞演员将手臂收回时的角速度 。解：根据角动量守恒定律：解：根据角动量守恒定律： 00II00II00310II03上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体

11、力学刚体力学ll/2CABMNh 例例2一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到处自由下落到跷板的一端跷板的一端A，并把跷板另一端的同质量演员，并把跷板另一端的同质量演员N弹了起弹了起来问演员来问演员N可弹起多高可弹起多高?(?(设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质，质量为量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员在竖直平面内转动，演员的质量均为的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是落在跷板上，与跷板的碰撞是完完全非弹性全非弹性碰撞碰撞)m上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体

12、力学解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度由机械能守恒得：点的速度由机械能守恒得：21M)2(ghv碰撞后的瞬间，跷板、碰撞后的瞬间，跷板、M、N具有相同的角速度具有相同的角速度2lu 设设M、N具有相同具有相同的线速度为的线速度为ll/2CABMNh上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学M、N和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒22M21121222mllmlmuIlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得ll/2CABMNh上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学演员演员N以以u

13、起跳，达到的高度，由机械能守恒：起跳，达到的高度，由机械能守恒：hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其的均匀细杆，可绕过其中心中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落垂直落在距点在距点O为 l/4 处，并背离点处，并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬爬行设小虫与细杆的质量均为行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以问：欲

14、使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行爬行?0vl/4O上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学220)4(1214lmmllm vl0712 v解：解：虫与杆的碰撞前虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒后，系统角动量守恒上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学l0712 v由角动量定理由角动量定理tttLMddId)I (dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第七章第七章 刚体力学刚体力学作业：作业：P256 7.4.2 7.5.1