3.2.2利用空间向量证明平行、

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1、第2页 自自 学学 导导 引引 (学生用书学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直垂直关系关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.第3页 课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P80) 第4页 1.空间中的平行关系主要有空间中的平行关系主要有_、_、_,空间中的垂直关系主要有空间中的垂直关系主要有_、_、_.2.证明两条直线平行证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是只要证明这两条直线的方向向量是_即可即可. 线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行线线垂直

2、线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直共线向量共线向量 第5页 3.证明线面平行的方法证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量证明直线的方向向量与平面的法向量_.(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量_.(3)利用共面向量的定理利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是个不共线的向量是_.垂直垂直共线共线共面向量共面向量 第6页 4.证明面面平行的方法证明面面平行的方法(1)转化为转化为_、_处理处理;(2)证明这两个平面的法向量是证明这两个平面的法向量是_.

3、5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_.6.证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是证明直线的方向向量与平面的法向量是_;(2)证明直线与平面内的证明直线与平面内的_.线线平行线线平行线面平行线面平行共线向量共线向量互相垂直互相垂直共线向量共线向量两条不共线向量互相垂直两条不共线向量互相垂直第7页 7.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法(1)转化为转化为_、_;(2)证明两个平面的法向量证明两个平面的法向量_.线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直互相垂直互相垂直第8页 名名 师师 讲讲 解解(学生用书学生

4、用书P80) 第9页 1.利用空间向量证明线与面平行利用空间向量证明线与面平行:只要在平面只要在平面内找到一条直内找到一条直线的方向向量为线的方向向量为b,已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为a,问题转化为证问题转化为证明明a=b即可即可.2.利用空间向量证明两条异面直线垂直利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各在两条异面直线上各取一个向量取一个向量a、b,只要证明只要证明ab,即即ab=0即可即可.第10页 3.证明线面垂直证明线面垂直:直线直线l,平面平面,要让要让l,只要在只要在l上取一个非零上取一个非零向量向量p,在在内取两个不共线的向量内取两个不共线的向量a、b,问

5、题转化为证明问题转化为证明pa且且pb,也就是也就是ap=0且且bp=0.4.证明面面平行、面面垂直证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、最终都要转化为证明线线平行、线线垂直线线垂直.第11页 典典 例例 剖剖 析析(学生用书学生用书P80)第12页 题型一题型一 证明线面平行证明线面平行例例1:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M、N分别是分别是C1C、B1C1的的中点中点,求证求证:MN平面平面A1BD.分析分析:分析分析1,如下图如下图,易知易知MNDA1因此得方法因此得方法1.第13页 :证明第14页 111111111111MNA112211(),2BD,

6、MNA BD.2/ /.MNC NC MC BC CD AD DDAMNDA 平面平面第15页 12:,A BD.MN 分析建立直角坐标系 证明与平面的法向量垂直1111:,Axyz.1,A0,0,1 ,B 1,0,0 ,D 0,1,011(1,1, ),(1,1).22,A BDn x,y,znn1 1(0, )2 2000 x1,y1,z1n1,1,10.MNMNADAByzxz 证明 如上图 建立空间直角坐标系设棱长为 则可求得设平面的法向量为则且得取则第16页 1111002n,MNA BD.MNA BD2.MN nMN 又平面平面第17页 变式训练变式训练1:ABCD-A1B1C1D

7、1是正四棱柱是正四棱柱,侧棱长为侧棱长为3,底面边底面边长为长为2,E是棱是棱BC的中点的中点,求证求证:BD1平面平面C1DE.第18页 证明证明:以以D为坐标原点为坐标原点,以以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图为坐标轴建系如右图,则则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),第19页 11111111112, 2,31,2,01,0,3( 2, 2,1,1.,BDC DE,BDC3),(1,2,0),( 1,0,3).,2,22,33,DE.,BDDEECBDDEECBDDE EC 设即得解得与共面又面面第20页 题型二题型二 证明线面垂直证明线面垂直

8、例例2:如下图所示如下图所示,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分别是分别是BB1、D1B1的中点的中点.求证求证:EF平面平面B1AC.第21页 分析分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行量平行.第22页 证明证明:方法方法1:设设A1B1的中点为的中点为G,连结连结EG,FG,A1B.则则FGA1D1,EGA1B.A1D1平面平面A1B.FG平面平面A1B.AB1 平面平面A1B,FGAB1,A1BAB1,EGAB1.EFAB1.同理同理EFB1C.又又AB1B1C=B1,EF平面平面B1AC.第23页

9、2222111111111,1,1()22: bac ac b ba0011()(),22.10() ()21212.ABa ADc AAbEFEBB FBBB DAABDabcABABAAabEF ABabcab 方法设则1111111EFAB ,EFB C.ABB CB/,EFB AC,./EFAB 即同理又平面第24页 方法方法3:设正方体的棱长为设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标建立如下图所示的空间直角坐标系系,第25页 111(1,1,2)(2,2,1)( 1, 1,1).(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2).(0,2,0)(2,0,0)( 2,2,0).A 2,

10、0,0 ,C 0,2,0 ,B2,2,2 ,E 2,2,1 ,F 1,1,( 1, 1,1) (0,2,22 .102)12 10.EFABACEF ABEF AC 则而 1111, 1,12,2,02200,EFAB ,EFAC.ABACA,EFB AC. 又平面第26页 规律技巧规律技巧:(1)方法方法1是传统的几何法证明是传统的几何法证明,利用线面垂直的性利用线面垂直的性质及判定质及判定,需添加辅助线需添加辅助线.方法方法2选基底选基底,将相关向量用基底表示出来将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计然后利用向量的计算来证明算来证明.方法方法3建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,利用

11、向量利用向量,且将向量的运算转化为且将向量的运算转化为实数实数(坐标坐标)的运算的运算,以达到证明的目的以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序而向量代数运算属程序化操作化操作,规律性较强规律性较强,但有时运算量大但有时运算量大,两种处理方法各有优两种处理方法各有优点点,不能偏废不能偏废.第27页 2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120 ,BCBAAD1,PAABCD,PA1.:CDPAC. 变式训练如下图四棱锥中 底面为直角梯形平面求证平面第28页 分析分析:由判定定理由判定定理,只要证明只要证明CD垂直于面垂直于面P

12、AC中的两条相交直中的两条相交直线即可线即可,或者用向量法证明或者用向量法证明CD的方向向量与平面的方向向量与平面PAC的法的法向量平行向量平行.第29页 证明证明:方法方法1:如下图如下图,分别以分别以AB、AD、AP所在直线为所在直线为x,y,z轴轴建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),第30页 (1,1,0),( 1,10,0,1 ,111 10,CDAC,CDAP,CDPAC.,0),0,ACCDAPCD ACCD AP 同理平面第31页 2:1,PACnx,y,0,00000( 1zyx,x1,PACn1, 1,0 ,n,CD

13、PA,1,0.).Cn APn ACxyzxyCDnCD 方法建系同方法设平面的法向量令平面的一个法向量平面第32页 题型三题型三 证明面与面垂直证明面与面垂直例例3:三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为是各条棱长均为a的正三棱柱的正三棱柱,D是侧是侧棱棱CC1的中点的中点.求证求证:平面平面AB1D平面平面ABB1A1.分析分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.第33页 证明证明:方法方法1:取取AB的中点的中点E.三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱为正三棱柱,CEAB且且AA1CE,得得CE面面ABB1A1.第34页

14、另取另取AB1中点中点M,得得MDCE.MD面面ABB1A1.又又MD 面面AB1D,面面AB1D面面ABB1A1.第35页 111111,1().212:,ABM,ABE,()211()0,(22AB AC AACEDMDMCECACBDM AACACBAACA AACB AADM ABC 方法取为空间基底 另取中点中点则由题意可得111111111AB)1()0,2,AAADMABB A .DMAB D,AB DABB A .ACBABCA ABCB ABDMAB DMAADMABDMAA 即且平面又面面面第36页 方法方法3:建系如下图建系如下图,正三棱柱底面边长为正三棱柱底面边长为a,

15、高为高为a,取取AB1的中的中点点M,则相关点的坐标如下则相关点的坐标如下:第37页 1111111113(0,),(0,0,), (,0,0),2222(,0,0),(,0, )223(0,0),(0,0, ),2( ,0,0),0,DMABB A .DMAB D,AB DABB A0.,aaaDaMAaaBAaDMaAAaABaDM AADM AB 则得面又面面面第38页 规律技巧规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统传统方法考查逻辑思维能力较多方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决常需作辅助线解决,思维量大思维量大,向量法思维量小

16、向量法思维量小,但有时运算量较大但有时运算量较大,特别是建系时一定要特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当建系不当,会人为会人为增加计算的难度增加计算的难度.第39页 变式训练变式训练3:如图所示如图所示,在六面体在六面体ABCD-A1B1C1D1中中,四边形四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形的正方形,四边形四边形A1B1C1D1是边长为是边长为1的的正方形正方形,DD1平面平面A1B1C1D1,DD1平面平面ABCD,DD1=2. (1)求证求证:A1C1与与AC共面共面,B1D1与与BD共面共面;(2)求证求证:平面平面A1A

17、CC1平面平面B1BDD1.第40页 证明证明:以以D为原点为原点,以以DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示如图所示,则有则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).第41页 1111111111111111( 1,1,0),( 2,2,0),(1,1,0),(2,2,0)1A C,.A CAC,B D.BD.2,2ACACD BDBACAC BDD BACDBD B 与平行与平行于是与共面与

18、共面第42页 1111111111111(0,0,2) ( 2,2,0)0,(2,2,0) ( 2,2,0)0,2DDDBB BDD,ACB BDD .A ACCAC,A ACCB BD,.D .DDACDB ACDDAC DBAC 与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面第43页 技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P82)第44页 基础强化基础强化1.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,平面平面xOz的一个法向量是的一个法向量是( )A.(1,0,0) B.(0,1,0)C.(0,0,1) D.(0,1,1)答案答案:B第45页 2.平面平面的一个法向量为的一个法向量为(1,2,

19、0),平面平面的一个法向量为的一个法向量为(2,-1,0),则平面则平面与平面与平面的关系是的关系是( )A.平行平行 B.相交但不垂直相交但不垂直C.相交且垂直相交且垂直 D.无法判定无法判定答案答案:C第46页 3.在空间四边形在空间四边形ABCD中中,E、F分别是分别是AB、BC的中点的中点,则则AC与平面与平面DEF的位置关系是的位置关系是( )A.平行平行 B.相交相交C.在平面内在平面内 D.不能确定不能确定答案答案:A解析解析:如图所示如图所示,易知易知EFAC,又又AC 平面平面DEF,EF 平面平面DEF,AC平面平面DEF.第47页 4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C

20、1D1中中,若若E为为A1C1的中点的中点,则直线则直线CE垂直于垂直于( )A.AC B.BDC.A1D D.A1A答案答案:B第48页 解析解析:如图如图,B1D1CC1,B1D1A1C1,又又CC1A1C1=C1,B1D1平面平面AA1C1C,而而CE平面平面AA1C1C,B1D1CE,又又B1D1BD,CEBD.第49页 5.平面平面ABC中中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若若a=(-1,y,z),且且a为平面为平面ABC的法向量的法向量,则则y2等于等于( )A.2 B.0C.1 D.无意义无意义答案答案:C第50页 2a1,y,zABC:(1,2,1)

21、(0,1,1)(1,1,0)( 1,0, 1)(0,1,1)( 1, 1, 2),0,0,10,aay1,2y1.10,ABACAB aACABa ACyyz 解析又为平面的法向量第51页 6.若直线若直线l的方向向量的方向向量a=(-2,3,1),平面平面的一个法向量的一个法向量n=(4,0,8),则直线则直线l与平面与平面的位置关系是的位置关系是_.解析解析:a5n=(-2)4+30+81=0,an,l 或或l.答案答案:l 或或l第52页 能力提升能力提升7.在正方体在正方体AC1中中,O、M分别是分别是DB1、D1C1的中点的中点.证明证明:OMBC1.第53页 证明证明:如图如图,以

22、以D为原点为原点,分别以分别以DA、DC、DD1为为x、y、z轴建轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系D-xyz.第54页 1111111( 1,0,1),( 2,0,2),2,O 1,1,1M 0,1,2B 2,2,0C0,2,2 ,OB BCC ,O1MBC .,.2OMBCOMBCOMBC 设正方体的棱长为 则、又平面第55页 8.在棱长为在棱长为a的正方体的正方体OABC-O1A1B1C1中中,E、F分别是分别是AB、BC上的动点上的动点,且且AE=BF,求证求证:A1FC1E.第56页 证明证明:以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则则

23、A1(a,0,a),C1(0,a,a).设设AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0). 1111112211x,a, aa,xa, aaxaxaa0.(, ,),( ,).,A FC E.AFx aa C Ea xaaAF C EAFC E 即第57页 9.如右图所示如右图所示,在平行六面体在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F、G分分别是别是A1D1、D1D、D1C1的中点的中点.求证求证:平面平面EFG平面平面AB1C.第58页 111111111111,1111,22222,/ /.11:EGAC22.ABa ADb AAcEGEDDGADDCbaACABADa

24、bACEGACEGEFEDD FADD D 证明 设则而故即又11111111EF B C.EGEFE,ACB CC,EFGA11,222,B C.bcBCBCC CbcEFEFBC 而即又平面平面第59页 品味高考品味高考10.(北京卷北京卷)如图在直三棱柱如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点点D是是AB的中点的中点,求求证证:AC1平面平面CDB1.第60页 证明证明:因直三棱柱因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以所以AC2+BC2=AB2.所以所以ACBC,第61页 1111111113( ,2,0)ACBCC C,C,CACBCCxyz,C 0,0,0 ,A 3,0,0 ,C0,0,4 ,B 0,4,0 ,B0,4,4 ,.23(,0,2),( 3,0,4).21,2CBC BE,DEE 0,2,2 ,DDEACDEACDEAC 所以、两两垂直 以 为坐标原点直线、分别为 、 、 轴 建立空间直角坐标系 则设与的交点为连结则因所以所以1111111DEAC,DEAC ,DECDB ,ACCDB .ACCDB .,又与不共线 所以因平面平面所以平面