数字信号处理-数字信号习题

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1、2022-6-291第三章习题讲解第三章习题讲解2022-6-2921,04( )0,nnx nn其他3设 4( )(2)h nR n令 ， ，6( )( )x nx n6( )( )h nh n试求 与 的周期卷积并作图。 ( )x n( )h n解：10( )( ) ()Nmy nx m h nm2022-6-2932022-6-2941 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1

2、0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m/x n mhm1hm2hm3hm4hm5hm/h n m14 12 10 8 6 10 ( )y n2022-6-2954. 已知 如图P3-4（a）所示，为 ，试画出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2( )x n5()xn66()( )xnR n33( )( )x nR n6( )x n55(3)( )x nR n77( )( )x nR n2022-6-2965()xn6( )x n66()( )xnR n

3、2022-6-29755(3)( )x nR n33( )( )x nR n77( )( )x nR n2022-6-2985. 试求以下有限长序列的 点 （闭合形式表达式）：NDFT0( )cos()( )Nx nan Rn(1) 10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：002101()( )2NjnkjnjnNNnaeeeRk2100cos()( )NjnkNNnan eRk002211()()001( )2NNjknjknNNNnnaeeRk2022-6-299000022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRkee0000002221 21 21 2

4、()()()2221()2()NNNjjjjkjkjkNNNeeeaeee0000002221 21 21 2()()()222()( )()NNNjjjNjkjkjkNNNeeeRkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNNNNNaeeRkkkNN2022-6-2910210( )NjnknNNna eRk(2) ( )( )nNx na Rn10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：21( )1NNjkNaRkae210( )nNjkNNnaeRk2022-6-2911210( )( )NjnkNNnx n

5、eRk2100()( )NjnkNNnnn eRk02( )jn kNNeRk(3) 0( )()x nnn00nN10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：2022-6-29121( 2/)01()()NjNn kkxnXkeN6. 如图P3-6（a）画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数 ()x n（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？ ( )X k（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 外）成为虚数？( )X k(0)X（3）哪些序列能做到 ，( )0X k 2, 4, 6,.k 2022-6-29132022-6-2914 为共轭对

6、称序列，即满足实部偶对称，虚部奇对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 为对称轴的偶对称( )x n0n 解:（1）要使 为实数，根据DFT的性质:( )X k( )( )Re( )ex nx nX k( )0Im( )0ox njX k( )x n( )x n( )()x nxn又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称： 故第二个序列满足这个条件2022-6-2915 为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚部偶对称（以 为轴）。( )x n0n 即 是以 对称轴的奇对称( )x n0n （2）要使 为虚数，根据DFT的性质:( )X k( )0Re( )0ex nX k( )(

7、 )Im( )ox nx njX k( )x n( )x n( )()x nxn 又由图知， 为实序列，虚部为零，故 应满足奇对称： 故这三个序列都不满足这个条件2022-6-2916（3）由于是8点周期序列，其DFS:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjkneX keee 当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 序列2:32442041( )1jkjnkjkneXkee217800( )( )( )NjnknkNnnX kx n Wx n e序列1:当 时， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 2022-6-2917序列3:311( )( )(4)x nx

8、nx n根据序列移位性质可知31141( 1)X ( )X ( )X ( )(1)1kj kj kjkkkekee 当 时， 2, 4, 6,.k 3( )0X k 综上所得，第一个和第三个序列满足 ( )0X k 2, 4,.k 2022-6-29188. 下图表示一个5点序列 。( )x n（1）试画出 ； ( )( )x nx n（2）试画出 ； ( )x n( )x n（3）试画出 ； ( )x n( )x n2022-6-2919( )( )x nx n2022-6-2920 ( )x n( )x n2022-6-2921 ( )x n( )x n2022-6-29229. 设有两个

9、序列( ),05( )0,x nnx nn其他( ),014( )0,y nny nn其他 各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为 ，问 的哪些点（用序号 表示）对应于 应该得到的点。( )f n( )f nn( )( )x ny n2022-6-2923解: 序列 的点数为 ， 的点数为 ，故 的点数应为( )x n16N ( )y n215N ( )( )x ny n12120NNN 0n 4(1)nNL019(1)N ( )f n( )x n( )y n又 为 与 的15点的圆周卷积，即L15。是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列混叠点数为NL2

10、0155( )f n5n 14n ( )( )x ny n故 中只有 到 的点对应于 应该得到的点。154(1)LN()L1534(1)LN( )L2022-6-292410. 已知两个有限长序列为1,03( )0,46nnx nn1,04( )1,56ny nn试用作图表示 ， 以及 。( )x n( )y n( )( )f nx n( )y n2022-6-29252022-6-2926-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1

11、-1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m/x n m/y n m 77ymRn 771ymRn 772ymRn 773ymRn 774ymRn 775ymRn7ym 7ym 776ymRn0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 2022-6-292711.已知 是N点有限长序列， 。现将长度变成rN点的有限长序列( )x n( )( )X

12、 kDFT x n( )y n( ),01( )0,1x nnNy nNnrN试求rN点 与 的关系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN得10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W210( )kNjnNrnx n e10( )NnkrNnx n W, 0,1,.,1klr lNkXr210( )NjnkrNnx n e2022-6-2928 在一个周期内，Y (k)的抽样点数是X (k)的r倍( Y (k)的周期为Nr)，相当于在X (k)的每两个值之间插入r-1个其他值（不一定为零），

13、而当k为r的整数l倍时，Y (k)与X (k / r)相等。相当于频域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN, 0,1,.,1klr lN( )kY kXr2022-6-292912. 已知 是N点的有限长序列， ，现将 的每两点之间补进 个零值点，得到一个rN点的有限长序列 ( )x n( ) ( )X kDFT x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn其他试求rN点 与 的关系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01NnkNnX kDFT x nx n WkN10( ) ( )(

14、)rNnkrNnY kDFT y ny n W得10()NirkrNix ir r W01krN10( )NikNix i W2022-6-2930故( )( )( )NrNY kXkRk 离散时域每两点间插入 r -1个零值点，相当于频域以N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN。10( )( ) 01NnkNnX kx n WkN01krN10( )( )NikNiY kx i W2022-6-293114.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理

15、的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。10Hz2022-6-2932解:（1）因为 ，而 ，所以001TF010FHz0110Ts即最小记录长度为。（2）因为 ，而31110100.1sfkHzT2shff152hsffkHz即允许处理的信号的最高频率为 。5kHz 又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为 300.13 1010000.1TNT（ ）1021024N 2022-6-293319. 复数有限长序列 是由两个实有限长序列 和 组成的，且已知 有以下两种表达式： f n x n 01y nnN f nx njy n F kDFTf n 11111NNkkNNab

16、F kjaWbW 21F kjN 其中 为实数。试用 求, a b F k ,X kDFT x n ,Y kDFT y n ,x n y n2022-6-2934 111 11NNkkNNabF kjaWbW ( ) ( ) ( )( )F kDFT f nDFT x njy n解：由DFT的线性性 ( ) ( )DFT x njDFT y n( )( )X kjY k( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk由共轭对称性得2022-6-2935*11111( )2 1111NNNNNkkN kN kNNNNababjjR

17、kaWbWaWbW*11111( )2 1111NNNNNkkkkNNNNababjjRkaWbWa Wb W*1( )( )()( )2NNX kF kFNkRk1( )1NNkNaRkaW10( )NnknNNna WRk1( )1NkNNkNaWRkaW( )( )nNx na Rn2022-6-2936( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRkj*11111( )21111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkjaWbWaWbW*11111( )21111NNNNNkkkkNNNNababjjRkj

18、aWbWa Wb W1( )1NNkNbRkbW10( )NnknNNnb WRk1( )1NkNNkNbWRkbW( )( )nNy nb Rn2022-6-2937*111( )2NjNjNRk111( )2NjNjN Rk ( )NRk( )( )x nn( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk 21F kjN 2022-6-2938*111( )2NjNjNRkj111( )2NjNjN Rkj ( )NNRk( )( )y nNn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1(

19、 )()( )2NNF kFNkRk2022-6-293920. 已知序列 现对于x(n) 的 变换在单位圆上 等分抽样，抽样值为 试求有限长序列 , 点。 IDFT X k ,01,nx na u nazN 2jkkNNz WeX kX zN2022-6-2940( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnX zx n zaz得11( )( )1kNkNz Wz WX kX zaz11kNaW1111NNkNNkNa WaaW1011NnkNNnaWa1011NnnkNNna Wa1( )( )1nNNIDFT X ka Rna2022-6-2941 ( )()(

20、)kNnkNz WnX kNWznXX zx对在单位圆上 点等间隔抽样，得周期序列：( )X kIDFS的：( )()Nrxnx nrN( )( )( )NNX kX k Rk点 ( )( )x nIDFT X k1( )1nNNa Rna( )( )NNxn Rn ()( )n rNNrau nrN Rn0( )n rNNraRn0( )rnNNraaRn2022-6-294226. 研究一个离散时间序列 ，由 形成两个新序列 和 ，其中 相当于以抽样周期为2对 抽样而得到，而 则是以2对 进行抽取而得到，即 x n x n pxn dxn pxn x n dxn x n , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn(a)若 如图P326 (a)所示，画出 和 。 x n pxn dxn(b) 如图P326 (b)所示， 画出 及 jX eDTFT x n jppXeDTFT xn jddXeDTFT xn2022-6-2943()jX e2022-6-2944 , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn2022-6-29451()01()()sDjkjpkXeX eD()()jjDdpXeXe()jX e3454223454223232()jdXe2342()jpXe34