用三重积分推导抽水做功的计算公式

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1、 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 1 抽水作功问题抽水作功问题 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 2 作为定积分的物理应用，抽水所做作为定积分的物理应用，抽水所做的功一般是用定积分来计算。的功一般是用定积分来计算。 本课件用三重积分的元素法来推导本课件用三重积分的元素法来推导抽水做功的三重积分计算公式。抽水做功的三重积分计算公式。 用三重积分来计算抽水所做的功，用三重积分来计算抽水所做的功，有时更方便。有时更方便。 最后，举例加以说明。最后，举例加以说明。 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6

2、.3 定积分的物理应用 3水面水面问题：问题：欲将瓶中的水从瓶口抽出，欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功求抽水所做的功W。 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 4先用定积分来计算功先用定积分来计算功 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 5如图建立如图建立 x 轴：轴：设瓶高为设瓶高为H，水面高为，水面高为 h，在在 x (0 xh)的高度取厚度的高度取厚度为为 dx 的很薄的一层水。的很薄的一层水。假设已知这层水的横截面假设已知这层水的横截面面积为面积为 A(x) (0 xPI*(2*x/3)2:dw:=x-(

3、15-x)*mu*g*A(x):Integrate(dw(x),x=0.15)=integrate(dw(x),x=0.15);d01513676.44445 ()15x x2x0.5769750002 108Maple check： June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 19再用三重积分计算再用三重积分计算 June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 20O如图建立坐标系。如图建立坐标系。圆锥面是直线圆锥面是直线 z=3y/2 绕绕 z 轴旋转而成的，其方轴旋转而成的，其方程为：程为：15x20zy2232zxy2232z

4、xy15()dwgdvzdv( , , )x y z在水中在水中(x,y,z)处取体积处取体积元素元素 dv则功的元素：则功的元素： June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 21抽水的功：抽水的功：(1)5zWdvdWg为圆锥体22222153210210153002(15)(15)xyxyrgdxdyz dzgdrdrz dz57697500(J)57697.5(kJ)转化为柱面坐标计算转化为柱面坐标计算注：如果用注：如果用“先二后一先二后一”积分法计算以上三重积分积分法计算以上三重积分，则相当于前面的定积分，则相当于前面的定积分计算过程。计算过程。 Ju

5、ne 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 22Maple check：mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:f:=(x,y,z)-mu*g*(15-z);Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI)=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI); June 17, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.3 定积分的物理应用 23 不能说用三重积分计算抽水的功一不能说用三重积分计算抽水的功一定就比定积分更方便，定就比定积分更方便， 但是三重积分至少提供了计算抽水但是三重积分至少提供了计算抽水的功的另一种一种思路。的功的另一种一种思路。 XUXZ, June 17, 2012, Math of SCU