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1、 授课人：马春雨与数学交朋友与数学交朋友 二次函数(1)基础回顾基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在某个范在某个范围内取一个确定的值，另一个变量围内取一个确定的值，另一个变量y y总有唯一的值总有唯一的值与它对应。与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量对于上述变量x x 、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数。的函数。 x x叫自叫自变量，变量， y y叫应变量。叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数二次函数变变量量
2、之之间间的的关关系系函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)正比例函数正比例函数y=kx (k0)y=k/x (k0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？经过的路线？它会与某种函数有联系吗？运动场上飞舞的跳绳运动场上飞舞的跳绳奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设设正方形的棱长为正方形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个的每一个值值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关它
3、们的具体关系可以表示为系可以表示为 问题问题1:1:y=6x29 多边形的对角线数多边形的对角线数d与边数与边数n有什么关系？有什么关系？问题问题2:2: 由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有n个顶点个顶点,从一个顶点出发从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可以作 (n-3) 条对角线条对角线.因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连接相同连接相同两顶点的对角线是同一条对角线两顶点的对角线是同一条对角线,所以所以多边形的对角线总数多边形的对角线总数MNnnd23212 即即 式表示了多边形的对角线式表示了多边形的
4、对角线数数d与边数与边数n之间的关系之间的关系,对于对于n的的每一个值每一个值,d都有唯一的对应值都有唯一的对应值,即即d是是n的函数。的函数。10函数有什么共同点函数有什么共同点? 观察：观察：y=6x2nn2 23 3n n2 22 21 1d dxxy2040202 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数都是用自变量的二次式表示的。11定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做二次函数。二次函数。其中其中x是自变量，是自变量，a为二次项为二次项系数，系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项
5、系数，为一次项系数，bx叫做一叫做一次项，次项，c为常数项。为常数项。 （1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变量，右边是关于自变量 x的的（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和，可以没有一次项和 常数项，但常数项，但不能没有二次项不能没有二次项。 注意注意： （2）a,b,c为常数，且为常数，且（4）x的取值范围是的取值范围是任意实数。任意实数。整式。整式。a0.(5) 函数的右边是一个函数的右边是一个 整整 式式12 二次函数的一般形式: yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0) 二次函数的特殊形式： 当当b0时，时， yax2c 当
6、当c0时，时， yax2bx 当当b0，c0时，时， yax213 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1） y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6例例1、下列函数中，哪些是二次函数？若、下列函数中，哪些是二次函数？若是是,分别指出二次项系数分别指出二次项系数,一次项系数一次项系数,常数常数项。项。 (1) y=3(x1)+1 (2) y=x+ 1x_15 解解:(1)y=3(x-1)+1 =3(x2
7、-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数：二次项系数：3一次项系数：一次项系数：-6常数项：常数项：4 (2) y=x+ 1x不是二次函数不是二次函数.16 思考：思考：2. 二次函数的一般式二次函数的一般式yax2bxc（a0）与）与一元二次方程一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区）有什么联系和区别？别？驶向胜利的彼岸联系：联系：(1)等式一边都是等式一边都是ax2bxc且且 a 0 (2)方程方程ax2bxc=0可以看成是函数可以看成是函数y= ax2bxc中中y=0时得到的时得到的.区别：区别：前者是函数前者是函数.后者
8、是方程后者是方程.等式另一边前等式另一边前者是者是y,后者是后者是0知识运用知识运用 例例1:下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2（ ) (3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( ) (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( ) 不是是 不是 不是 是 不是 一次函数一次函数y=kx+b (k 0),其中包括正比例函数其中包括正比例函数 y=kx(k0), 反比例函数反比例函数y= (k0) ， 二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)。现在我们学习过的函数有现在我们学习过的函数有
9、: 可以发现可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。式与自变量的关系。xk19？ （3 3）它它是是正正比比例例函函数数（2 2）它它是是一一次次函函数数？（1 1）它它是是二二次次函函数数？c c满满足足什什么么条条件件时时b b, ,当当a a, ,c c是是常常数数) )，b b, ,c c( (其其中中a a, ,b bx xa ax x函函数数y y2 20 0解解：（1 1）a a0 0b b0 0, ,( (2 2) )a a想一想想一想0 0c c0 0, ,b b0 0, ,( (3 3) )a a 例例2、y=（m
10、+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当解：（）当m27=1且且m+30即即m= 时是正时是正比例函数。比例函数。2 22 2（）当（）当m27=-1且且m+30即即m= 时是反比例函时是反比例函数。数。6 6（）当（）当m27=2且且m+30即即m=3时是二次函数。时是二次函数。213、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的有的有 。A y=ax2+b
11、x+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+14.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( )A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数B CC22 一农民用一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为，菜园的面积为Ym2，求求y与与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当当x=12m时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。 xm y m2 xm （40-2x ）m解：解：由题意得：由题意得： Y=x(40-2x)即：即：Y=-2x2+40 x(0 x20)当当x12m时，菜园的面积为：时，菜园的面积为：Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2）
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