数理统计——参数估计

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1、第2章 参数估计2.1 参数估计的几种方法2.2 估计的评价标准2.3 最小方差无偏估计2.4 区间估计 一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。设 x1, x2, xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为 的估计值， 称为 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：1(,)nxx 其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准

2、。最大似然法和矩估计法当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使的当参数当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使的当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大定义2.1.1 设总体的概率函数为p(x; )，是参数可能取值的参数空间，x1, x2 , , xn 是样本，将样本的联合概率函数看成 的函数，用L( ; x1, x2, , xn) 表示，简记为L( )， 称为样本的似然函数。112( )( ;,)(; )(; )(; )nnLLxxp xp xp x 如果某统计量 满足 则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likel

3、ihood Estimate）。 1( ,)nxx ( )max( )LL人们通常更习惯于由对数似然函数lnL( )出发寻找 的极大似然估计。当L( )是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL( )求导更加简单些。例2.1.1 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为 其对数似然函数为22123,2 (1),(1)ppp123212322222( )() 2 (1) (1) 2(1)nnnnnnnnL12322ln ( )(2)ln(2)ln(1)ln2L

4、nnnnn将之关于 求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以 是极大值点。12322201nnnn1212123222()2nnnnnnnn21232222ln ( )220(1)Lnnnn 例2.1.2 对正态总体N(, 2)，=(, 2)是二维参数，设有样本 x1, x2 , , xn，则似然函数及其对数分别为 22212/222122221()1( ,)exp221(2)exp()21ln ( ,)()lnln(2 )222niinniiniixLxnnLx 将 lnL(, 2) 分别关于两个分量求偏导并令其为0, 即得到似然方程组 (2.1.9) (2.1.10)221ln ( ,

5、)1()0niiLx 222421ln ( ,)1()022niiLnx 解此方程组，由(2.1.9)可得 的极大似然估计为 将之代入(2.1.10)，得出 2的极大似然估计 利用二阶导函数矩阵的非正定性可以说明上述估计使得似然函数取极大值。 11niixxn2221*1()niixxsn 虽然求导函数是求极大似然估计最常用的方法，但并不是在所有场合求导都是有效的。 例2.1.3 设 x1, x2 , , xn 是来自均匀总体 U(0, )的样本，试求 的极大似然估计。 解 似然函数 要使L( )达到最大，首先一点是示性函数取值应该为1，其次是1/n尽可能大。由于1/n是的单调减函数，所以 的

6、取值应尽可能小，但示性函数为1决定了 不能小于x( (n) )，由此给出的极大似然估计： 。 ( )0111( )innxxnniLII ( )nx 极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g( )，其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。 ( )g 例2.1.4 设 x1 , x2 , , xn是来自正态总体N( , 2) 的样本，则和 2的极大似然估计为 ，于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它们是: 22*, xs*s 标准差 的MLE是 ；概率 的MLE是 ；0.90*xs u3

7、(3)P X*3xs总体0.90分位数 x0.90= + u0.90 的MLE是 ，其中u0.90为标准正态分布的0.90分位数。 其基本思想是用样本矩估计总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方法思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的皮尔逊最早提出的 .记总体记总体k阶矩为阶矩为)(kkXE 样本样本k阶矩为阶矩为;, 2, 1,11 kXnAnikik 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从

8、而得出参数估计，从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法这种估计法称为矩估计法.12, ,XnX XX设是来自总体 的样本矩法估计 一、替换原理和矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如： 用样本均值估计总体均值E(X)，即 ； 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数， 用样本中位数估计总体中位数。 ()E Xx2Var()nXs例2.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4

9、 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。20.528.695,0.9185,28.6nxsm 设总体具有已知的概率函数 P(x, 1, , k)， x1, x2 , , xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若1, , k 能够表示成 1, , k 的函数j = j(1, ,k)，则可给出诸j 的矩法估计为 其中1( ,),1, ,jjkaajk11njjiiaxn例

10、2.1.5 设总体服从指数分布，由于EX=1/， 即 =1/ EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。1/ x1/ Var( )X11/s例2.1.6 x1, x2, , xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a, b的矩估计：2(),Var(),212abbaEXX3Var(),3Var(),aEXXbEXX3 ,3axsbxso钓鱼问

11、题钓鱼问题：o设湖中有N条鱼，现钓出r条，做上记号后放回湖中。一段时间后，再钓出s条（Sr），结果其中有t条（0tr）标有记号。试根据此信息，估计湖中鱼数N的值。 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那那么那一个估计量好？好坏的标准是什么一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.无偏性、有效性无偏性、有效性 、相合性、相合性2.2.1 相合性 我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真

12、实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。 定义2.2.1 设 为未知参数， 是 的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0，有 (6.2.1) 则称 为 参数的相合估计。 1( ,)nnnxxlim(|)0nnPn 相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如果一个估计量, 在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度, 那么这个估计是很值得怀疑的。 通常, 不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直

13、接由定义来证. 若把依赖于样本量n的估计量 看作一个随机变量序列,相合性就是 依概率收敛于 ,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。nn在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理2.2.1 设 是 的一个估计量，若 则 是 的相合估计，1(,)nnnxxlim(),lim()0nnnnEVarn1,nnk1(,)nnnkg定理2.2.2 若 分别是1, , k 的相合估 计， =g(1 , , k) 是1, , k 的连续函数，则 是 的相合估计。 矩估计一般都具有相合性。比如： 样本均值是总体均值的相合估计； 样本标准差是总体标准差的相合估计； 样本变异系数是总体变

14、异系数的相合估计。定义2.2.2 设 是 的一个估计， 的参数空间为，若对任意的 ，有 则称 是 的无偏估计，否则称为有偏估计。 1( ,)nxx( )E无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.例2.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于 ，样本方差s*2不是总体方差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) 2， 我们称 s*2 为 2的渐近无偏估计。 (2) 若对s*2作如下修正： ， 则 s2 是总体方差的无偏估

15、计。22*1()nE sn2221*1()11niinssxxnn例2.2.5 设总体为N( , 2)，x1 , x2 , , xn是样本，则s2是 2的无偏估计，且可求出 这说明 s 不是 的无偏估计. 利用修正技术可得 cn s 是 的无偏估计，其中 是修偏系数. 可以证明，当n时, 有cn1. 这说明 s 是 的渐近无偏估计。 2( /2)1(1)/2)nnEsnnc1(1)/2)2( /2)nnncn定义2.2.3 设 是 的两个无偏估计，如果对任意的 , 有 且至少有一个 使得上述不等号严格成立，则称 比 有效。 12, 12Var()Var(),12例2.2.6 设 x1, x2

16、, , xn 是取自某总体的样本，记总体均值为 ，总体方差为 2，则 , , 都是 的无偏估计，但 显然，只要 n1， 比 有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。 11x2x2212Var(),Var()/n21 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.111222121212(,)(,), ()(),.nnXXXXXXDD定义设与都是的无偏估计量若有则称较有效设总体设总体X的期望的期望E(X)与方差与方差D(X)均存在，均存在， 是是X的一个样本，试证明下列统

17、的一个样本，试证明下列统nXXX,21计量都是计量都是E(X)的无偏估计，并说明哪个有效。的无偏估计，并说明哪个有效。 1121213(,)44XXXX2121212(,)33XXXX11212121313(,)()()444413()()()44EXXEXXE XE XE XE XE X2121212(,)3312()()()33EXXEXXE XE XE X可见上统计量都是可见上统计量都是E(X)的无偏估计的无偏估计1121212222131(,)()444319()()()0.625 ()41616DXXDXXD XD XD XE X21214(,)() ()0.556 ()99DXXE

18、 XE X由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。由于方差更小，所以第二个比第一个更有效。前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计. 它是用它是用样本算得的一个值去估计未知参数样本算得的一个值去估计未知参数. 但是但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷估计的这个缺陷 .2.5.1 区间估计的概念 定义2.5.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为，x1, x2 , , xn是来自该总体

19、的样本，对给定的一个 (0 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的，有 （6.5.1）1( ,)LLnxx1( ,)UUnxx()1,LUP 则称随机区间 为 的置信水平为1- 的置信区间，或简称 是 的1-置信区间. 和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限. ,LU 这里置信水平1- - 的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有 。 ,LULU例2.5.1 设x1, x2 , , x10是来自N(, 2)的样本，则 的置信水平为1- 的置信区间为 其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。

20、若取 =0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为1212(9)10,(9)10 xtsxts0.5797 ,0.5797xsxsx 现假定 =15, 2 =4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。 14.7053,1.8438

21、xs14.7053 0.5797 1.8438, 14.7053 0.5797 1.8438 13.6427, 15.7679 由图6.5.1可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。 图6.5.1 的置信水平为0.90的置信区间 取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图6.5.2。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。 图6.5.2 的置信水平为0.50的置信区间 定义2.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的 (0 1)，对任意的，有 （6.5.2） 称 为 的1- 同等置信区间。 同等置信区间是把

22、给定的置信水平1- 用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。 ()1LUP ,LU定义 若对给定的 (0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1- 的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1- 同等置信下限。若对给定的 (0 1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1- 的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1- 同等置信上限。 单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。 LLUU()1LP ()1UP 构造未知参数 的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1. 设法构造一个样本和 的函数 G=G(x1,

23、 x2 , , xn, ) 使得G的分布不依赖于未知参数。一般称具有这种性质的G为枢轴量。 2. 适当地选择两个常数c,d，使对给定的 (0 1) 有P(cGd)=1- 3. 假如能将cG d 进行不等式等价变形化为 则 ， 是 的1- 同等置信区间。 LULU关于置信区间的构造有两点说明： 满足置信度要求的c与d通常不唯一。若有可能，应选平均长度 达到最短的c与d，这在G的分布为对称分布场合通常容易实现。 实际中，选平均长度 尽可能短的c与d，这往往很难实现，因此，常这样选择 c与d，使得两个尾部概率各为 /2，即P(Gd)= /2，这样的置信区间称为等尾置信区间。这是在G的分布为偏态分布场

24、合常采用的方法。 ULEULE例2.5.2 设x1, x2 , , xn是来自均匀总体U(0, )的一个样本，试对给定的 (0 1)给出 的1- 同等置信区间。 解:（1）取x(n)作为枢轴量，其密度函数为p(y; )= nyn ， 0y 1； （2）x(n) / 的分布函数为F(y)=yn, 0y 1，故P(cx(n)/ d)= d n-cn， 因此我们可以适当地选择c和d满足d n-cn=1-（3）利用不等式变形可容易地给出 的1-同等置信区间为x(n) /d，x(n) /c，该区间的平均长度为 。不难看出，在0cd1及dn-cn=1- 的条件下，当d=1, c= 时， 取得最小值，这说明

25、 是 的置信水平1- 为最短置信区间。 ( )11nExcdn11cd( )( ),nnnxx一、一、 已知时已知时 的置信区间的置信区间 在这种情况下，枢轴量可选为 ，c和d应满足P(cGd)=(d)-(c)= 1-，经过不等式变形可得 该区间长度为 。当d=-c=u1-/2时，d-c达到最小，由此给出了的同等置信区间为 ， 。 （6.5.8） 这是一个以 为中心，半径为 的对称区间，常将之表示为 。(0,1)xGNn1Pxdnxcn ()/dcn12xun12xunx12un12xun例2.5.3 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克

26、。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1- =0.95， =0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量 的0.95置信区间为 ， 从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。 15.4x 1215.4 1.96 0.1 9 15.4 0.0653x un例2.5.4 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求 ，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1- = 0.95，故u1-/2=1.9

27、6，从而n(5/3)2 1.962 = 10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。 122 un1221.2un1212/,/xunxun二、 2未知时 的置信区间 这时可用t 统计量，因为 ，因此 t 可以用来作为枢轴量。完全类似于上一小节，可得到 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。 () (1)n xtt ns1212(1),(1)x tnsnx tnsn221()1isxxn例2.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.

28、32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）x4.70922.20100.0615/ 124.5516, 4.8668 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806

29、（万公里）。 ()( (1)1n xP tns 1(1)xtnsn 取枢轴量 ，由于 2分布是偏态分布，寻找平均长度最短区间很难实现，一般都用等尾置信区间：采用 2的两个分位数 2 /2(n-1) 和21- /2(n-1)，在 2分布两侧各截面积为/2的部分， 使得 由此给出 2的1-置信区间为 222(1)1nsGn222/ 21/ 2211nsP2222121211 ,11nsnnsn例2.5.6 某厂生产的零件重量服从正态分布N(, 2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总

30、体标准差 的0.95置信区间。解：由数据可算得 s2 =0.0325，(n-1)s2=80325=0.26. 查表知 2 0.025(8) =2.1797，20.975(8)=17.5345， 代入可得 2的0.95置信区间为 从而 的0.95置信区间为: 0.1218，0.3454。 0.260.26,0.0148,0.119317.53452.1797 在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。 设x1, xn是来自b(1, p)的样本,有 对给定 ， ，通过变形，可得到置信区间为 其中记= u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将

31、置信区间近似为(0,1)(1)/xpuNppn121(1)xpPuppn 22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例2.5.7 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382x0.3 0.70.3 1.960.218120Lp0.3 0.70.31.960.382120Up例2.5.8 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得

32、p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？ 解：这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（6.5.11）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （6.5.12）1221uxxn0,1x 2(1) 0.50.25xx12un120und2120und 这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0=0.04， =0.05，则 。 这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。 220.9751.96

33、24010.040.04un 设x1 , , xm是来自N(1, 12)的样本，y1 , , yn是来自N(2, 22)的样本，且两个样本相互独立。 与 分别是它们的样本均值， 和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。 xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn一、1 -2的置信区间1、 12和 22已知时的两样本u区间 2、 12 = 22 = 2未知时的两样本t区间 222212121212,xyuxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=已知时的两样本t区间 12122 ,2ttmnmnx

34、ystmnxystmnmnmn4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中 22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnn例2.5.9 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 5

35、03 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.( =0.05）。 解：以x1 , , x8记甲品种的亩产量，y1 , , y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分两种情况讨论。 xy(1) 若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1 -2的0.95置信区间为22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.11

36、99 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.1547(2) 若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02 =2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414， s0 =24.2784 于是1-2的0.95近似置信区间为 31.3685，133.38152.2222589.441417.7429 182110.55363256.2222871011l 0 0.97524.2784 2.100951.0065s tl 二、 12/ 22

37、的置信区间 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/ 22的如下的置信区间2212221,1xysFF mns2222122211,11,11xysP FmnFmns 222212211,1,11,1xxyysssFmnsFmn例2.5.10 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/ 乙2的0.95置信区间。解： 由数据算得sx2=0.00037, sx2=0.00092，故置信区间0.0544，3.7657 0.0250.975114,50.10685,49.36FF0.9754,57.39F