223独立重复试验与二项分布

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1、2.2.3 独立重复试验与二项分布 探究点探究点1 n1 n次独立重复试验次独立重复试验 在研究随机现象时，经常要在相同的条件下重在研究随机现象时，经常要在相同的条件下重复做大量试验来发现规律复做大量试验来发现规律. .例如，研究掷硬币结果例如，研究掷硬币结果的规律，需要做大量的掷硬币试验的规律，需要做大量的掷硬币试验. .显然，在显然，在n n次次重复掷硬币的过程中，各次试验的结果都不会受重复掷硬币的过程中，各次试验的结果都不会受其他试验结果的影响，即其他试验结果的影响，即i i其其中中A A（i=1,2i=1,2， ，n n）是是第第i i次次试试验验的的结结果果. .P(AP(A1 1A

2、 A2 2AAn n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(AP(An n) )n n次独立重复试验定义次独立重复试验定义 一般地，在相同条件下重复做的一般地，在相同条件下重复做的n n次试验称为次试验称为n n次独立重复试验次独立重复试验. .1.1.每次试验是在同样的条件下进行的；每次试验是在同样的条件下进行的；2.2.各次试验中的事件是相互独立的；各次试验中的事件是相互独立的；3.3.每次试验都只有两种结果每次试验都只有两种结果: :发生与不发生；发生与不发生；4.4.每次试验每次试验, ,某事件发生的概率是相同的某事件发生的概率是相同的. .独立重复试验的基本特征：独立重

3、复试验的基本特征：判断下列试验是不是独立重复试验：判断下列试验是不是独立重复试验：1) 1) 依次投掷四枚质地不同的硬币依次投掷四枚质地不同的硬币,3,3次正面向上次正面向上; ;2) 2) 某射击手每次击中目标的概率是某射击手每次击中目标的概率是0.90.9，他进行，他进行 了了4 4次射击，只命中一次；次射击，只命中一次； 3) 3) 口袋装有口袋装有5 5个白球个白球,3,3个红球个红球,2,2个黑球个黑球, ,从中依次从中依次 抽取抽取5 5个球个球, ,恰好抽出恰好抽出4 4个白球个白球; ;4) 4) 口袋装有口袋装有5 5个白球个白球,3,3个红球个红球,2,2个黑球个黑球, ,

4、从中有放回从中有放回 地抽取地抽取5 5个球个球, ,恰好抽出恰好抽出4 4个白球个白球. .不是不是是是不是不是是是【练一练练一练】 掷一枚图钉，针尖向上的概掷一枚图钉，针尖向上的概率为率为0.60.6，则针尖向下的概率为，则针尖向下的概率为1 10.6=0.4.0.6=0.4.问题：问题：连续掷一枚图钉连续掷一枚图钉3 3次，次，恰有恰有1 1次针尖向上次针尖向上的概率是多少？的概率是多少？ 探究点探究点2 2 二项分布的定义二项分布的定义 分解分解问题连续掷问题连续掷3 3次，次，恰有恰有1 1次针尖向上的概次针尖向上的概率是多少？率是多少？ 1123PC0.6(1 0.6)120.6(

5、1 0.6)概率都是概率都是问题问题c c 3 3次中恰有次中恰有1 1次针尖向上的概率是多少？次针尖向上的概率是多少？问题问题b b 它们的概率分别是多少？它们的概率分别是多少？共有共有3 3种情况种情况: : ( (A Ai i(i(i=1,2,3)=1,2,3)表示事件表示事件“第第i i次掷得针尖向上次掷得针尖向上”) ) 123A A A123A A A123A A A问题问题a a 3 3次中恰有次中恰有1 1次针尖向上，有几种情况？次针尖向上，有几种情况？ 变式一变式一: :3 3次中恰有次中恰有2 2次针尖向上的概率是多少？次针尖向上的概率是多少？223 23C0.6(1 0.

6、6) P335 35C0.6(1 0.6) PC0.6(1 0.6)k， = 0,1,2, ,n kkn knP引申引申推广推广: :连续掷连续掷n n次，恰有次，恰有k k次针尖向上的概率是次针尖向上的概率是变式二变式二: :5 5次中恰有次中恰有3 3次针尖向上的概率是多少？次针尖向上的概率是多少？ 一般地，在一般地，在 n n 次独立重复试验中，用次独立重复试验中，用X X表示表示事件事件A A发生的次数发生的次数，设每次试验中事件发生的概，设每次试验中事件发生的概率为率为p p，则，则: : )(kXP（其中（其中k = 0k = 0，1 1，2 2，n n ）knCn k(1p).k

7、p二项分布二项分布 此时称随机变量此时称随机变量X X服从服从二项分布，二项分布，记记X XB(n,pB(n,p) )， 并称并称p p为成功概率为成功概率. .公式的结构特征及字母的含义公式的结构特征及字母的含义. .kkn knP (Xk)Cp (1p) （其中（其中k = 0k = 0，1 1，2 2，n n ）试验总次数试验总次数事件事件 A A 发生的次数发生的次数一次试验中事件一次试验中事件 A A 发生的概率发生的概率一一次次试试验验中中事事件件A A发发生生的的概概率率对二项分布的理解对二项分布的理解(1)(1)二项分布实际上只是对二项分布实际上只是对n n次独立重复试验从概次

8、独立重复试验从概率分布的角度进一步阐述，与对率分布的角度进一步阐述，与对n n次独立重复试验次独立重复试验恰有恰有k k次发生的概率相呼应，是概率论中最重要的次发生的概率相呼应，是概率论中最重要的分布之一分布之一【提升总结提升总结】 例例. . 某射手每次射击击中目标的概率是某射手每次射击击中目标的概率是0.80.8，求这名射手在求这名射手在1010次射击中，次射击中， （1 1）恰有）恰有8 8次击中目标的概率次击中目标的概率; ; （2 2）至少有）至少有8 8次击中目标的概率次击中目标的概率. . （结果保留两个有效数字）（结果保留两个有效数字） 探究点探究点3 3 独立重复试验与二项分

9、布的应用独立重复试验与二项分布的应用解：解：设设X X为击中目标的次数，则为击中目标的次数，则X XB(10,0.8).B(10,0.8).(1)(1)在在1010次射击中，恰有次射击中，恰有8 8次击中目标的概率为次击中目标的概率为8810 810P(X8)C0.8(1 0.8)0.30.(2)(2)在在1010次射击中，至少有次射击中，至少有8 8次击中目标的概率为次击中目标的概率为)10()9()8()8(XPXPXPXP8810 89910 91010101010 1010C0.8(1 0.8)C0.8(1 0.8)C0.8(1 0.8)0.68.解答独立重复试验中的概率问题要注意以下

10、几点：解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为先要判断问题中所涉及的试验是否为n n次独立重次独立重复试验；复试验；(2)(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并；划分为若干个互斥事件的并；(3)(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算运算【提升总结提升总结】1 1独立重复试验应满足的条件是独立重复试验应满足的条件是( () )每次试验之间是互相独立的；每次试验之间是互相独立的；每次试验只有发生与不发生两种结果；每次试验只有发生

11、与不发生两种结果；每次试验中每次试验中, ,某事件发生的机会是均等的；某事件发生的机会是均等的；各次试验发生的事件是互斥的各次试验发生的事件是互斥的 A A B B C CD DC CB B314.4.如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量用水量( (单位：吨单位：吨) )的频率分布直方图的频率分布直方图(1)(1)求直方图中求直方图中x x的值；的值；(2)(2)若将频率视为概率，从若将频率视为概率，从这个城市随机抽取这个城市随机抽取3 3位居民位居民( (看作有放回抽样看作有放回抽样) )，求，求月均用水量在月均用水量在3 3至至4 4吨的居

12、吨的居民数民数X X的分布列的分布列解析：解析：(1)(1)依题意及频率分布直方图知，依题意及频率分布直方图知， 0 002020.10.1x x0.370.370.390.391 1， 解得解得x x0.12.0.12.(2)(2)由题意知，由题意知，X XB(3,0.1)B(3,0.1)因此因此P(XP(X0)0)P(XP(X1)1)P(XP(X2)2)P(XP(X3)3)033C0.90.729，123C0.1 0.90.243，223C0.10.90.027，333C0.10.001.X0123P0.7290.2430.0270.001故随机变量故随机变量X X的分布列为的分布列为 1

13、. 1.在独立重复试验中，若每次试验结果只有事在独立重复试验中，若每次试验结果只有事件件A A发生或不发生两种可能，则事件发生或不发生两种可能，则事件A A发生的次数服发生的次数服从二项分布；若每次试验结果有多种可能，则可以从二项分布；若每次试验结果有多种可能，则可以根据需要适当设定事件根据需要适当设定事件A A，将其转化为二项分布，将其转化为二项分布. . 2. 2.二项分布二项分布B(nB(n，p)p)中有两个参数，其中中有两个参数，其中n n是独立是独立重复试验的总次数，重复试验的总次数，p p是每次试验事件是每次试验事件A A发生的概率，发生的概率，书写时书写时n n在左，在左，p p在右在右. . 3. 3.二项分布是来自于独立重复试验的一个概率二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，对于求在模型，对于求在n n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A A恰好恰好发生发生k k次的概率，就直接利用概率公式求解次的概率，就直接利用概率公式求解. . 要到书林中徜徉.中外古今的文明成果，我们都应有分析、有鉴别、有批判地加以继承和发扬.