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1、对数与对数运算对数与对数运算对数及其对数及其运算运算学学习习目目标标1.对数的定义对数的定义.2.对数的基本性质对数的基本性质.3.对数恒等式对数恒等式.4.常用对数、自然对数的概念常用对数、自然对数的概念.5.对数的基本运算对数的基本运算 问题：设问题：设2005年我国的国民生产总年我国的国民生产总值为值为 a亿元，如每年平均增长亿元，如每年平均增长8%，那么，那么经过多少年国民生产总值是经过多少年国民生产总值是2005年的年的2倍？倍？引入：引入：设：经过设：经过x年国民生产总值是年国民生产总值是2005年的年的2倍，则有倍，则有 aax2%81 208.1 x即即? x10aa且这是已知
2、底数和幂的值，求指数的问题。这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式即指数式 中，已知中，已知a 和和N.求求b的的问题。（这里问题。（这里 ）Nab l l 22 = 4 l l 25 = 32 l l 2x = 26X=引入：引入：定义：一般地，如果 1, 0aaa的b次幂等于N, 就是 Nab，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N 抢答：抢答： 1.将下列指数式写成对数式将下列指数式写成对数式 (1)54=625 (2)2-6= (3)3a =27 (4)( )m =5.7
3、3641314=log5625-6=log2(1/64)a =log327m=log(1/3) 5.732.将下列对数式写成指数式(1)log 16=4(2)log2128=7(3)log100.01= -2(4)loge10=2.3032116= 4)21(128=270.01=10-210=e 2.30310_3log. 13_1log. 25应用应用1：计算下列各式的值：计算下列各式的值思考思考:?1loga?logaa?logNaa16log, 1log, 0log),1(log)2(132有意义吗？对数对数的基本性质的基本性质: :零和负数没有对数零和负数没有对数.loga1=0 l
4、ogaa=1 ）NaabNa0, 1, 0,log( 中中在在NaNa log下面介绍两种特殊对数：下面介绍两种特殊对数：常用对数常用对数：我们将以：我们将以10为底的对数叫为底的对数叫做常用对数，并记做做常用对数，并记做N10logNlg自然对数自然对数：无理数：无理数e=2.71828,以以e为底的对为底的对数称为自然对数，并记做数称为自然对数，并记做Nelog.ln N例例1 计算下列各式计算下列各式:(1)25log5(2)161log2(3)15log15(1) 解:225log25552(2) 解:4161log161224(3) 解:115log15 例例2 求下列各式中求下列各
5、式中x的值：的值：xxx2x64lne-(4) 100lg)3(68(2)log 32log) 1 (2)223(log)5(x0)(loglog)6(25x 对于幂的运算我们有三条运算法则对于幂的运算我们有三条运算法则.现在我们学习现在我们学习了对数了对数,那么对于对数之间的运算那么对于对数之间的运算,又会有什么样的运又会有什么样的运算性质呢算性质呢?幂的运算的三条法则幂的运算的三条法则:), 0, 0()() 3(), 0()()2(), 0() 1 (RrbabaabRsraaaRsraaaarrrrssrsrsr如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaaMnMNMNMNMNManaa
6、aaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (MnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaa对数运算的三条运算法则：对数运算的三条运算法则：对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立中所有的对数符号都有意义时，等式才成立对吗？请问：)5(log)3(log)5()3(log2224log2) 2(4log) 1.(32log4log) 2(24log) 1.(29
7、log3log) 2() 93 (log) 1.(1222222333不要产生下列的错误：不要产生下列的错误：nanaaaaaaaaaaMMNMMNNMNMNMNM)(loglog).4(loglog)(log).3(logloglog).2(loglog)(log).1 (例3用表示下列各式：zyxaaalog,log,log32log)2(log) 1 (zyxzxyaa例例4计算下列各式：5572100lg)2();24(log) 1 (探究探究换底公式换底公式：) 0; 1, 0; 1, 0(logloglogbccaababacc且且如何推导？)0; 1, 0; 1, 0(loglo
8、glogbccaababacc且且证明：.logloglog,loglog,loglog,loglog,logabbabpbapbacbabpccacccccpcpa即所以则有为底的对数两边取以，则令例5 利用换底公式可得:2log12log3log3log3332请利用同样的方法证明:abbalog1log例6 证明 .NNamamloglog 例7 计算8log7log3log732bye!(请记住请记住)(请记住请记住)计算计算:16log2例8 27log9例932log9log278小结：小结：1对数的定义对数的定义2互换互换(对数与指数会互换对数与指数会互换)3求值求值(已知已知对数对数、底数底数、真真 数数 其中两个，会求第三个）其中两个，会求第三个）2lg5lg)7(15log5log) 6(000001. 0lg) 5(3log6log) 4(31log3log) 3(100lg) 2()927(log) 1 (332255223练习、求下列各式的值：练习、求下列各式的值：18lg7lg37lg214lg(1)(2)2lg20lg5lg8lg325lg22(3)7 . 0lg20lg)21lg(7lg(4)7 . 0lg20lg)21(7
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