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1、第二章习题解答1.设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使是某个随机变量的分布函数, 则的值可取为( A ). A. B. C. D. 2. 解：因为随机变量这4个产品中的次品数的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.且；.因此所求的分布律为：X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103解：设，则.由已知，所以的分布律为：X01P1/32/3当时，；当时，；当时，.的分布函数为： .4. 解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3.；.所以X的概率分布为：X01 2 3P7/107/30 7/120 1/1205.解：设X
2、其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.；.所以X的概率分布为：X01 2 3 4 5P0.22150.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.00056. 解：由已知，所以.7. 解：的所有可能的取值为0，1，2，3.且；所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1） 恰有6个人不能完成培训的概率；（2） 不多于4个的概率. 解：设X不能完成培训的人数.则，（1）;（2）.9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使
3、用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）. 解：设X100个产品中的次品数，则，所求概率为.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设投掷一次后甲的赌本，投掷一次后乙的赌本.则的取值为20，40，且，所以与的分布律分别为： 20 40 1
4、0 30 1/2 1/2 1/2 1/2 , 11. 设离散型随机变量的概率分布为：（1）； （2），分别求（1）、（2）中常数的值. 解：（1）因为即 ，所以.(2) 因为 即，所以 .12. 已知一电话交换台服从的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X每分钟接到的传唤次数，则，查泊松分布表得（1）；（2）.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出的概率分布.解：的所有可能的取值为1，2，3.；.所以X的概率分布为：X123P6/103/101/1014. 已知每天去图书馆的人数服
5、从参数为的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X的概率分布. 解：设每天去图书馆的人数,则，当时，即X的概率分布为.15. 设随机变量的密度函数为，且，试求常数和. 解：；，由得，16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B, 求常数A, B; 以及概率密度f(x).解：由得.所以；.17. 设连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数的值；（2）的概率密度函数；（3）. 解：（1）由的连续性得即，所以，；（2）；（3）.18. 设随机变量的分布密度函数为试求：（1）系数；（2）；（3）的分布函数. 解：（1）因为所以，；
6、 （2）；(3) 当时，当时，当时，所以 19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设=在任意一层等待电梯的时间,则，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min，所求概率为.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（min）服从的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：(1
7、) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数的分布；(2) 求. 解：（1）由已知，其中所以的分布为；（2）.21. 设随机变量，求使： （1）；（2）. 解：由得（1）查标准正态分布表得：，所以；（2）由得，所以即，查标准正态分布表得，所以22. 设，求. 解：由得；.23. 某地8月份的降水量服从的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 的概率. 解：设随机变量该地8月份的降水量，则，从而所求概率为24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差服从正态分布，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 的概率. 解：由得设在3次测量中误差的绝对值不超过30 的次数，则其中所以P3次测量中至少
8、有1次误差的绝对值不超过30 =25. 已知测量误差，X的单位是mm，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9. 解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.由已知，设n次测量中，绝对误差不超过的次数，则其中所求概率为，即，解之得，必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分，某教授根据得分将学生分成五个等级：A级：得分；B级：；C级：；D级：；F级：. 已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，则：
9、（1）和是多少？（2）多少个学生得B级？解：（1）由已知，解之得（2）由于0.3413380=129.66，故应有130名学生得B级。27. 已知随机变量的概率分布如下， -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 求及的概率分布. 解：的所有可能的取值为4，1，-2，-5.且；.所以的分布律为-5 -2 1 40.25 0.3 0.25 0.2的所有可能的取值为1，2，5且；.所以的分布律为 1 2 50.25 0.5 0.2528. 设随机变量，求的密度函数.解：由XN(0,1)，得 ，设的分布函数为FY(y)，则当y1时，；当y1时， . 即 29. 随机变量X的概率密度为求的密度函数. 解：由于y=lnx是一个单调函数，其反函数为， 利用公式得Y=lnX的密度函数为 (0,1)a图130. 设通过点的直线与x轴的交角在上服从均匀分布，求这直线在x轴上截距X的密度函数.解：以表示过（0，1）点的直线与x轴的交角，见图1。由题意知：随机变量在(0,)内服从均匀分布，故得的概率密度为 设随机变量X表示直线在x轴上的截矩，易知，即，其分布函数为： 。其密度函数为
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