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1、2022-6-2812 2、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限, )(xfy 对对0)1(xx 0)2(xx 0)3(xx x)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: :1 1、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限二、函数的极限定义二、函数的极限定义 2022-6-282.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx播放播放1 1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-283;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于
2、无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.2022-6-284XXAAoxy)(xfy A定义定义 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若,0 X,)(, AxfXx有有时时当当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx )(lim)()( xAxf当当或或几何解释几何解释: AxfA)(XxXx 或或记作记作直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数为函数2022-6-285xx
3、ysin 例例1 1.sinlim0 xxx证明证明证证xxxxsinsin0为使为使x1 , , 0 , 1X只要取只要取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果xfycycxfx定义：定义：2022-6-286x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当当Xx 时时, 有有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当当Xx时时, 有有 Ax
4、f)(几何意义几何意义 :例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y又如，又如，oxyx21x212022-6-287 Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且2022-6-288例例20lgarctanlim xxx证明：证明：证明证明：0lg1 xx时，时，由于当由于当2arctan x注意到注意到所以，所以，0lgarctan xx 为使为使只要只要 210 x10, 1max2 X因因此此，取取时，时，当当Xx 必有必有 0 xxlgarctan0 xxxlgarctanlim因此因此
5、0 对对xlg2 2022-6-289。函数值的变化函数值的变化附近的附近的在在考察函数考察函数11112xxxxxfy)(2 2、自变量趋于定值时函数的极限、自变量趋于定值时函数的极限2022-6-2810 x)(xf9 . 09 . 199. 099. 1999. 0999. 19999. 09999. 199999. 099999. 1x)(xf1 . 101. 1001. 10001. 100001. 11 . 201. 2001. 20001. 200001. 212112 xxy这这一一过过程程表表示示为为：21yx时，时，21)(limxfx即即：111)(2 xxxxfy202
6、2-6-2811;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示000 xxxx x0 x 0 x 0 x ,邻域邻域的去心的去心点点 0 x.程程度度接接近近体体现现0 xx 2022-6-2812定义定义 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当00 xx时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf当若若记作记作定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当说明说明定定义义所所蕴蕴涵涵的的意意义义。不不影影响
7、响也也可可以以换换为为等等，、可可以以换换成成即即固固定定！）的的任任意意性性（一一经经给给出出， 22)1( 2022-6-2813也也小小。小小，的的取取值值不不唯唯一一。的的变变化化而而变变化化，而而且且随随一一般般说说来来， .)2(有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 有有两两层层含含义义：，指指出出此此极极限限的的定定义义中中，00|0)3(xxxx ；的的定定义义域域内内可可以以不不在在)(I.0 xfx值值的的定定义义域域，但但此此时时极极限限可可以以属属于于)(II.0 xfx。处处的的函函数数值值无无关关在在与与0)(xxf2022-6-2814 几何解释几何解释: :
8、)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 极限存在极限存在函数函数局部局部有界有界(P54定理定理6)这表明这表明: 2022-6-2815例例3 3.lim00 xxxx证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 2022-6-2816例例4 4.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给
9、任给,0 x 取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明2022-6-28174lim322 xx证证明明例例证明证明，0 ，限定限定1|2| x即即31 x |4|2x要使要使| )( |2242xxx只只要要|2|5 x 取取1,5min ，时时当当 2x于是，于是，0 ，成立成立 42x。4lim22 xx，0 52 x即即2022-6-2818 单侧极限单侧极限: :例如例如, ,.)(lim,)(1010102xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分0
10、0 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近000 xxxx或或记作记作;,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近000 xxxx或或记作记作;yox1xy 112 xy2022-6-2819左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.) 0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作2022-6-2820.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在
11、不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x：极限与左右极限的关系极限与左右极限的关系2022-6-2821内容小结内容小结1. 函数极限的函数极限的或或X定义及应用定义及应用2.2.单侧极限单侧极限2022-6-2822思考题思考题2. 2. 若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在, ,)()(lim00 xfxfxx 是否一定有是否一定有2022-6-2823思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim2
12、0 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.2022-6-2824.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2825.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2826.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷
13、大时函数的极限2022-6-2827.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2828.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2829.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2830.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2022-6-2831.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限
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