大学高等数学上册：2-3

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1、 函数的连续性函数的连续性 2.31.函数连续的概念. )( )()(lim )( :0000处连续在点则称，若，的某邻域内有定义在点设函数定义xxfxfxfxxfxx. )( , 0)()( , 0 :000处连续在点则称函数对应函数的增量时若当自变量的增量定义xxfyxfxfyxxx000( )lim( )(lim ).xxxxf xxf xfx在点 处连续表现为可交换运算次序 000(0)(),( )f xf xf xx若则称在点 处左连续;000(0)(),( ).f xf xf xx若则称在点 处右连续001:( )( ).f xxf xx定理函数在点 处连续在点 处左连续且右连续.

2、 )( ,| )()(|,|, 0, 0:000处连续在点则称函数有时当若定义xxfxfxfxx( , )(,),( ),( )( , ),( )( , ).xa babf xxf xa bf xa b 若这里的 可以是可以是 函数在点 处连续则称在内连续 或称是内的连续函数( )( , ),( ) , ,( ) , .f xa babf xa bf xa b若函数在内连续 且在点 处右连续 在点 处左连续则称在上连续 或称是上的连续函数:( ) |(,).f xx 例 讨论函数在上的连续性,0:( ) |,0 xxf xxxx解 00000(,0),lim( )lim()().xxxxxf

3、xxxf x 00000(0,),lim( )lim().xxxxxf xxxf x0lim( )0 xf x(0),f( )0.f xx 在点处连续( ) |(,).f xx 从而是上的连续函数, 0)(lim)00(0 xfx, 0lim)00(0 xfx2.连续函数的运算性质(1).连续函数的四则运算法则000002:( ), ( ),( ). ( )( );( ). ( ) ( );( )().()0,( )f x g xxi f xg xxii f x g xxf xiiig xxg x定理设函数在点 处连续则在点 处连续在点 处连续当时在点 处连续. (2).复合函数的连续性000

4、0003:lim( ),( ),lim ( )lim( )().xxxxuug xuf uuf g xf uf u定理若在点 处连续则000004:( ),(),( ), ( ),g xxg xuf uuf g xx定理若在点 处连续 且在点 处连续则函数在点 处连续00lim ( ) ().xxf g xf g x 即.连续函数构成的复合函数是连续的(3).反函数的连续性5:( )(),( )( )().xyyyf xIIyf xxyI定理若函数在区间 上连续且 严格单调增加 减少 其值域为则的反函数在 上连续 且严格单调增加 减少3.初等函数的连续性6:.定理基本初等函数在定义域内连续7:

5、.定理一切初等函数在其定义区间内连续3321:limtan.2xxx例 计算331:2tan2,xxx解 由于点是初等函数 定义区间内的一点3323332111limtantan|tan.2210 xxxxxx因此4.函数的间断点及其分类000( ),lim( )().xxf xxf xf x函数在点 处连续 指00( ),( ).f xxxf x若在点 处不连续则称点 是的不连续点或间断点:三种情况0( ).lim( );xxif x不存在0( ). ( );ii f xx在点 处无定义0000().lim( ),(),lim( )().xxxxiiif xf xf xf x存在有定义 但0

6、00(0)(0),( ).f xf xxf x与都存在的间断点称为函数的第一类间断点 00000( ).(0)(0),lim( )(),( ).xxif xf xf xf xxf x若 即存在但不等于 则称点 为的可去间断点000,( ),()lim( ).xxf xxf xf x 可补充或改变定义 使在点 处连续只需令000( ).(0)(0),( ).iif xf xxf x若 则称点 为的跳跃间断点000(0)(0),( ).f xf xxf x与中至少有一个不存在的间断点称为函数的第二类间断点 ,.从单侧区分 有无穷间断点和振荡间断点sin( )0,xf xxx函数有可去间断点(0)1

7、,sin,0( )(,).1,0fxxf xxx 若补充定义则在上连续 1sin,0( )0,1,0 xxf xxxx函数有可去间断点 0,(0)lim( )0,1sin,0( )(,)0,0 xff xxxf xxx 若改变定义 令则将在上连续. ( )sgn0.f xxx函数有跳跃间断点1( )0.f xxx函数有无穷间断点1( )sin0.f xxx函数有振荡间断点21,1:( ),1,arccos ,11,( )(,1).xxf xbxaxxabf x 例 设函数确定常数 与 的值 使在内连续 :( )(, 1)( 1,1).f x 解在与内连续( 1 0)0,f ( 1 0),fa

8、( 1).fb( 1 0)( 1 0)( 1),fff 由,0.ab 得222:( )|(6).xxf xxxx例 讨论函数的 间断点与连续区间(2):( )|(3)(2)x xf xxxx解,3, 0, 2.x 需考虑点 331lim( )lim,3xxf xx 3( ).xf x 点是的无穷间断点11(00)lim,33xofx 11(00)lim,33xofx0( ).xf x点是的跳跃间断点2211lim( )lim,35xxf xx( )2,f xx 在点处无定义2( ).xf x点是可去间断点( )(, 3),( 3,0),(0,2),(2,).f x 的连续区间例:.1lim)(

9、的连续性与间断点讨论函数xexexfnxnxn.)( :表达成分段函数的形式先将分析xf:解0,0, 10,1)(xxxxxxfxfx1lim)00(0, ), 0( )0 ,( )( 内连续及在函数xf. )( 0 的第二类间断点是点xfx 5.闭区间上连续函数的性质:. 基本定理闭区间上连续函数的值域是闭区间(1).最值定理与有界性定理0( ( )(),f xf x(最小值),(最小值点).最大值与最小值统称为最值上的最大值点在为称点上的最大值在是则称都有使若上有定义在区间设函数定义IxfxIxfxfxfxfIxIxIxf)()()(),()(, )( :00008()定理 最值定理( )

10、 , ,( ) , .f xa bf xa b若在上连续则在上有最大值和最小值.闭 改为 开 不行( )(0,1) .f xx如在内( )tan(,) .2 2f xx 又如在内11yxo.缺少 连续 也不行,01( )0,11,0,12xxf xx如在上. )( ) , ,( ) , .f xa bf xa b推论(有界性定理若在上连续则在上有界11yxo9()( ) , ,( ) , , , , ,( ).f xa bf xa bMmm Ma bf 定理介值定理若在上连续 在上的最大值与最小值分别为与则使 :几何解释( ) , .yyf xa b水平直线与连续曲线在段至少有一个交点( )y

11、f xy( )Mf b( )f amxbao理介值定理与零点存在定 ).2( )0f x就是方程的一个根. 0)(),(, 0)()( ,)(fbabfafbaxf使则上连续在若. 0)( , . , , 0)()( 0)()( 的含根区间为方程此时称则零点存在区间为换成件若零点存在定理中的条xfbababfafbfaf)( 零点存在定理推论:( )0,2 ,(0)(2 ),:0, ,( )().f xaffaaffa 例 设函数在闭区间上连续且 证明使得 :( )( )(),g xf xf xa证 令( )0, ,g xa则在上连续(0)(0)( ),gff a( )( )(2 )( )(0),g af afaf af0, ,( )0,ag 使( )().ffa即, 0)()0(agg有，根据零点存在定理 4:31(0,1).xx例 证明方程在内有根4:( )31,f xxx证 令( )0,1,f x则在上连续(0)1,(1)1,ff (0,1),( )0,f 使(0,1).即为方程在内的根, 0) 1 ()0( ff有，由零点存在定理 (3).用二分法求方程的近似解可以用二分法改善根的精确度.17( )216f 121410