数值分析：2.5分段低次插值法

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1、第二章第二章 函数近似计算的插值问题函数近似计算的插值问题 2.5 分段低次插值法分段低次插值法 2.5 分段低次插值法分段低次插值法一、高次插值的龙格一、高次插值的龙格(Runge)现象现象(插值过程的收敛性问题)问题:所构造的插值多项式 作为 L ( )nx( ) , f xC a b近似函数,是否 的次数愈高,逼近 的效果愈好,即L ( )nx( )f x( )( ), , nnL xf xxa b 利用高次插值多项式的危险性,在20世纪初被Runge发现.例子.5 , 5,11)(2xxxf设函数ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5个节点等份取将插值多项式次的作试就L

2、agrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作图比较.解:21()1iiiff xx插值多项式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 ,6 ,4 ,2n不同次数的不同次数的Lagrange插值多项式的比较图插值多项式的比较图Runge现象现象-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2) 在在 -2,2 上上L10(x)对对f(x)逼近较逼近较好好,但在端点附近很差但在端点附近很差.可可以证明以证明即随着即随着n的增长的增长Ln(x)在两在两端点

3、附近的振荡会越来越大端点附近的振荡会越来越大.高次高次代数代数插值所发生的这种现象称为插值所发生的这种现象称为Runge现象现象.在上个世纪初在上个世纪初由由Runge发现发现. )()(maxlimxLxfnxn55 这表明这表明:并不是插值多项式的次数越高并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高精度也不一定是随次数的提高而升高. 不适宜在大范围使用高次代数插值不适宜在大范围使用高次代数插值.: 分段分段低次低次插值插值;分段分段光滑光滑插值插值;若从舍入误差分析若从舍入误差分析,知当知当n7时时,舍入误差亦会增大舍入误差亦会增大.可知可知, R

4、unge现象是由现象是由f(x)的高阶导数无界所致的高阶导数无界所致.)()!()()()()()(xwnfxLxfxRnnnn1 考考虑虑01i1 (x) a,b , (1) ( ) , ;() (2) (x) , 0,1) ( ) ( ) niffffxxC a bx xinf xkxf x定义:设是定义在区间 上的函数，在结点上的函数值为若函数 （ ）满足连续在子区间（上是的 次插值多项式。则称 （ ）是在 , a bk上的分段次插值多项式。分段分段低次低次插值插值二、分段线性二、分段线性Lagrange插值插值,ix设插值节点为,0,1,ifin函数值为,11kkkkxxxx形成一个插

5、值区间任取两个相邻的节点构造Lagrange线性插值1,2 , 1 ,0,1nixxhiiiiihhmax1. 分段线性插值的构造分段线性插值的构造11kkkkxxfxx11kkkkxxfxx1, 1 , 0nk-(1)-(2)( )ix显然,当 时1,kkkxxx 或者通过分段插值基函数 的线性组合来表示 :0 ( )niil x( )x( )x0( )( ) ,niiixl x f , xa b其中0( )lx 101,xxxx01,xx x01,xx x( )il x 11,iiixxxx1,iixxx1 ,iixx x( )nlx 11,nnnxxxx1,nnxxx1,nnxxx0,1

6、1,iiixxxx0,11,iixxx0,且0( )1niil x-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81( )yx分段线性插值的图象( ,) ,0,1,iix yin实际上是连接点的一条折

7、线也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果0lim ( )hx)(xf上连续在若,)(baxf因此则)()!1()(1)1(xnfnn由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为)()()(xPxfxRnn( )x那么分段线性插值的余项为1( )( )( )R xf xx)(2)(1 kkxxxxf有关与且xxxxkk,1|)(|1xR|)(|max|)(|max211 kkkbxabxaxxxxxf224121hM 2281hM2. 分段线性插值的误差估计分段线性插值的误差估计2121 f(x)C , ,(),(0,1,

8、), ( ) (ab), , h |f(x)- (x)|max |( ) | (6.5.1)8 iini iii na bf xyinxy l xxxa bfx 定理 设且（ ）则对任意有其中11 hmax()iii nxx 三、分段三次三、分段三次Hermite插值插值( ) , ,0,1,iif xa bxf in设函数在上的节点 上的函数值为,0,1,iixf in 在节点 上的导数值为1, 1 ,0,1nkxxkk对任意两个相邻的节点可构造两点三次Hermite插值多项式( )( )( )( )( )3011011( )( )( )( )( )kkkkkkkkkHxfxfxfxfx,1

9、kkxxx1, 1 ,0nk插值基函数为Hermitexxxxkkkk)(),(),(),()(1)(0)(1)(0)()(0 xk)()(1xk)()(0 xk)()(1xk1121kkkxxxx21kkkxxxxkxx 211kkkxxxx21kkkxxxx1kxxkkkxxxx121211kkkxxxx其中我们称( )331( )( ) ,0,1,1kkkHxHxxxxkn 为分段三次Hermite插值多项式，其余项为)()(! 4)(max)(max)(212)4(10)(3103kknkknkxxxxfxRxR212104)()(max! 41kknkxxxxxxxMkk例2.21(

10、 )1f xx设函数在节点处的函数值及导数值,比较几种插值.我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和分段两点三次Hermite插值作比较解:212104)()(max! 4kknkxxxxM)(3xR即 f(x)0.80000 0.307690.137930.075470.04160 H3(x) 0.81250 0.30750 0.13750 0.07537 0.04159 x0.51.52.53.54.8 R3(x)=f(x)-H3(x)-0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455 L2(x)0.875000.32500 0.12500 0.072060.04087 L3(x)0.800000.325000.133820.074430.04269分段低次插值的特点分段低次插值的特点:计算较容易计算较容易可以解决可以解决Runge现象现象,可保证收敛性可保证收敛性但插值多项式分段但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点插值曲线在节点处会出现尖点,不可导不可导See you later!