非惯性系中动力学问题的讨论

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1、包头师范学院本 科 毕 业 论 文论文题目： 非惯性系中动力学问题的讨论 院 系： 物理科学与技术学院 专 业： 物 理 学 姓 名： 王 文 隆 学 号： 0809320007 指导教师： 鲁毅 二 一二 年 三 月摘 要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。 关

2、键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort ha

3、ving translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目 录引 言11非惯性系概述21.1非惯性系21.2 惯性力

4、22 动力学方程32.1 质点动力学方程32.2 拉格朗日方程43 能量问题54 应用研究举例55 研究展望6参考文献7致谢8非惯性系中动力学问题的讨论引 言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、 天文和外星空探索等领域的许多转子系统。许多文献对非惯性系内的动力学问题进行了深入的研究 ,笔者将对此进行综述 ,内容包括在非惯性系中非惯性力的引入,牛顿运动定律及拉格朗日方程的应用 ,非惯性系运动学方程的建立 ,以及在非惯性系中的能量定理、 能量守恒定律等的应用问题。1非惯性系概述1.1非惯性系为了研究宏观物体的机械运动，首先应确定该物体在空间的位置。但因物体的位置只能相对的确定，因

5、此有因该首先找出另外一个物体作为参考，这种作为参考的物体叫做惯性参考系或惯性参照系。在研究地面上物体的运动时，为了研究问题的方便 ,人们通常取地球作为惯性参照系。凡相对惯性系作变速运动的参照系就是非惯性参照系。两者惟一的差别就是在非惯性系中存在一个引力场。研究在惯性参照系下机械运动所遵循的规律的力学被称之为“经典力学”,因此牛顿力学只有在惯性参照系中才能成立，即式（1-1）式中是作用在质点上的合外力，是质点的质量，而则为在惯性参照系中所观察到的质点的加速度即绝对加速度。绝对加速度，牵连加速度和相对加速度的关系为：式（1-2）在不同参照系中观察同一物体的运动,所得的描述物体运动的结论并不相同。但

6、是，可以通过在非惯性参照系中引进一个假设的力惯性力，牛顿运动定律在非惯性参照系中便能成立了。11.2 惯性力在上文中提到了将惯性力引入非惯性系中 ,惯性力和以前所讲的外力有很大的区别，这一点我们应当清晰地了解。第一，当我们以前提到力时，都必须明确指明是哪一个物体作用于哪一个物体的力，因为力是物体间相互作用所产生的。至于说到质点所受到的惯性力，却无从指出是哪一个物体作用于这个质点的，他没有施力者，只不过反映参照系并非惯性参照系而已。质点之所以具有牵连加速度也只不过表示质点是被参照系“牵带”着运动这一事实。第二，物体作用都是相互的，每一个力都有他的反作用力，惯性力并不是物体之间的相互作用，它没有施

7、力者，因而也就不存在惯性力的反作用力。但对于惯性力 ,在许多研究著作中还存在争议 ,即惯性力到底是真实力还是虚拟的力。从力的效应以及大量各种非惯性系中惯性力的效应实例出发 ,可以论证惯性力是实力2。也有认为惯性力是不符合牛顿力的定义的 ,只有将牛顿力的概念加以推广后 ,惯性力才属于力的范畴3。因此 ,在惯性力的研究中,既不宜将惯性力简单说成是“假想的力” ,也不应片面说成是“真实的力” ,需进行全面的讨论和分析。当在非惯性系中引入惯性力后 ,还必须考虑在非惯性系中动量定律、 动能定理以及各守恒定律的情况 ,即惯性系中的动力学方程与守恒定律是否还可以适用于非惯性系的情形4。2 动力学方程2.1

8、质点动力学方程在非惯性系中解决质点的运动问题与在惯性系中一样是根据牛顿运动定律,只是用非惯性系中测得的质点的坐标、速度和加速度来表述。从惯性系到非惯性系的坐标变换来考虑,建立一般性的非惯性系中质点的动力学方程,它对特定的非惯性系就能给出该系中质点的动力学方程。用直角坐标系代表一个惯性系。质点的质量为，它的坐标和所受合力的分量用单列矩阵表示为：在惯性系中，质点的动力学方程为：式（2-1）式中坐标对时间t的微商表示为。为质点的加速度分量。质点所受的力和合力及它的加速度对所有的惯性系都相同，它们的分量取决于坐标系的选取。用直角坐标系代表一个非惯性系。质点的坐标和所受合力的分量表示为：在非惯性系中，质

9、点所受的力和合力与惯性系中的相同（分量和一般不相等）。根据方程（2-2），通过坐标变换,可建立非惯性系中质点的动力学方程（分量形式）。系到系的坐标变换取为式（2-2）式中为矩阵，表示系相对于系的转动。的逆矩阵等于的转置矩阵，且行列式。为系的坐标原点在系中的坐标。力的分量变换为：式（2-3）求式（2-2）对时间的微商得：式（2-4）式（2-5）将式（2-5）和(2-3)的和F代入方程（2-1）得：以左乘上式两边得式（2-6）方程（2-6）就是非惯性系中质点的动力学方程。在非惯性系中引用惯性力：式（2-7）则方程（2-6）可写为式（2-8）利用拉格朗日方程也可推导出非惯性系运动方程 ,且拉格朗日方

10、程在解决力学问题上优于牛顿运动定律。另外，对在平动 /转动非惯性系及两者合成下的任意惯性系中的动力学方程的推导，以及非惯性系中两体问题的动力学方程的推导也有不少研究。152.2 拉格朗日方程利用基本形式的拉氏方程 ,既可以解决惯性系动力学问题 ,也可以解决非惯性系动力学问题 ,但在采用基本形式的拉氏方程解决非惯性系动力学问题时 ,动能必须是相对于惯性系的。而非惯性系的动能表达式比较复杂、 计算困难 ,为此可通过建立非惯性系中的拉氏方程以寻找解决非惯性系动力学问题的另一种方法6。从第二类拉格朗日方程出发 ,通过引入惯性力、广义势的概念 ,可以推导出受理想完整约束的有势力学系统相对于非惯性系的La

11、grange函数和Lagrange方程 ,并且还可发现 ,非惯性系受理想完整约束有势 (包括有势惯性力 )力学系统的动力学方程与惯性系中的动力学方程是等价的7。而对于非完整力学的研究 ,文献8直接从非惯性系运动微分方程出发 ,利用广义势的概念导出相对于非惯性系的拉格朗日函数和第二类拉格朗日方程 ,从而推导出在非惯性系中指定系统受一阶非线性非完整约束时的拉格朗日方程式 ,并指出其与受理想完整约束时的拉格朗日方程式相似。文献9则从非惯性系动力学方程出发 ,不仅导出非惯性系中的 Lagrange 方程 ,还导出Nielsen方程和 Appell方程 ,而且还可以由非惯性系拉格朗日方程导出完整、 保守

12、和稳定的力学体系中能量积分的条件和表达式。这种方法物理意义明确 ,且处理某些非惯性系动力学也较简便。3 能量问题在经典力学中运用牛顿运动定律可以导出动力学的基本守恒定律。在非惯性系中 ,牛顿第二定律写成如下形式:该作者认为 ,在原则上可利用此式解决非惯性系中的问题 ,但在解决一些复杂问题时 ,此种方法显得较为繁琐 ,故此文中探讨了动量守恒定律、动量矩守恒定律和机械能守恒定律在非惯性系中的推广表达式。对此进行了推论 ,导出非惯性系中动量定理、 角动量定理、 动量矩定理 ,以及动能定理和机械能守恒定律。另外 ,也可从各自的角度质点组、 定轴匀角速度转动体和两体问题论述了机械能的守恒。许多文献中都论

13、述了非惯性系中机械能的守恒 ,但对于是不是在任何情况下 ,非惯性系中机械能都是守恒的问题 ,文献 10在引入惯性力等效势能概念后 ,讨论了在惯性系中机械能守恒的条件。而文献11则认为:非惯性系的坐标原点在不变加速度平动或作有心加速度平动 ,同时又以不变加速度矢量转动的情况下 ,如果只有牛顿有势力和惯性有势力对力学系做功 ,而无牛顿耗散力和惯性耗散力做功 ,则非惯性系的机械能是守恒的。文献12从非惯性质心系出发 ,推导了非惯性质心系中质点组动能定理、 功能原理和机械能守恒定律 ,从而为上述机械能守恒条件提供了例证。对于非完整系统相对于非惯性系的研究 ,近些年来 ,许多文献给出了各自的论述。而对于

14、单面完整、非完整系统 ,也给出了相对于非惯性系的 Noether定理及逆定理。对于单面非 Chetaev型非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量的研究 ,可首先利用微分方程在无限小变换下的不变性建立 Lie对称性所满足的确定方程和限制方程 ,给出结构方程和守恒量 ,再来讨论系统的 Lie对称逆问题。13144 应用研究举例对非惯性系的理论研究应用最为典型的就是非惯性系中单摆周期的研究,其关键点为引入牛顿力的概念 ,运用牛顿第二定律建立动力学运动微分方程 ,便可求出各个物理量。运用能量定理及守恒定律解决非惯性系中的比较特殊的质点运动 ,尤其是指两质点的相对速度问题 ,比运用动力学方程简捷

15、和方便得多。对于非惯性系中理想流体的动力学方程问题,在近些年来也有研究。在非惯性系中引入惯性力和等效势能的概念 ,或是运用非惯性系中流体动力学方程,都可推导出非惯性系中伯努利方程的等效形式 ,用以解决流体动力学问题。15同样 ,通过研究发现 ,在惯性系中适用的阿基米德定律 ,在非惯性系中也可以用来解决流体动力学问题和流体流溢的边界条件问题。另外,对于非惯性系下的旋转叶片系统、 平面机构力学问题、 柔性体系统动力学问题、 弹性梁动力学问题以及弹性薄 /厚板动力学问题的研究,到目前为止也有较大成就,且在非惯性系下的电磁力学和量子力学等领域,国内外一些学者也有不少发现。近几年国外学者在直升机转子等航

16、空发动机转子的动力学研究中 ,应用的仍主要是非惯性系动力学的理论知识。国内也有一些学者在研究飞行器机动飞行时转子系统的动力学特性 ,所建数学模型也大多根据第二类拉格朗日方程 。5 研究展望对于非惯性系的研究已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域 ,从宏观研究深入到微观领域。笔者相信 ,随着生活领域的不断扩大 ,对非惯性系动力学问题的研究会越来越深入 ,尤其是在军事、 航空航天、 外星空探索和量子力学等领域 ,对非惯性系下的元器件动力学行为 ,特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。当考虑航空和航天飞行器的复杂机动飞行时 ,转子系统的建模应顾及体和柔性转子的特点。殷切希望此文能给致力于此

17、方面研究的专家学者一些帮助或启发。参考文献1 周衍柏.理论力学教程.高等教育出版社,1986,32 郑晓光.对惯性力的认识.吉林师范大学学报:自然科学版,20033 李天珍.关于惯性力的讨论. 彭城大学学报,1995,104 苏华,孔令宜.对惯性力和非惯性系中守恒定律的认识J.承德民族师专学报,19995 王振陆. 非惯性系中质点的动力学方程. 镇江师专学报.19876 范宝同.用拉格朗日方法处理非惯性系动力学问题探讨.太原教育学院学报,2001,197 王世来.拉格朗日方程在非惯性系中的推广及应用J.浙江海洋学院学报,1996(3):57 - 59 .8 杨俊生.非惯性系中受一阶非线性非完整

18、约束的拉氏方程.成都师专学报,1996(1):47-50 .9 李海东,梁景辉.分析力学中相对运动微分方程.山西师范大学学报:自然科学版,1995,9(4)10尹析明.非惯性系中质点的动能定理及机械能守恒条件J.电子科技大学学报,199711刘树信.某些非惯性系中机械能守恒定律.烟台师范学院学报:自然科学版,1996,12(3)12许钟城.在非惯性质心参考系中的能量规律J.河池师专学报:自然科学版,1999,19(4)13梁景辉,李元成.单面完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量J.青岛大学学报,2000,15(1):72-75.14李元成.单面非Chetaev型非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量J.兵工学报 , 2001,22(1):95-98.15顾书龙.非惯性参照系中的伯努利方程J.物理与工程,2003,13(1):1-3.致谢 本课题在选题及研究过程中得到鲁毅老师的悉心指导。鲁老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。鲁老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时三载，却给以终生受益无穷之道。对鲁老师的感激之情是无法用言语表达的。