48关于双曲线的“内部”和“外部”的对话

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1、关于双曲线的“内部”和“外部”的对话王敬虞岳昌庆（北京师范大学数学科学学院100875）（北京师范大学出版集团100875）2014年第53巻第12期数学通报#2014年第53巻第12期数学通报49岳昌庆（以下简称岳）：王老师您好.在我的印象中，您曾在数学通报等刊物上谈到过有关双曲线的“内部”和“外部”的问题.您能把它的基本内容再简单地说一说吗？王敬康（以下简称王）：好，那是刊载在1991年第4期数学通报上的文章射影几何指导中学解析几何教学举例中提出关于双曲线的“内部”和“外部”的问题.在数学教育学报1994年3卷1期的髙观点下的解析几何一文中，具体解释了这个问题.基本内容是：有一些教学参考书

2、中说,“椭圆的准线在椭圆外部两侧，而双曲线的准线在双曲线内部两侧”;“抛物线的焦点在抛物线内部，而双曲线的焦点在双曲线外部两侧”.这种关于双曲线内部和外部的用射影几何的观点来考察，在拓广平面（欧氏平面上添加了无穷远点和无穷远直线所组成）上,椭圆（包括圆，圆是椭圆的特殊情形）、抛物线和双曲线都是封闭图形，它们的区别在于和无穷远直线的位置关系不同，椭圆和无穷远直线相离，抛物线和无穷远直线相切，而双曲线和无穷远直线相交，如图1所示.或者说，椭圆上没有实的无穷远点,抛物线上有唯一的一个实无穷远点，而双曲线上有两个不同的实的无穷远点.在欧氏平面上没有无穷远点,所以椭圆仍是封闭的，抛物线去掉一个无穷远点以

3、后不再封闭了，但仍连通，只是一支，而双曲线去掉两个无穷远点以后也不封闭而且不连通了，被分离成了两支.对于欧氏平面上的封闭曲线圆，其内部和外部可以用点到圆心的距离来定义，其距离小于半径的点为内部的点，其距离大于半径的点为外部的点，这个用距离定义的概念是纯度量性质，只适用于圆，不能推广到椭圆、抛物线和双曲线.我们转而对圆采用“过一点能作两条实切线的，称该点在外部，只能作一条切线的，称该点在曲线上，不能作实切线的点称在其内部”.这个定义是射影性质，可以从圆推广到椭圆、抛物线和双曲线.在这个定义下，椭圆乃至抛物线，内部和外部与原来宜观认定的内部和外部相一致.而双曲线应、右两支之间的部分是“外部”，两支

4、之外的部分却是“内部”了，这与“直观认定”的双曲线两支之外（双曲线左支左侧及右支右侧）的部分叫“外部”，两支之间的部分叫“内部”说法不一致了.但这样定义是合理的，它把三种圆锥曲线“内部”和“外部”的定义统一起来了，这样，椭圆、抛物线和双曲线的准线都在其外部，椭圆、抛物线和双曲线的焦点都在其内部，完全一致了.可见上述教学参考书中凭直观将“双曲线两支之外的部分叫外部，两支之间的部分叫内部的说法是不合适的.图2岳:您上述用切线来定义圆锥曲线的内部和外部，我认为是有道理的.我现在就遇到两个与双曲线内部和外部有关的问题：第一个问题是关于圆锥曲线的弦，有没有统一的定义？如果定义为圆锥曲线上任意两点所连线段

5、称为弦，那么，如图2,双曲线左右两支上各取一点所连线段也是弦，按您上面关于内部外部的说法，双曲线的上述弦，是在双曲线的“外部”了，怎样解释它的合理性？第二个问题是：斗+签一10表示椭圆的外ab部,密+召一1表示椭圆的内部；卄2如0表示抛物线的外部,y-2px0表示抛物线的内部，而一釜T0表示双曲线的内部，弓一签abao-KO表示双曲线的外部.如何解释这种双曲线与前两者（椭圆和拋物线）不一致的现象？王：先说第一个问题.如前文所说，在拓广平面上，椭圆、抛物线和双曲线都是封闭图形，它们的区别在于和无穷远直线的位置关系不同，椭圆和无穷远直线相离，因此楠圆上任意两点所连线段（即欧氏平面上的弦）都在椭圆内

6、部；抛物线和尢穷远直线相切，因此抛物线上除无穷远切点以外的任意两点所连线段（即欧氏平面上的弦都在抛物线内部；而双曲线与无穷远直线相交，有两个交点，这两个无穷远交点把双曲线分成两部分（即欧氏平面上的两支），在这两部分上各自任取两点所连线段（即欧氏平面上的弦）都在双曲线内部;而分别在这两部分上各取一点所连线段（在封闭图形内部的部分），如图3,因与无穷远直线（在封闭曲线内）相交，即该线段上有一个无穷远点，即该线段的长度无限，不是欧氏平面上的通常线段,于是该线段所在拓广直线（是封闭的）上余下的另一部分线段（在封闭曲线外部、也是连接这两点的线段），就不含有无穷远点，即为有限长线段了，这就是欧氏平面上双曲

7、线的上述弦，因此在双曲线外部.关于第二个问题，可能要多说一些了.对于圆锥曲线的标准方程/（工,y）=0,只有圆的悄形时JQ,有几何意义，表示点（hq）到圆心（0,0）的距离的平方与半径平方的差，当这个差小于零（即点到圆心的距离小于半径）时，点在圆内部，得表示圆的内部;大于零时，/+y/o表示圆的外部.而对于圆以外的圆锥曲线的标准方程/（x,）=0来说,/（x,y）0和/（x,）0都没有几何意义.此时/（x,y）0和/（x.XO是表示曲线的内部还是外部，不是由/（x）0和/（x,y）0来决定的，而是由代入计算求值的点（工是在曲线的内部还是外部决定的.对于椭圆和抛物线，用内部的点（工力）（例如分别

8、用（0,0）和（p,0）分别代入计算得召+召一10和b-2/zV0,所以手+召一10和y-2px0分别表示椭圆的内部和抛物线的内部；而用椭圆和抛物线外部的点（x,）（例如分别用（2a,0）和（0,1）分别代入计算得召+召一10和一2加0,所以召十话一10和?-2px0分别表示椭圆的外部和抛物线的外部.至于双曲线，用外部的点（工2）（例如用（0,0）代入计算得召-话TV0,所以斗一签一1V0表示双曲线的外部;而用内部的点aD（x,y）（例如（2a,0）代入计算得牙一召一10,所以三一签T0表示双曲线的内部.aD也就是说，对圆的方程/（X，5r）=0而言，/（x,jr）o和/（x,y）0分别表示圆

9、的外部和内部，是由相对于圆的f.y）的几何意义决定的.而对于圆以外的椭圆、双曲线和抛物线的方程/（x,y）=O而言,/（x,）0和/（x,j）0没有明显的几何意义，它们是表示曲线的内部还是外部，完全由代入计算的点是在曲线的内部还是外部来决定.这就是f（x,y）0和/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.（注意：对于标准方程，坐标原点在椭圆内部而在双曲线外部）不知上述考虑，有没有把问题说清楚？岳：我认为对于第一个问题您已经解释清楚了，双曲线的弦可以在双曲线外部.对于第二个问题，您从圆说起，对于圆您是从不等式的几何意义上解释的但您说对于稱圆、枷物线和双曲

10、线的方程f（H,y）=0而言，不等式/（x,y）0和/（x,WV0没有几何意义，因此无法从几何意义上来解释.对于您的这个说法，我有些不同看法.我已用平面几何及椭圆、双曲线的第一定义及抛物线定义证岀： 椭圆外部的点P到两焦点尺和F?的距离之和大于长轴长2a,即|PFj+|PF2|2a；椭圆内部的点P到两焦点码和F2的距离之和小于长轴长2a,即|PF,|+|PF,|d；抛物线内部的点P到焦点F的距离小于该点到准线的距离d,即PF2；双曲线外部（双曲线之左右两支之间的部分）的点P到两焦点Fi和F2的距离之差小于实轴长2a,即|PF.|-|PF2|）0和/（x），焦点Fi（cO）及尸2（c,0）,长轴

11、长2a,则由|PF訂+|PF訂2a可得审+一1而满足不等式|PF】I+IPF2I2a的点P组成椭圆的外部，因此我们得到召+石一1。表示椭圆外部同理号+看一1V0表示楠圆的内部.对于抛物线:设动点P（z,y），然点F（#,0）及准线记点P到准线的距离为d,则由|PF|N可得-2px0.而满足不等式|PF|d的点P组成抛物线的外部因此我们得到亍一2工0,表示抛物线外部.同理：/一2px0表示抛物线的内部.对于双曲线：设动点P（h，W，焦点F,（c,O）及几（一c,0）,实轴长2a,则由|PF-PF22a可得务一看一1V0.而满足不等式UPF.I-IPFJ|0表示双曲线的内部（双曲线左支左侧及右支右

12、侧的部分）.上面我们回答的问题是，对圆的标准方程/（工,y）=D而言,/（x,y）0和/（x,y）的几何意义决定的.对于圆以外的椭圆、双曲线和抛物线的标准方程=0而言,/（工,，）0和/（x，3）2a的点P在椭圆外部（其内、外部可由直观认定，与由切线定义一致），所以弓+签一1ao0表示楠圆外部.对于抛物线由于满足|PFd的点P在抛物线外部（其内、外部可由直观认定，与由切线定义一致），所以y-2px0表示抛物线外部.然而对于双曲线，由于满足PFl-PFt2a的点P在双曲线内部（由切线定义，与直观说法不一致，所以召一君一10表示双曲线内部.可见对圆以外的椭圆、双曲线和抛物线的方程/（x,y）=0而

13、（下转第51页）2014年第53卷第12期数学通报51透视两个相关的数学通报问题李建潮（浙江省湖州市双林中学313012）/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.这样修正后不知你的意见如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期数学通报#2cos2COS22数学通眾问题栏曾在2005年第10期上刊登了如下问題：问题1580设ZXABC的三边长分别为a,6,c,内切圆半径为r，求证：丄+丄+丄丄a2十/十严“时隔九年，又在2014年的第4期上刊出了如下问题：问题2178在ZXABC中，三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,求

14、证：-+右a4cosbcosccos显然，问题2178是对问题1580的有意识加强，但笔者在证明问题2178时出于“和谐”的考虑，改证了如下更强的问题.加强问JS在中三内角A.B.C所对的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,求证：一1一+一!一+一1一2-22BCLi2CA22AB4/acos弦定理）B+CB-C2Ts,nI-)AABC2二(2smjcosysm-)(2sin-sin)(1-cos?今)NO(因为cosy=siny)Q(2sir?今血色尹)鼻0(显然为真)所以，式成立；同理可证：b2cos2”鼻(0+6-c)(6+c-a)ARczcos22N(6+ca)(c+a6)由、三式

15、,有1十1十12zB-cJ2C-A22A-B(TcosXbCOS”一Zccos4X*(c+a6(a+6c)十(a+6c)(b+ca)/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.这样修正后不知你的意见如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期数学通报#/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.这样修正后不知你的意见如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期数学通报#证明先证a2cos2M(c+a-6)(a+bc)事实上，式Oa?cos2旦豆(bc)=(6c)2a2sin2+(6+ca(c+a6)=a+6

16、+e(b+ca)(c+a6)(a+6c)=2-b+cac十a6abc42U(sinBsinC)?NsinAsin2岂(用正=4($。($6)($二c)(其中a+6+c2/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.这样修正后不知你的意见如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期数学通报#（上接第50页）0和0所表不的区域，是曲线的内部还是曲线的外部？是由满足条件的点是在曲线的内部还是曲线的外部决定的，而这个“内部”和“外部”正是前文所讨论的.这就是f（x9y）0和/（x,y）0是表示曲线的内部还是外部，出现双曲线与椭圆和抛物线不一致的现象的原因.这样修正后不知你的意见如何？岳:我完全同意.