运用公式法-教学建议

《运用公式法-教学建议》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运用公式法-教学建议（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、教学建议教学重点和难点：重点：平方差公式或完全平方公式。难点：灵活运用平方差公式或完全平方公式分解因式。教学建议:1. 教材分析(1) 知识结构:本小节首先说明什么叫做运用公式法,然后,依次介绍了平方差公式或完全平方公式,并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解.(2) 重点、难点分析1) 弄清平方差公式的形式和特点，熟练地掌握公式。平方差公式：= .这里 可以表示数、单项式、多项式. 左侧为两项; 两项都是平方项; 两项的符号相反.2) 弄清完全平方公式的形式和特点,熟练地掌握公式.完全平方公式:这里 可以表示数、单项式、多项式.公式的特点是: 左侧为三项: 首、末两项是平方项，并且首

2、末两项的符号相同； 中间项是首末两项的底数的积的2倍。3) 继续学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力 运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解二项式 时，关键的步骤是把 看作 ，把9看作 ，再把 看作a，把3看作b，于是就完成了式子 向公式左边 的化归：也就得到分解的方法：即又如，分解 时，关键的步骤是把 看作 ，把 看作 ，从而中间“项”就可以看作 ；再把 看作a，把 看作b，于是就完成了式子 向

3、公式左边 的化归：于是就可以依公式直接写出分解的结果也就是有4) 掌握好运用公式团式分解，首先要学会幂的运算性质的逆方向的应用由于乘法公式中多处出现 （或 ）和 （或 ），所以被分解的多项式中，必须有可以化归为一个式子的平方成立方的项这时，就要逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：， 例如，前例中，把 看作 的过程，依据的是：把 看作 的过程，依据的是 只有弄清这些变形的细节，了解每步变形的依据，才是真正理解了分解变形的逻辑，掌握了分解的方法5) 怎样处理分数系数的多项式的因式分解？ 一般地说，多项式的因式分解是在系数是整数的多项式中进行的，但有时，对系数中含有分数（或小数）的多项式也可以进行这

4、样的变形这时，将有多种处理方法，分解结果也可能有不同的形式 例如，把下列多项式分解因式： （1） （2） 解：（1）提出分数 ，使括号内的多项式是整数系数，再作分解，有 （2）解法一：由于 ，提出分数 ，使括号内的多项式是整数系数的多项式，再作分解，有解法二：直接运用公式得可以看到，当多项式含有分数系数时，可以把一个适当分数提到括号外，使括号内是整数系数的多项式，然后作分解；如果可能，也可以直接作分解的变形，在第（1）小题中，事实上，有这两种解法的结果是相同的 由分析可知，当把分数 提到括号里面时，只需把原多项式各项的系数分别乘以 （即 的倒数），就是括号内多项式相应各项的系数 一般地，为了使

5、系数是分数的多项式的分解有唯一的结果，我们不妨规定，首先提一个适当的分数于括号外，使得括号内化为整系数的多项式，再作进一步的分解例如，把多项式 分解因式：解： 教学设计示例运用公式法完全平方公式(1)教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力4通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习

6、1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4ax2 (2)16m4n4.解 (1) ax4ax2=ax2(x21)=ax2(x+1)(x1) (2) 16m4n4=(4m2)2(n2)2 =(4m2+n2)(4m2n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2mn).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a

7、b)2=a22ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a22ab+b2=(ab)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a22ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都

8、是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x410x2+1；(4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2x3，所以x2+6x+9=(x+3) .(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =25x 1，所以25x 10x +1=(5x1) .(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6

9、xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2(3x)y.例1 把25x4+10x2+1分解因式.分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.解25x4+10x2+1=(5x2)2+25x21+12=(5x2+1)2.例2把1 m+ 分解因式.问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项

10、“ ”是 的平方，第二项“ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.解法1 1 m+ =121 +（ ）2=（1 ）2.解法2 先提出 ，则1 m+ = (168m+m2)= (4224m+m2)= (4m)2.三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x210x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2；(3)1（）+m2/9=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x22x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a24ab+4b2；(4)9m2+12m+4；(5)1

11、a+a2/4.3.把下列各式分解因式：(1)a224a+144；(2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2ab+b2.答案：1.(1)25，(x5) 2；(2)12xy，(3x+2y) 2；(3)2m/3，（1m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“2x”改为“4x”，原式就变为x24x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x22x+1，它是完全平方式. (2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a2b)2.(4)是完全平方式，9

12、m2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1a+a2/4=（1a2）2.3.(1)(a12) 2；(2)(2ab+1) 2； (3)(13x+3y) 2；(4)（12ab）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a22ab

13、+b2=(ab) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16；(2)14t+4t2； (3)m214m+49； (4)y2+y+1/4.2.(1)25m280m+64； (2)4a2+36a+81； (3)4p220pq+25q2； (4)168xy+x2y2；(5)a2b24ab+4； (6)25a440a2b2+16b4.3.(1)m2n2mn+1； (2)7am+114am+7am1；4.(1) x 4x； (2)a5+a4+ a3.答案：1.(1)(a+4)2；(2)(12t)2；(3)(m7) 2；(4)（y+12）2.2.(1)(5m8) 2； (2)(2a+9)

14、2；(3)(2p5q) 2；(4)(4xy) 2；(5)(ab2) 2； (6)(5a24b2) 2.3.(1)(mn1) 2； (2)7am1(a1) 2.4.(1) x(x+4)(x4)； (2)14a3 (2a+1) 2.课堂教学设计说明1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.