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1、数学建模入门练习题练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？(参考答案： 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。) 答：首先从历史的角度看，当时欧洲各国对东方的贸易需求量大增，原有的航线不足以满足欧洲国内需求，所以各国需要开辟新航线扩大贸易量。而指南针的引入以及造船技术的不断改进使得远洋航行成为可能。其次，从哥伦布个人的角度来看，他有着坚定地信念和科学的头脑。他坚持认为地球时圆的，一直向西方航行一定可以到达印度。而且在航行途中，当所有的船员已经放弃向前、想要返航的时候，哥伦布依旧坚持自己的看法，执意继续向西，最终才发现的新大陆。练习题2：棋盘问题有
2、一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？答：不可以。不能，如图所示。图中共有 32 个红格,30 个蓝格,而每张骨牌必定盖住一蓝一红两格，那么最后两个红格用一个骨牌无论如何也盖不上。练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 答：为了赢得比赛，决定先放。具体做法如下：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，
3、直至对方没有地方方硬币为止，有长方形的对称性，只有中心不存在对称为止，故先放者必定会赢。练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？答：不能使平均速度达到60km/h，计算如下：假设返回的速度是x km/h，A、B两地间距离为S km。那么往返的平均速度就是：V=若令v=60，解之得：x=30+x，显然无解。所以若按照原路线返回的话，除非速度达到，否则平均速度不可能达到60km/h。练习题5：登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次
4、日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：可以找到。由于本题要求不能使用高数知识，我们只能从最简单的物理模型入手。我们不妨假设在同一天，有两个人，同时分别从山顶和山脚出发，分别上山、下山，这两人碰面的地点就是来回时刻相同的地点。设：上山的速度为V1(t)，下山的速度为V2(t)，山路长度为X。则两人相遇的时候，有：X=显然，两人一定相遇，本方程也一定会有解。练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明
5、，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下： 兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)答：全红1种，2红1黑3种，1红2黑3种。共7种不同的戴法。老大老二老三的帽子颜色依次为：红/黑、
6、黑、红 的戴法最难。因为老大看到一红一黑的时候无法判断自己的帽子颜色。此时老二知道自己和老三的头上戴的是两红或者一红一黑，但是他看到老三头上戴着红帽子，也就无法判断出自己头上帽子的颜色。这是只有通过老三对老大老二反应的判断来推出自己头顶帽子的颜色。练习题7：做出空间图形做出由曲面与相交的空间曲线和所围成的立体的图形。答：如下图，用matalb作图：Matlab的m文件代码如下：t=0:0.1:2*pir=0:0.1:sqrt(2)t,r=meshgrid(t,r)x=r.*cos(t)y=r.*sin(t)z1=x.2+2*y.2z2=6-2*x.2-y.2surf(x,y,z1)hold o
7、nsurf(x,y,z2)练习题8：之事，知多少？关于圆周率的事，你们知道多少？答：圆周率，一般以来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值，其定义为圆的周长与直径的比值。也等于圆的面积与半径平方的比值。在分析学里，可以严格定义为满足的最小正实数，这里的 是正弦函数（采用分析学的定义）。简介圆周率（读pi）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
8、(读作“派”)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉从一七三六年开始，在书信和论文中都用来表示圆周率。因为他是大数学家，所以人们也有样学样地用来表示圆周率了。但除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。=Pai（=Pi）古希腊欧几里德几何原本（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书周髀算经（ 约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）43.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德
9、，他在圆的度量（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71）0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：命题：已知f（）和g（）是的连续函数，对任意，f（）g（）=0，且g（0）=0。则存在0使得f（0）=g（0）=0。 题就是本问题的数学模型。模型求解: 设角线AC和BD间夹角为，则将椅子旋转，角线AC换至之前BD位置。由g（0）=0和f（0）0可知g（）0和f（）=0。令h（）=f（）-g（）。则h（0）0和h（）0。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存
10、在0（00）使h（0）=0，即h（0）=g（0）。最后，因为f（0）g(0)=0，所以f（0）=g（0）=0。因而，一定会转某个角度后四脚同时着地。练习题20：商人们怎样安全过河？四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢?答：记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为ykk=1,2,xk,yk=0,1,2,3。将二维向量Sk=（xk，yk）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。不难写出S=（x,y）|x=0,y=0,1
11、,2,3;x=3, y=0,1,2,3;x=y=1,2 (1)记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量dk=(uk,vk) 定义为决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知D=(u,v)|u+v=1,2 (2)因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以两岸商人数和随从数的情况列为下表：此岸彼岸S1=(4,4)(0,0)S2=S1-d1=(4,4)-(0,2)=(4,2)(0,2)S3=S2+d2=(4,2)+(0,1)=(4,3)(0,1)S4=S3-d3=(4,3)-(0,2)=(4,1)(0,2)S5=S4+d4=(4,1)+(0,1)=(4,2)(0,
12、1)S6=S5-d5=(4,2)-(2,0)=(2,2)(2,0) 我们可以发现，当进行至此步时，任何决策都会使状态返回上一步造成无功而返，或者造成商人的死亡。所以四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，商人不能安全渡河，因而此题无解。练习题21：学习检验问题在第三章（初等模型）第三节（划艇比赛的成绩）中利用最小二乘法和表中各种艇的平均成绩检验公式，要求小数点后保留四位。最小二乘法计算器窗体顶端请输入参数个数：Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.窗体底端窗体顶端iXY1 Error!
13、 Reference source not found.Error! Reference source not found.2 Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.3 Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.4 Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.窗体底端 斜率：K=-0.103408601605458
14、82 相关系数：r=-0.9932457133195626 log t=+log n =-0.9932 =-0.1034 即:log (t/n)=t=10*n练习题22：设效用函数为根据(第四章微分法建模，第六节消费者的选择)(2)式求最优比例,使效用函数 达到最大。 答：由可计算得： 练习题23：航天飞机的水箱的设计考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体(像冰激凌的形状，如图)。如果球体的半径限定为正好英尺，设计的水箱表面积为平方英尺，为直圆锥的高，为球冠的高，请确定、的尺寸，使水箱容积最大。答：【模型假设】影响水箱的设计因素很多。在模型中，考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积以及球体的半径。【模型建立】定义如下变量：为锥顶的体积：为被锥所截后球体部分的体积：为水箱的体积，则： 为锥的表面积：为被锥所截后球体部分的表面积：水箱的表面积为：人们希望最大化水箱的体积，但是总的表面积限制了水箱的体积，所以问题归结为在条件：下，求的最大值。【模型求解】用Lagrange乘子法来求解这个具有等式约束的优化问题。定义函数：将代入上式，化简表达式得到： 将对变量分别求偏导数，并令他们为零，求解得：所求最大体积为：
北石化《数学建模入门》练习题-答案
