奥数：5-2-1数的整数-题库

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date奥数：5-2-1数的整数-题库奥数：5-2-1数的整数-题库5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几

2、个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末

3、三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca 例如

4、：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】 已知道六位数20279是13的倍数，求中的数字是几？ 【解析】 本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】 六位数能被99整除，是多少？ 【解析】 方法一：200008被99除商2020余28，所以能被99整除，商72时，末两位是28，所以为71；方法二：，能被99

5、整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得是71.【巩固】 六位数2008能被49整除，中的数是多少？ 【解析】 详解类似上题，从略。填入05【例 2】 173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 【解析】 用1730试除，17309=1922，17301l=1573，17306=2882所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整

6、除所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19【巩固】 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000试除，19930002520=7902200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可【巩固】 如果六位数1992能被105

7、整除，那么它的最后两位数是多少？ 【解析】 因为，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可方法一：利用整除特征末位只能为0或5 如果末位填入0，那么数字和为，要求数字和是3的倍数，所以 可以为0，3，6， 9，验证， 有91是7的倍数，即是7的倍数，所以题中数字的末两位为90 如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征所以，题中数的末两位只能是90方法二：采用试除法用试除，余15可以看成不足， 所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可【例 3】 在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少? 【解析

8、】 采用试除法.设六位数为如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除，余191也可以看成不足所以当时，即是100的倍数时，六位数才是323的倍数所以有的末位只能是，所以n只能是6，16，26，验证有时，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意【巩固】 已知四十一位数555999（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？【解析】 我们知道这样的六位数一定能整除7、11、13原41位数中从高位数起共有20个5，从低位数起共有20个9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：55555510

9、00(35个0)+5555551000(29个0)+5599+9999991000(12个0)+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数，唯独剩余5599待定，那么只要令5599是7的倍数即可，即只要44是7的倍数即可，应为6【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； 一共有多少种满足条件的填法？【解析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即432是9的倍数，而4329, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数依次填入3、6，

10、因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法【例 5】 (2019“数学解题能力展示”初赛)已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？ 【解析】 设原数， 或者， ()或者()或者根据两数和差同奇偶，得： 或者 不成立.所以， .【例 6】 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，

11、把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共元(为被烧掉的数字)，请把处数字补上，并求笔记本的单价. 【解析】 把元作为整数分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因为，(8，9) .所以，. ，根据能被8整除的数的特征，8 |79，通过计算个位的.又，根据能被9整除的数的特征， ()，显然前面的应是3.所以这笔帐笔记本的单价是： (元).【例 7】 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 【解析】 根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上

12、的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列出最大数875413.模块二、数的整除性质应用【例 8】 各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？【解析】 被合数整除把225分解，分别考虑能被25和9整除特征。，所以要求分别能被25和9整除。要能被25整除，所以最后两位就是00。要能被9整除，所以所有数字的和是9的倍数，为了使得位数尽可能少，只能是4个2和1个1，这样得到1222200。【例

13、9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍数)：，不是3的倍数；，不是3的倍数；，不是3的倍数；，不是3的倍数；，是3的倍数；，不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的

14、乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了29棵。【例 10】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【解析】 方法一：设补上数字后的六位数是，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和是3的倍数；第二：末两位数字组成的两位数是4的倍数；第三：末位数字是0或5。由以上条件，4| ，且只能取0或5，又能被4整除的数的个位数不可能是5， c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。又3| ，且（8+6+5）除以3余1，除

15、以3余2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取，。要求的六位数是865020。方法二：利用试除法，由于要求最小数，用进行试除分别被3、4、5整除，就是被整除，所以能被整除要求的六位数是865020。【巩固】 在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除那么这三个数字的和是多少? 【解析】 7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除，所以所得六位数是，或因此三个数字的和是17或8【巩固】 要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分别是多少？ 【解析】 分解为互质的几个数的乘积，分别考虑所以能被4整除,从而只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，应尽可能小，先取，又，所以是

16、9的倍数所以，时，取得最小值.【例 11】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 【解析】 本题采用试除法。因为3，5，7，13的最小公倍数为1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(1000001365=73355，100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-1365=9691596915-1365=9555095550-1365=94185所以

17、，满足题意的5位数最大为94185【巩固】 请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？ 【解析】 解法一：因为711131001，9991001999999不是七位数，这个七位数是1001abcdabcd000abcd，如果c不是9，那么b就会重复，所以c9，因为是5的倍数，所以d5，要使最大，先假设a8时，b取8，5，2都不符合要求，当a7时，b取9，6，3，0中3符合要求，所以最大的是7402395分析题意知，这个七位数是711131001的倍数，根据1001的特点，解法二:假设这个七位数是abcdefg，满足abcdefgn00n，很

18、容易得出c0，f9，b和e相差1，如果g0，那么ad，所以g5。假设a8，那么d3，b和e就是2，1或者7，6，经检验都不符合要求。假设a7，那么d2，b和e就是4，3，经检验刚好可以。这个七位数是7402395.【例 12】 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【解析】 本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743823=38469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动有n=1时，354+823：1

19、177，n=2时，354+8232=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数【例 13】 某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【解析】 本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续9个奇数为例子：我们可以令连续9个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为9a，即

20、为9的倍数。对于连续10个自然数，可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5则它们的和为10a+5=5（2a+1），即是5的倍数且除以5后商是奇数。所以本题中要求的数是5，9，11的最小公倍数的倍数即495的倍数，最小值即495.【巩固】 是一个三位数.它的百位数字是4，能被7整除，能被9整除，问是多少？ 【解析】 能被7整除，说明能被7整除；能被9整除，说明能被9整除；，则符合上述两个条件.(因，则可以写成这样的形式：).又是一个百位数字是4的三位数，估算知，.【巩固】 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续

21、自然数的和请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【解析】 3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是303、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件，所以第一个符合题意的数是，最大的一个数是，共计个数，分别为750、810、870、930、960【例 14】 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 【解析】

22、因为168=837，所以组成的六位数可以被8、3、7整除能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由例8知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，688的不管怎么填都得不到7的倍数至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数【例 15】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被

23、667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？ 【解析】 本题考察对数字667的特殊认识，即6673=2001。本题要求用4，5，6，7，8，9组成一个667的倍数，其实发现4，5，6，7，8，9组合出的数一定是3的倍数，那么只要考虑组成一个2001的倍数即可，而2001的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是900多的数字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478667=1434。【例 16】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数现已知一个十全数能被1，2，

24、3，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？ 【解析】 这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20设这个十全数为由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、由于、四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是，即所以、是9和5；、是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件【例 17】 把若干个自然数1、2、3、连乘到一起，如果已知这

25、个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【解析】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了，发现只有25、50、75、100、这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59【巩固】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【解析】 首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一

26、个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有个0【巩固】 ，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【解析】 积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5，共有3个5，2个2，所以方框内至少是【巩固】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【解析】 因为，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5连续的11个自然数中至多只能

27、有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45【巩固】 把若干个自然数1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【解析】 1到10的乘积里会出现和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224【例 18】 从左向右编号

28、为1至1991号的1991名同学排成一行从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_ 【解析】 第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是【例 19】 在1、2、3、42019这2019个数中有多少个自然数a能使2019

29、+a能被2019-a整除。【解析】 本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得2019+a能被2019-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道若a可以使得是一个整数，那么a也同样可以使得是一个整数，这样只要2019-a是4015的约数即可，将4015分解可知其共有8个因数，其中4015是最大的一个，但是显然没有可以让2019-a等于4015的a的值，其余的7个均可以有对应的a的值，所以满足条件的a的取值共有7个。【例 20】 以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.

30、 【解析】因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断能否被11整除，只需判断能否被11整除，因此结论得到说明.【巩固】 以多位数为例，说明被7、11、13整除的规律. 【解析】 因为根据整除性质和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断能否被7、11、13整除，只需判断能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例 21】 已知两个三位数与的和能被37整除，试说明：六位数也能被37整除【解析】 ，因为999能被37整除，所以能被37整除，而也能被37整除，所以其和也能被37整除，即能被37整除【巩固】 如

31、果能被6整除，那么也能被6整除 【解析】 2|2|e6|3e3|3|a+b+c+d+e6|2(a+b+c+d+e)6|2(a+b+c+d+e)-3e6|2（a+b+c+d）-e【巩固】 若，试问能否被8整除?请说明理由 【解析】 由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可. ，有能被8整除，而也能被8整除，所以能被8整除.【例 22】 两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被72整除，求和.【解析】 考虑到，而是奇数，所以必为8的倍数，因此可得；四位数2752各位数字之和为不是3的倍数也不是9的倍数，因此必须是9的倍数，其各位数字之和能被9整除，所以.【巩固】 若四位数能被15整除，则代表的

32、数字是多少？【解析】 因为15是3和5的倍数，所以既能被3整除，也能被5整除能被5整除的数的个位数字是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数当时，不是3的倍数；当时，是3的倍数所以，代表的数字是5【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除试问密码是多少？ 【解析】 密码由7位数字组成，如果有两个3的话，那么至少是位数，与题意不符；只有一个3的话，那么至少有两个2.如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有个数字，与题意不符，所以2只有两个，1有四个，如此，各数位数字和为，不是3的

33、倍数，所以密码中没有3，只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222满足条件，其中2222112的2多于1，应予排除，所以这个密码是1112112.【巩固】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3在密码中2的数目比3多，而且密码能被3和4所整除试求出这个密码 【解析】 密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个当2有4个时，密码的数字和为17；当2有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14由于一个数能被3整除时，它

34、的数字和也能被3整除，所以密码中2应当有6个，这样3就只能有1个另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是32所以，密码是2222232【例 24】 一个19位数能被13整除，求内的数字 【解析】 13|，13|，13|7777770000000+13|777777，13|7777770000000，13|，13|444，13|2，设=7770，0【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除？ 【解析】 由于可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“”从中减去63035，

35、并除以100，即得“”可被7整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除所以？处应填2或9.【例 25】 多位数，能被11整除，最小值为多少？ 【解析】 奇数位数字之和为，偶数位数字之和为，这个多位数整除11，即能整除11，n最小取3【巩固】 能被11整除，那么，的最小值为多少？ 【解析】 中奇位数减偶位数的差为，当时，是11的倍数，所以的最小值是5.【例 26】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2019次成为：.如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？ 【解析】 因为，所以也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的特点是末三位和前

36、面数字的差是7和13的倍数，由此可知也是7和13的倍数，即也是7和13的倍数，依次类推可知末三位和前面数字的差即为：也是7和13的倍数，即也是7和13的倍数，由此可知也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数字是：，所以.【例 27】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数) 【解析】 设原序数为，则反序数为，则 ，因为等式的右边能被整除，所以 能被11整除【巩固】 试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被9整除. 【解析】 设原来的两

37、位数为，则新的两位数为. .因为能被9整除，所以他们的差能被9整除.【巩固】 试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数，那么它对应的反序数为76321，它们的差是99的倍数) 【解析】 设原序数为，则反序数为，则因为等式的右边能被99整除，所以能被99整除【巩固】 1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是和)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【解析】 互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除而，所以我们只

38、用考察它能否能被4整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有(3，4)处、（8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为，所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右

39、两个数的乘积为27，8，12，48，35，9【例 28】 一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(如，则就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和. 【解析】 方法一：显然，不小于4，原等式变形为化简得，当时，于是为同理，6，7，8，9，可以得到为，. 所有的和是方法二：显然，不小于4，若，为末尾数字，所以；为的末2位，所以；为的末3位，所以； 为的末4位，所以；为的末5位，所以；于是为同理，6，7，8，9，可以得到为，. 所有的和是【例 29】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：9865；9866；9867；9868；9869.

40、这两个4位数的和到底是多少? 【解析】 设这个4位数是，则新的4位数是.两个数的和为,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867【巩固】 一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：9865；9867；9462；9696；9869.这两个4位数的和到底是多少? 【解析】 设这个4位数是，则最新的4位数是.两个数的和为,是101的倍数.在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696.模块三、整除与其他知识综合性题目【例 3

41、0】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个. 【解析】 两位数字中能被11整除的数字是11、22、99这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这个三位数为，有和，显然有，所以就有，814，715，616，517，418，319这7个.四位数，设这个四位数为， 有和()()中，若，则或4有2种组合，b和d有2种.因此有4种； 有和()()，则只能，和有7种组合.综上所述，这样的数有个.【巩固】 用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数? 【解析】 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了所以我们得到“一个数被11

42、除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字其中一组作为千位和十位数，它们的和记作；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作我们要适当分组，使得能被11整除现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位 1，8 9，8 1，9 8，8 9，8 1，8 8，8 1，9经过验证，只有第种分组法满足前面的要求：，能被11整除其余三种分组都不满足要求根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两

43、个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8于是，上面第种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 31】 在1至2019这2019个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？ 【解析】 1到2019这2019个自然数中，3和5的倍数有个，3和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5和7的倍数有个所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有个【例 32】 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除1号

44、作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数 【解析】 为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为根据号同学所述结论，中只有两个连续的自然数不能整除，其他的数都能整除由于中的每一个数的2倍都在15以内，如果中有某个数不能整除，那么这个数的2倍也不能整除，然而中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以中每一个数都是的约数由于2与5互质，那么也是的约数同理可知，12、14、15也都是的约数还剩下的四个数为8、9、11、13，只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编

45、号分别是8和91号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，lO，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数它们的最小公倍数是：因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么l号同学写的五位数是60060【巩固】 某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，12他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 【解析】 设第一户电话号是，第

46、二户的电话号是，第12户的电话号是根据条件可知是的倍数(，2，12)，因此是1，2，12的公倍数而，所以又是13的倍数，而27720除以13余数为4，所以是13的倍数，则，14，27，第9户的电话号码是，是一个首位数字小于6的六位数，所以取14合适；因此这一家的电话号码是【例 33】 已知：则？ 【解析】 由于123中有4个5的倍数，所以的末尾有4个0，所以由于 (为正整数)，所以去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么是8的倍数，所以易知是9和11的倍数，所以是9的倍数；是11的倍数，那么或15，或若，由于与 (或)奇偶性相同，所以此时，得，不合题意所以，得，所以【巩固】 有一个九位数的各

47、位数字都不相同且全都不为0，并且二位数可被2整除，三位数可被3整除，四位数可被4整除，依此类推，九位数可被9整除请问这个九位数是多少？ 【解析】 由题可知这个九位数由数字19组成，其中每个数字出现一次，且、都是偶数，、是奇数由于可被5整除，所以由于可被3整除，所以、三个数之和可被3整除由于可被6整除，所以、三个数之和可被3整除由于可被4整除，所以可被4整除，而是奇数，所以只能为2或6由可被8整除知可被4整除，所以可被4整除，同上可知也只能为2或6所以有如下两种情况：，此时可被3整除，只能为8那么为4由于、三个数之和可被3整除，而、为1、3、7、9中的某两个，所以、为1和7那么为3或9，其中满足可被8整除的只有9，所以为9，为3此时为1472589或7412589，但这两个数都不能被7整除，不符题意；，此时可被3整除，只能为4那么为8此时 可被8整除，所以为3或7又、三个数之和可被3整除，而为8，所以、可以为(1，3)、(1，9)、(7，3)或(7，9)，所以此时有8种可能情况：189654327；981654327；789654321；987654321；183654729；381654729；189654723；981654723经检验，其中只有381654729满足能被7整除，所以所求的是381654729-