线性规划的常见题型及其解法

《线性规划的常见题型及其解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性规划的常见题型及其解法（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、愿课题线性规划的常见题型及其解法答案屋兰起整丹ii斤线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题探究角度有:1. 求线性目标函数的最值.2. 求非线性目标函数的最值.3. 求线性规划中的参数.4. 线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.昌匙展现+y3,【母题一】已知变量x,y满足约束条件xy-1,则目标函数z=2x+3y的取值范围为()、2xyv3,A.7,23B.8,23C.7,8D.7,25【削析万向】求这类目标函数的

2、最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=:x+：,通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值.x+y3,【解析】画出不等式组4xy-1,表示的平面区域如图中阴影部分所示,、2xy3,x+y=3,2xy=3,x-y=1,2xy=3,y=5,所以A(4,5),zmax=2X4+3X5=23.2z2由目标函数z=2x+3y碍y=-3*+3,平移直线y=-3*知在点B处目标函数取到取小值，解方程组得|x=2所以B(2,1),zmin=2X2+3X1=乙在点A处目标函数取到最大值，解方程组y=1,【答案】Ax-4y+30,【母题二】变量x,y满足3x+5y250,、XA1,(1) 设z=2xy1

3、，求z的最小值；(2) 设z=x2+y2,求z的取值范围;(3) 设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.五七=；0、表示点(x,y)和g,。连线的斜【剖折万的】点(x,y)在不等式组表示的平面区域内刃率；x2+y2表示点(x,y)和原点距离的平方；x2+y2+6x4y+13=(x+3)2+(y2)2表示点(x,y)和点(-3,2)的距离的平方.x-4y+30,【解析】(1)由约束条件J3x+5y-251,x=1,由L.|3x+5y25=0,=|x4y+3=0,x4y+3=0,由VI3x+5y25=0,解得a1,22.解得C(1,1).解得B(5,2).z=工=mX22x1x-z的

4、值即是可行域中的点与10线的斜率，观察图形可知zmin=气X1=25一2z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin=lOC|=V2,dmax=lOB|=f29.2z29.(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是：可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中，dmin=1-(-3)=4,dmax=P(-3-5+(2-2f=8.16zv64.=方王技15=求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.1.

5、常见的目标函数有：(1)截距型：形如z=ax+by.求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=一春+j通过求直线的截距了的最值，间接求出z的最值.距离型：形一：如z=J(xa)2+(yb)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；斜率型:形如z=七z=况z=土形二：z=(x-a)2+(yb)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.z=y_，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直x线的斜率.【提醒】注意转化的等价性及几何意义.此型闩ii斤角度一：求线性目标函数的最值x+y70,(

6、2014新课标全国II卷)设x,y满足约束条件ix-3y+10,A.10B.8C.3D.2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，4/x-3y+l=0647=0A(5,2)时,由z=2xy得y=2x-z,作出直线y=2x,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点对应的z值最大.故zmax=2X52=8.【答案】Bx+20,(2015高考天津卷)设变量x,y满足约束条件xy+30,则目标函数z=x+6y的最大值为l2x+y-30,（2013高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组*+2y10,所表示的区域上一3x+y-80动点，则直线OM斜率的最小值为（）B.D.【解析】已知的不等式组

7、表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x+2y1=0和3x+y-8=0,解得A（3,1-1），故OM斜率的最小值为一1.3【解析】C，0vxV2,已知实数x,y满足yv2,则z=2x+y1的取值范围x1、xvRy,【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=2奸尸1=2+曰的取值范围可转化为点（x,y）与（1,1）所在直线的斜率加上2的取值x1x1范围，由图形知，A点坐标为（寸21）,则点（1,-1）与（寸2,1）所在直线的斜率为2寸2+2,点（0,0）与（1,一1）所在直线的斜率为一1,所以z的取值范围为（一8,1U2寸2+4,+8）

8、.【答案】（一8,1U2*+4,+8）x+y2（2015郑州质检）设实数x,y满足不等式组yx1,A.1,2B.1,4C.也,2D.2,4【解析】如图所示，不等式组表不的平面区域是ABC的内部（含边界），x2+y2表示的是此区域内的点（x,y）到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是1,4.【答案】B0,（2013高考北京卷）设D为不等式组2xy0,所表示的平面区域，区域D上的点与点（1,0）之、x+y31,设不等式组代2y+30,所表示的平面区域是Q，平面区域Q2与0关于直线3x4y-9=0、注x对称.对于Q1

9、中的任意点A与Q2中的任意点B,|AB|的最小值等于（C.28512B.4D.2x1【解析】不等式组x2y+3A0、yAx,所表示的平面区域如图所示,x=1x=1解方程组I,得ily=xly=1.点A(1,1)到直线3x4y-9=0的距离d=|3-4-9|=2,则|AB|的最小值为4.5【答案】B角度三：求线性规划中的参数x0,若不等式组4,所表示的平面区域被直线y=kx+4分为面积相等的两部分，则k的值是33x+y!4wkx-I-寸占百寸EfFrR/LB(0,4)，所以AB甲点D2J,不y一软十3史加、22尸2一2十3，I以k3【解析】A10.(2014高考北京卷)若x,x+V一20,y满足

10、ikxy+2a0,y0,且z=y-x的最小值为一4，贝Uk的值为(B. 21x+y-20,【解析】D作出线性约束条件fkxy+20,的可行域.ly0图图当k。时，如图所示，此时可行域为y轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=。的右下方的区域，显然此时z=y-x无最小值.当kv1时，z=y-x取得最小值2;当k=1时，z=y-x取得最小值一2,均不符合题意.当一1vkv0时，如图所示，此时可行域为点A(2,0),B，0；,C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z=yx经过点BK，0j时，有最小值，即一K尸一4?k=；.【答案】D妇y20,11.(2014高考安徽卷)x,y满足约束

11、条件x2y-20.则实数a的值为()1.、.、1A.方或一1B.2或方C.2或1D.2或一1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2),B(2,0),C(-2,2),则zA=2,zB=2a,zC=2a2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA=zBzC或zA=zCzB或zB=zCzA,解得a=1或a=2.法二：目标函数z=yax可化为y=ax+z,令l：y=ax,平移l,则当l。/AB或l。/AC时符合题意,故a=1或a=2.【答案】Dx0,1y0,一，一，一-12.在约束条件下，当3sV5时，目标函数z=3x+2y的取大值的取值氾围是()x+ys,Ly+2

12、x4.A.6,15B.7,15C. 6,8D.7,8.x+y=s,x=4s,【解析】由i得i，则交点为B(4s,2s4),y+2x=4与x轴的交点为A(2,0),y+2x=4,y=2s4,与y轴的交点为C(0,4),x+y=s与y轴的交点为C(0,s).作出当s=3和s=5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示.(1)(2)当3sv4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7zmaxV8;当4,若Z=弋罕的最小值为芸则硕值为【解析】守=1+而守表示过点（x，y）与（ff连线的斜率，易知a。,.可作出可行域，由题意知x的最小值是4,即&+1*-x+1min一3V土=

13、1?a=1-(-L-D角度四：线性规划的实际应用A产品需14.A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时.在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是元.【解析】设生产A产品x件，B产品y件，则x,3x+y11,y满足约束条件Jx+3y9,xN,yN,生产利润为z=300x+400y.画出可行域，如图中阴影部分（包含边界）内的整点，显然z=300x+

14、400y在点A处取得最大值，由方程组3x+y=11,k+3y=9,x=3,解得&=2,则zmax=300X3+400X2=1700.故最大利润是1700元.【答案】170015.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy,所以利润w

15、=5x+6y+3(100x-y)=2x+3y+300.5x+7y+4(100x-y产600,x+3y0,整理得fx+y0,y0,x,yN.x0,y0,x,yN.目标函数为w=2x+3y+300.作出可行域.如图所示：x+3y=200,x=50,一得一x+y=100,ly=50.表示的可行域(如图所示的ABC的边界及内部).初始直线1。：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，w有最大值.由，最优解为A(50,50),所以wmax=550元.所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.加练习=一、选择题1.已知点(一3,-1)和点(4,6)在直线3x-2y-a=0

16、的两侧，贝Ua的取值范围为()A.(-24,7)B.(-7,24)C. (8,7)U(24,+8)D.(8,24)U(7,+8)【解析】根据题意知(一9+2-a)(12+12-a)v0.即(a+7)(a24)3,则z=x-y的最小值是()、2x+y3,、2x+y0,【答案】A3.（2015泉州质检）已知。为坐标原点,A（1,2），点P的坐标（x,y）满足约束条件的最大值为（B.D.【解析】如图作可行域，z=OAOP=x+2y,显然在B(0,1)处Zmax=2.yJx-2y+10,4.已知实数x,y满足：ix0,则z=2x2y1的取值范围是【解析】B.D.0,5一55)-3V画出不等式组所表示的

17、区域，如图阴影部分所示，作直线l:2x2y-1=0,平移l可知2X-2X21z2X2-2X(1)1,即z的取值范围是一5,5:33/x-2【答案】D5.如果点（1,b）在两条平行直线6x8y+1=0和3x-4y+5=0之间，贝Ub应取的整数值为（）B.D.【解析】由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)v0,即0gjb-2)v0,.8bv2,b应取的整数为1.6.（2014郑州模拟）已知正三角形ABC的顶点内部，贝Uz=x+y的取值范围是（）A.（1V3,2）IC.（V31,2）I【解析】如图，根据题意得C（1+寸3,2）.A（1,1）,B（1,3）,顶点C在第一象限，若点（x,y）在ABCB

18、.D.(0,2)(0,1+V3)作直线一x+y=0,并向左上或右下平移，过点B（1,3）和C（1+寸3,2）时，z=x+y取范围的边界值,即一（1+寸3）+2z0,所表示的平面区域上一、xy10,动点，则直线OP斜率的最大值为（）D. 1【解析】作出可行域如图所示，当点,、一x+V=2，,-、，,P位于的父点(1,1)时，(kop)max=1y=1,/x+y=28.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域B. A=(x,y)|x+y0,y0,则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为()1D.C.x+y0,y0,设a=x+y,b=x-y,则此两目标函数的范围分别为a=x+y0,1,b

19、=xy1,1，又a+b=2x作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积【答案】B3x-y-20,x0,y0,的取值范围是()4)L0va-b0,b0)的最大值为4,贝UabB.(0,4C4,【解析】+oo)作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知,D.(4,+8)z=ax+by(a0,b0)过点A(1,1)时=4,.a0,b0,.ab(0,取最大值，-a+b=4,abv4.0,2,a-b=2y0,2,.点坐标(x+y,x-y),即点(a,b)满足约束条件x0,10.设动点P(x,y)在区域Q:yx,“+y4上，过点P任作直线l，设直线l与区域Q的

20、公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为71B.C.D.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知，以【答案】D1,若使z=ax+y取得最大值的最优解11.（2015东北三校联考）变量x,y满足约束条件xyA2,、3x+ya,一12.（2014新课标全国I卷）设x,y满足约束条件且z=x+ay的取小值为7,则a=（）|x-y-1,D. B.35或一3、土3+y=a*号曰T上【解析】法一:联立方程i解碍，代入x+ay=7中，解碍a=3或5,当alxV=1,|a+1Ly=2，=一5时，z=x+ay的最大值是7;当a=3时，z=x+ay的最小值是7.法二：先画

21、出可行域，然后根据图形结合选项求解.（1）（阴影部分）.当a=5时，作出不等式组表示的可行域，如图图(1)图(2)xy=一1,由得交点A(-3,2)，则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.Zmax=35X(-凶+y=52)=乙不满足题意，排除A,C选项.当a=3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分).xy=1,由0,13.若a0,时，恒有ax+by0,且当SyA0,，、x+y1兀d.【解析】因为ax+by1恒成立，则当1x=0时，byv1怛成里.，可碍y&(b丰0)恒成立，所以0vb1;同理00,14.(2013高考北京卷)设关于x,y的不等式组4x+m0满足x2y=2.求得

22、m的取值范围是()A(-8,3)B.3)pIoo一-I一oo一:CX3jD.1，3【解析】当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0,y0)满足x02y0=2,因此mv0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.r?r=2s+i要使可行域内包含y=；x1上的点，只需可行域边界点(一m,m)在直线y=；x1的下方即可，即m12vm1,解得mv3.【答案】C15.设不等式组x+y11A0,3xy+3A0,、5x3y+90表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，贝Ua的取值范围是()A.(1,3C.(1,2【解析】平面区域D如图所

23、示.B.2,3D.3,+8)要使指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，所以1va3.【解析】Ax+y-70,若圆心CQ,、y0.且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为()5B.2949【解析】由已知得平面区域MNP内部及边界.圆C与x轴相切，b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y-7=0的交点(6,1)处时,amax=6.-a2+b2的最大值为62+12=37.【解析】C在平面直角坐标系中，若不等式组Syx,表示一个三角形区域，则实数k的取值范围y1时，也可形成三角形，综上可知kv1或k1.【答案】Dx2y+1A0,（2016武邑中学期中）已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值为（

24、Jx|-y-1x（2016衡水中学期末）当变量x,y满足约束条件小+3y4时，z=x3y的最大值为8,贝U实数、xAmm的值是()A.-4B.3C.-2D.1【解析】又C（m,【答案】画出可行域如图所示，目标函数z=x-3y变形为y=x一：,当直线过点C时，z取到最大值,33m),所以8=m3m,解得m=4.A20.（2016湖州质检）已知O为坐标原点，A,B两点的坐标均满足不等式组x3y+K0,x+y-30,/AOB的最大值等于（）A.9431C.4D.2【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域,z+y-3=0观察图形可知当A为（1,2）,B为（2,1）时,1tanZAOB取碍取大值，此

25、时由于tana=kBO=,tankAO-5，/,一、tanB-tan也=2,故tanZAOB=tan(3由=1+tanana12一23141+2X【解析】C、填空题x+y2A0,21.（2014高考安徽卷）不等式组ix+2y-40【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知C1、，ABC=2X2X(2+2)=4.【答案】4x+2y40,22. （2014高考浙江卷）若实数x,y满足ix-y-10,则x+y的取值范围是.g1,【解析】作出可行域，如图，作直线x+y=0,向右上平移，过点B时，x+y取得最小值，过点A时取得最大值.由B(1,0),A(2,1)得(x+y)min=1,(

26、x+y)max=3.所以1x+y3.【答案】1,31,23. (2015重庆一诊)设变量x,y满足约束条件代+y-40,则目标函数z=3x-y的最大值为x-3y+40,则w=x2+y24x-4y+8的最小值为.1,【解析】目标函数w=x2+y24x4y+8=(x-2)2+(y2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x,y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，/aj7+l=0的最小值，|OM|min=由图可知，点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又所以Wmin=-.2x+3y60,y0,由题意知利润z=5x+3y,作出可行域如图

27、中阴影部分所示，3x+y13,2x+3y18,30-40.知FIS铲180x+y=50,I4x+3y=180,解得A(30,20).x+y50,4x+3y0,y0.A时，z取得最大值,求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x=3,y=4,即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元.【答案】27某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：仲量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万兀0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，则黄瓜的种植面积应为亩.【解析

28、】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，贝U目标函数为z=（0.55X4xx+y50,1.2x+0.9y0,y0,17020垢冲寝o画出可行域，如图所示.作出直线1:x+0.9y=0,向上平移至过点【答案】30x0,（2015日照调研）若A为不等式组史0,表示的平面区域，则当a从一2连续变化到1时，动、yx2-2=24=.x+2y-41时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是【解析】画可行域如图所示，设目标函数z=ax+y,即y=ax+z,要使10,数形结合知，满足即可，解得1va言.所以a的取值范围是1va0）取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为.【解析】由目标函数

29、z=kx+y（k0）取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx+y=0的倾斜角为120,于是有一k=tan120=一寸3,所以k=.3.【答案】，3yx,31. 设m1,在约束条件4yVmx,下，目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围h+y1【解析】变换目标函数为y=-x+号由于m1,所以-1-m。，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线v=mx+m在y轴上的截距最大时，目标函数,盅,所以目标函数的最大若目标函数z=x-y的最小值的取值范围是2,-1，贝U目/y-xzo-1123d5J取得最大值.显然在点A处取得最大值，由y=mx

30、,x+y=1,得A一1m2值zmax=B十赤2,所以m2mT。，解侍1-修m1+必故m的取值氾围正（1,1+的【答案】（1,1+羽）,已知实数x,y满足宇2x-1,、x+y4,（2013高考广东卷）给定区域D:x+y0.=x+y在D上取得最大值或最小值的点，贝UT中的点共确定条不同的直线.【解析】线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)，点(0,1)与(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)都

31、在直线x+y=4上，故T中的点共确定6条不同的直线.【答案】632. (2011湖北改编)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且ab.若x,y满足不等式|x|+|y|1,则z的取值范围为【解析】a=(x+z,3),b=(2,y-z),且aJ_b,ab=2(x+z)+3(y-z)=0,即2x+3y-z=0.又|x|+|y|0且有无穷多个点(x,y)使目标+y4A0函数z=x+my取得最小值，贝Um=.【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示.若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意.若m乒0,则目标函数z=x+my可看作斜率为一点的动直线V=一；x+篇，若mv0,则-；0,由数形结合知，使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个;若m0,则一m0,数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点（x,y）在线段AB上,使目标函数z=x+my取得最小值，即=-1,贝Um=1.m综上可知，m=1.【答案】1