线性代数必须熟记的结论

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1、5、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式;代数余子式的性质： 、州和aSj的大小无关； 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0；、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：Mij=(_1)jAjAij=(_1)ijMj4.设n行列式D:n(nJ)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Dt，则D1=(-1)2D;将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2=(-1)将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为Da，则D3二D；将D主副角线翻转后，所得行列式为5.行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的

2、乘积;副对角行列式：畐U对角元素的乘积上、下三角行列式(、二i|)n(n1)(-1)2;:主对角元素的乘积;n(nD2D;、匚和丄：副对角元素的乘积n(n丄)(-1)2;AOAC=|A|B|、CAOACBOBBOBC拉普拉斯展开式:=(-1)mnAB范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值；n上，其中Sk为k阶主子式;6.对于n阶行列式A，恒有：，E-An(-1)kSknk17.证明|A|=0的方法: 、|A|A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax二0,证明其有非零解; 、利用秩，证明r(A):n；、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：=A-0(是非奇异矩阵)；二r(A)=n

3、(是满秩矩阵)二A的行(列)向量组线性无关；=齐次方程组Ax=0有非零解；二bRn,Ax=b总有唯一解;二A与E等价；=二A可表示成若干个初等矩阵的乘积；二A的特征值全不为0；=ATA是正定矩阵；二A的行(列)向量组是Rn的一组基；2. =A是Rn中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A:AA=A*A二AE无条件恒成立；(A(A*)丄(A匕)T=(AT尸(A*)T=(AT)*3. (AB)T=Btat(AB)=BA(AB)=B-A-矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：Ai、若A=A一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准

4、形是唯一确定的：F二Er0OOmn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B)=A-B;行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r若(A,E)1-(E,X)，则A可逆，且X=A；c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A亠B，即：(A,B)-(E,AB)；需，则：、n、IAs丿A=A1AAs；么丄AoHaAsOB丄;(主对角分块)OBcB丄oAfIHv.=i丄A

5、o-BBO(副对角分块)一A丄CBB丄(拉普拉斯)(AOB行丄腐(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x=Ab；5.初等矩阵和对角矩阵的概念：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、，左乘矩阵A，打乘A的各行元素；右乘,i乘A的各列元素;(1、f1、对调两行或两列，符号E(i,j)，且e(i,j)1=E(i,j)，例如：1=1;91丿1R916.倍乘某行或某列，倍加某行或某列，矩阵秩的基本性质:、符号符号E(i(k)，且e(i(k)1二E(i，例如:E(ij(k

6、)，且E(ij(k)1工E(ij(-k)，如:0r(Amn)乞min(m,n)r(At)-r(A);若AB，则r(A)=r(B);1nkiM-k1=1b1丿(k=0)；(心0)；若P、Q可逆，则r(A)二r(PA)=r(AQ)二r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩7.、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(探)r(AB)r(A)-r(B);(探)r(AB)min(r(A),r(B);(探)如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB=0U:(探)B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论)；n、r(A)r(B)n若A、B均为n阶方阵，则r(AB)_r(A)r(B)-

7、n;三种特殊矩阵的方幕：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1a、型如01电0cb的矩阵：利用二项展开式;1丿二项展开式:(a+b)n=C：an+C：an+C：anmn-11n-1nnmmn-mbCnabCnbCnab；mzg注：1、(ab)n展开后有n1项;n、Cnmn(n-1)(n-m1)123二-m二n!C0二cm!(nm)!=1川、组合的性质：c；二亠m.mom4Cn+=Cn+5nrjCn=2rzSrrrCn二nCn4；、利用特征值和相似对角化:8.伴随矩阵：n、伴随矩阵的秩：1r(A*)=?1I0、伴随矩阵的特征值:凶（AX九、A*=AA-

8、、*An1=A-r(A)=nr(A)=n-1;r(A):n-1WX,A=AA1-A*X=-AX);9.关于A矩阵秩的描述： 、r（A）=n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;（两句话） 、r（A）:n，A中有n阶子式全部为0；10. 、r（A）_n，A中有n阶子式不为0;线性方程组：Ax=b，其中A为mn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；11. 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解；12. 、特解：自由变量赋初值后求得；由n个未知

9、数m个方程的方程组构成n元线性方程:卜1x1%x2a1nx=b1、a21x122禺2N2；ana12aa1nx1a21aa22a+a2nax2aLb2iam1am2amn丿宀丿鸟丿am1X!am2X2PnmXn=0、Ax=b（向量方程，A为mn矩阵，m个方程,n个未知数） f、X1x、a2an）2=0（全部按列分块，其中、a1x1a2x2亠亠a”.=7（线性表出）b2、有解的充要条件：r（A）=r（A,）_n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A:冷，2,，：m构成nm矩阵A=（冷，2,，：m）；m个n维行向量所组成的向量组mn矩阵B二含有有限个向量

10、的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示=Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）Ax=b是否有解；（线性方程组）二AX二B是否有解；（矩阵方程）2. 矩阵Am坊与B血行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；（R01例14）3. r（AtA）二r（A）；（例15）n维向量线性相关的几何意义： 、.笃线性相关0； 、:J:-线性相关屮：，卜坐标成比例或共线（平行）；4. 、二，,线性相关=共面；线性相关与无关的两套定理：若：1，:2，:s线性相关，则冷，：Q，:s1必线性相关；若:上，,亠线性无关，则1，2,，:s丄必

11、线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n_r个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）5. 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示=AX=B有解；=r（A）二r（a,B）（P85定理2）向量组A能由向量组B等价二r（A）=r（B）=r（A,B）（p85定理2推论）方阵A可逆二存在有限个初等矩阵P,

12、P2,，Pi，使A二RP2Pi；r、矩阵行等价：AB：=PA=B（左乘，P可逆）二Ax二0与Bx二0同解c 、矩阵列等价：a-B=AQ=B（右乘，Q可逆）；6. 、矩阵等价：AB=PAQ=B（P、Q可逆）；对于矩阵Amn与Bin: 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10若AmsBsn=Cmn，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；11. 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=

13、0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0只有零解=Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0定存在非零解；设向量组Bn注：b,b,，br可由向量组An述：a2,，线性表示为：（Rg题19结论）（b，d,br）=（a“a2,，as）K（B=AK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r（K）=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r=r（B）=r（AK）_r（K）,r（K）_r,.r（K）=r;充分性：反证法）注：当r二s时，K为方阵，可当作定理使用；13、对矩阵Amn，存在Qnm，AQ=E皿=r（A）=m、Q的列向量线性无关；（

14、P87）、对矩阵Amn，存在Pnm，PA二E.=（A）二n、P的行向量线性无关；14冷，：2,，:s线性相关二存在一组不全为0的数ki,k2,，ks，使得kcik2门人二=0成立；（定义）Xi二（ggYOts）2=0有非零解，即Ax=0有非零解；二r（,：2，:s）s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；16.15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r（S）=n-r；若*为Ax=b的一个解，1,2,，仃为AX=0的一个基础解系，则*,2，仃线性无关;5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵=ATA二E或A丄工At（定义），性质:fl、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即a

15、Ta0、若A为正交矩阵，则A1=At也为正交阵，且A=1；2.、若A、B正交阵，则AB也是正交阵;注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化：（a-a2,，ab二a1；3.5.6.7.b2=a2施密特正交化和单位化；b,ap,a-b卑2b,bb2,b2Prar一brA；Pr丄,Pr丄对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；A经过初等变换得到B；PAQ=B，P、Q可逆；r（A）=r（B），A、B同型；CTAC=B，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;P1AP二B；br=ar、A与B等价、A与B合同、A与B相似4.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CtAC=B=aA为对称阵，则A为二次型矩阵；n元二次型xTAx为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0；-B,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；使CTAC=aii0,A0；（必要条件）