线性代数须熟记的结论

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1、1. 1、行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；代数余子式的性质： 、Aj和aj的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；2. 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；代数余子式和余子式的关系：皿=（_1厂人A”二（_1）ijMj设n行列式D:n（n1）3. 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Di，则Di=（_1）2D；n（n_1）将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2=（_1）Fd；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3二D；将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D；行列式的重要公式

2、：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n（n 、副对角行列式：副对角元素的乘积（一1）于；、上、下三角行列式（、二i）:主对角元素的乘积;n（n卫、厂和丄：副对角元素的乘积（_1）F；AOAC=A|B、CACB一0BB0_、拉普拉斯展开式:OBAC=(_1)m-AB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;对于n阶行列式A，恒有：_A=J（_1）0心，其中Sk为k阶主子式;k-X4. 证明A=0的方法：、A=-A；、反证法;、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解;、利用秩，证明r（A）、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：=A-0（是非奇异矩阵）；二r（A）二n（是满秩矩

3、阵）二A的行（列）向量组线性无关;二齐次方程组Ax=0有非零解;=bR,Ax=b总有唯一解；=A与E等价；二A可表示成若干个初等矩阵的乘积；=A的特征值全不为0；二ata是正定矩阵；二A的行（列）向量组是Rn的一组基;=A是Rn中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A:AA*=A*A=AE无条件恒成立；(A丄)*=(A*)丄(A丄)T=(AT)-(A*)T=：(AT)*TTT*111(AB)=BA(AB)=BA(AB)一=B-A-4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:A=AJA2As.24.1A一二OBAo1.一个Er

4、FOA1A2丄A丄乙。OA丄A丄。二B-Bmn矩阵AOOnAs丄；（主对角分块）；（副对角分块）-A丄CB丄B1；（拉普拉斯）；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与形状最简单的矩阵;A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B)=A_-B；2行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1；3. 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A,E)_(E,X)，则A可逆，且X=A-； 、

5、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A丄B，即:(A,B)1(E,A丄B)；4. 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax.b，如果(A,b)；(E,x)，则A可逆，且x=A；初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;,左乘矩阵A,.乘A的各行元素；右乘,，i乘A的各列元素;、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)-=E(i,j)，例如:f1、1(11=111JJ、倍乘某行或某列，符号E(i(k),1丿9、倍加某仟k、1-k1=1E(ij(-k),5.矩阵秩的基本性质:、0_r(Amn)_min(m,

6、n)；、r(AT)=r(A)；若A_B，贝卩r(A)=r(B)；若P、Q可逆，贝卩r(A)=r(PA)=.r(AQ)=r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)-r(B)r(A)+r(B)_n；6.三种特殊矩阵的方幕：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)再采用结合律；彳00、型如的矩阵：利用二项展开式;的形式,n_mCnam_0-rCCfII*n0n1n11mnm一项展开式：(a+b)=5a十aF半+Cnab7.注：I、(ab)n展开后有n1项；ttCmW1)(nm+1)n!心_C”CnCnCnI1宰、璽m!(nm)!皿、组合

7、的性质：Cn二c：mCn11=Cn-Cnn-rnLCn=2r-QrCr1二nCn丄；、利用特征值和相似对角化:伴随矩阵：r(A)=nr(A)=n-1；r(A):n-1fn、伴随矩阵的秩：r(A*)二1I。、伴随矩阵的特征值:(AX、8.二A关于A矩阵秩的描述：、r(A)=n，r(A):：:n，r(A)_n，9.A中有n阶子式不为0,n.1阶子式全部为0；A中有n阶子式全部为0；A中有n阶子式不为0；Ax=b，其中A为mn矩阵，贝卩：Ax=b有m个方程；Ax=b为n元方程;线性方程组：、m与方程的个数相同，即方程组、n与方程组得未知数个数相同，方程组(两句话)10. 线性方程组Axb的求解： 、

8、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解；11. 、特解：自由变量赋初值后求得;由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a21X1亠a22x2，亠a2nXn=b2；、；11Xi亠aa122亠-亠anmXn二bn、未知数）、a21ama22bma1X1亠a2X2=Ax=b（向量方程，A为mxn矩阵，m个方程,amnan亠-亠a.Xn（线性表出）=一：（全部按列分块，其中、有解的充要条件：r（A）=r（A,n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m个n维列向量所组成的向量组A:W2,J构成nm矩阵A=（、，,m）；m个n维行向量所组成的

9、向量组B:胃，関，0m构成mXn矩阵B=；2. 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量组的线性相关、无关二Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Ax=b是否有解；（线性方程组）3. 、向量组的相互线性表示AX=B是否有解；（矩阵方程）矩阵Amn与Bin行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AX=0和BX=0同解;（P101例14）r（ATA）=r（A）；（為例15）n维向量线性相关的几何意义： 、：线性相关0； 、线性相关u:坐标成比例或共线（平行）；4. 、:,1,线性相关u:,-,共面；线性相关与无关的两套定理：若1，2,s线性相关，则1，2,s，s1必线性

10、相关;若：1,3,，一二线性无关，则：1,一：2，,一：乂丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n_r个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)5. 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则r_s(二版P74定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A小r(B)；(P86定理3)向量组A能由向量组B线性表示二AX=B有解；二r(A)二r(A,B)(P&5定理2)6. 向量组A能由向量组B等价二r(A)=r(B

11、)=r(A,B)(P*5定理2推论)方阵A可逆=存在有限个初等矩阵Pi,P2,Pi，使A=pP2p； 、矩阵行等价：AB=PA=B(左乘，P可逆)二Ax=0与Bx=0同解 、矩阵列等价：AB二AQ=B(右乘，Q可逆)；7. 、矩阵等价：AB：=PAQ二B(P、Q可逆)；对于矩阵Amn与Bin: 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；8. 、矩阵A的行秩等于列秩；若AmsBsn-Cmn，贝 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；9. 、C的行向量组能由

12、B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0只有零解=Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx0一定存在非零解；设向量组Bnr:bi,b2,b可由向量组Ans：a,a2,线性表示为：(Pi10题19结论)(bi,b2,br)=(a2,a$)K(B=AK)其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关=r(K)=r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：幕r=r(B)=r(AK)(K),r(K),.r(K)=r；充分性：反证法)10. 注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；、对矩阵A

13、mn，存在Qnm,AQE_mr(A)=m、Q的列向量线性无关；(P87)11. 、对矩阵Amn，存在Pnm,PA二En=r(A)=n、P的行向量线性无关；W,s线性相关二存在一组不全为0的数k1,k2,ks，使得k1k2=0成立；(定义)iX1:U&18a）X2Lo有非零解，即Ax=o有非零解;系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=n_r； 16.若*为Axb的一个解，i,2,，n丄为Ax=0的一个基础解系，关；（Pm题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵二ATA二E或A1=AT（定义），性质：、A的列向量都是

14、单位向量，且两两正交，即a：aj=11、若A为正交矩阵，则A“二At也为正交阵，且A=1；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；则*,1,2，,nr线性无i,j(i,jn)；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：（a1,a?,ab1=a1；b2a2bmb1br=arbr丄,abr丄,br丿对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、A与B等价A经过初等变换得到B；：二PAQ=B，P、Q可逆；Ur（A）=r（B），A、B同型；、A与B合同-CTAC二B，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；3. 、A与B相似二P丄AP=B；相似一定合同、合同未必相似；4. 若C为正交矩阵，则ctac=b=a_b,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；A为对称阵，则A为二次型矩阵；n元二次型xTAx为正定：A的正惯性指数为n；=A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC二E；二A的所有特征值均为正数；UA的各阶顺序主子式均大于0；=a“.0,A.0；（必要条件）