线性代数复习提纲(一天就过)

《线性代数复习提纲(一天就过)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数复习提纲(一天就过)（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化

2、，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用nA2个元素aij组成的记号称为n阶行列式（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算阶|a|=a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；2）行列式值为0的几种情况：I行

3、列式某行（列）元素全为0;n行列式某行（列）的对应元素相同；川行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵如单位1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kAn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零

4、行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)A-1=(BA-1)*(AA-1)，(A)A-1=(AA-1)；（AB的逆矩阵，你懂的）（注意顺序）（3）可逆的条件：|A|工0;r（A）=n;A-l;（4）逆的求解伴随矩阵法AA-1=（1/|A|）A*;（A*A的伴随矩阵）初等变换法（A:l）-（施行初等变换）（I:AA-1）5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（AA-1）B；XB=A，贝yX=B(AA

5、-1)；AXB=C，则X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：r(A,b)工无解;r(A,b)=r(A)=n有唯一解；r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0r(A)=n只有零解；r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，|A|工只有零解|A|=0有非零解2齐次线性方程组(1)解的情况：r(A)=n,(或系数行列式Dz0)只有零解；r(A)=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况上

6、、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；2）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；n行列式某行（列）的对应元素相同；川行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；|kA|=kAn|A|3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;（2

7、）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）;性质：(AB)A-1=(BA-1)*(AA-1),(A/-1=(人八-1)(AB的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件： |A|工0;r(A)=n;A-l;(4)逆的求解伴随矩阵法AA-1=(1/|A|)A*；(A*A的伴随矩阵)初等变换法(A:l)-(施行初等变换)(I:AA-1

8、)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=(AA-1)B；XB=A，则X=B(AA-1)；AXB=C，则X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：r(A,b)工无解;r(A,b)=r(A)=n有唯一解；r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0r(A)=n只有零解；r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，(1)|A|工只有零解|A|=0有非零解2齐次线性方程组(1)解的情况：r(A)=n,(或系数行列式Dz0)只有零解；r(A)vn,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。(2)解的结构：X=c1a1+c2a2Cn-ran。(3)求解的方法

9、和步骤： 将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数;表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c1a1+c2a2Cn-ran。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）四、向量组1N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积aB=a1b1+a2b2+anbn;（3）向量长度|a|=Vaa=V（a1A2+a2A2+anA2）号

10、）V（4）向量单位化（1/|a|）；a（5）向量组的正交化（施密特方法）设al,a2，an线性无关，则B2=a2(a2B1/1*祁1,B3=a3(a311/11*11-(a312/12*12。3线性组合(1) 定义若1=k1a1+k2a2+knan,则称1是向量组al,a2，an的一个线性组合，或称1可以用向量组al,a2，an的一个线性表示。(2) 判别方法将向量组合成矩阵，记A=(a1a2,，an,B=(al,a2,，an,1)若r(A)=r(B)，贝U1可以用向量组al,a2,，an的一个线性表示；若r(A)Zr(B),贝U1不可以用向量组al,a2，an的一个线性表示。3）求线性表示表

11、达式的方法：则最后一列元将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，素就是表示的系数。4向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设k1a1+k2a2knan=0,若k1,k2,kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,，kn全为0，称线性无关。（2）判别方法：r（a,a2，an）n，线性相关；r（a,a2,an）=n,线性无关。若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij=0，线性相关（工0无关）（行列式太不好打了）5极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A=（a1a2,，an）将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的

12、向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1.定义对方阵A，若存在非零向量X和数入使AX=入X则称入是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值入的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入-A|=0的根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组（入I）X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量3重要结论：（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。1. 六、矩阵的相似定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P,使PA-1AP=B,则称A与B相似。2. 求A与对角矩阵人相似的方法与步骤（求P和A

13、）:求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为人。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1.定义n元二次多项式f（x1,x2,，xn）=刀aijxixj称为二次型,若aij=0（i工j）则称为二交型的标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q,QA-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件： A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;