数学建模优化程序设计与数学原理的综合运用

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1、数学建模优化程序设计与数学原理的综合运用摘要：从符号与数值的转化、同余映射中的周期长度及分阶段执行程序等3个方面，以实际例子研究了如何在理论中运用数学原理来优化程序设计、节约运行时间，到达利于解决数学建模问题的目的。关键词：数学建模；优化程序设计；数学原理ptiizingandintegratingprgradesigningandatheatialpriniplesinatheatisdelingangFulaiZhejianguniversityffinaneandenis,Hangzhu,310018,hinaAbstrat:iththreeexaplesftransfratinfrsy

2、blstnubers,peridilengthsfngrueneandperfraneinsteps,ptiizatinprgradesigningbyintegratingatheatialpriniplesisstudiedtsaveruntieandslveprblesinatheatialdeling.Keyrds:atheatialdeling;ptiizatinfprgradesigning;atheatialpriniple数学建模中程序设计与数学原理的综合运用往往直接涉及理论中目的能否实现。数学建模中经常涉及程序的编制,假设程序的编制过于复杂,往往会使系统运行时间过长,甚至无法

3、运行,严重阻碍数学建模问题的解决。其中一个主要的原因是程序设计中没有尽量考虑用数学原理来优化程序,使程序得到简化、优化。笔者分别从3个方面来阐述如何用数学原理优化程序设计：(1)通过符号与数值的转化以有效确定序列的大小及间隔 ；(2)根据数论知识解决同余映射中周期长度对初值的依赖性；(3)分阶段执行程序以验证程序的灵敏性或系统的稳定性。1用数学原理优化程序设计的几种方法1.1比较子序列大小的问题我们知道数学模型中经常要处理一些符号问题。如在Lrenz映射中,人们为了计算复杂度、排列熵等指数,经常利用符号动力学方法得到一列符号数据,这时往往需要比较子序列的大校它的比较方式是,任给两个符号序列,它

4、们的大小排序为：(1)这里,为两个符号序列的公共字头。这个比较在程序设计时是较为方便的,假设把它们先转化为二进制数据那么更能节省时间。但另一些情况下就不会这么简单。例如,投掷硬币实验出现正面、反面,得到一个随机序列,如001011101,假设简单地把符号与十进制或二进制数值等同,这是没有意义的。但在数学建模中有时我们仍然可利用符号与数值的转化关系到达优化程序设计的目的。为了计算两个点与间的间隔 ,一般的文献采用如下两种间隔 定义方式：(1)(2)这里,间隔 表示当与的第n个符号出现不同时。(2),(3)这里,以上两个式子都说明,两个符号序列,如与,前面符号重复得越多,那么两个序列之间的间隔 越

5、近。但假设按照这种间隔 公式直接比较两个子序列的每个符号,那么会占用太多的计算机机时,甚至是不可能完成的。如今我们采用下面的数学处理方法,那么会兼顾到这两方面,即既可以保存原来的顺序关系,又可以在程序上(用atlab语言)节约计算机机时。方法是：Step1：用nu2str()函数把符号串转为字符串,如nu2str(1010)1010,等式右边的1010不再是符号而是二进制字符串。Step2：用bin2de()函数将Step1中的二进制数据，设为转化为十进制的数据。Step3：为了归一化,引入函数将Step2中的十进制数据转化为,令。它的数学原理是：原来的序列,如,虽然它们之间并无顺序关系,但赋

6、予了顺序关系后,并不阻碍原来的间隔 关系。这样就利于程序执行了,显然这种方法可以大量节约程序的机时。1.2同余映射中周期长度的问题密码学中经常用同余映射(4)来模拟同余映射(5),以获得类似于(4)的混沌轨道：(4)(5)同余映射(5)在时为混沌映射,且李雅普诺夫指数为。称作密钥。对每一个特定的数字混沌映射,都需要利用数论和遍历性理论等专门的数字工具进展独立的研究。例如,对于映射(4),当且时周期获得最小值；当为素数且z为一个乘法群的生成元时,获得最大值；而当为其他数时,的典型值为多少却不得而知。事实上,当分别取(37,6,3989)，(37,29,3989),(37,2,3989)时,得到的

7、最长周期的轨道长分别为997,1994,3998,而不是都为。因此用文献3,4的方法生成的周期轨道有时不够长,周期轨道长度变化较大,这是生成伪随机序列的主要缺点。另一方面,越大,那么素数分布的密度越校这往往使获得相当大,而这使得计算机达不到要求,某些程序无法执行,也使得作为参数空间的密钥非常有限,给通信密码造成不利。事实上在程序编制时,只要参加一些数学思想那么可以完全防止这个问题,即使得对任意模为(为素数,)的同余映射(4)都可以构造出相应的长度为的不稳定周期轨道。详细步骤是：Step1：对任意素数和任意整数,任取,由(4)生成集合；Step2：假设,那么已实现目的；否那么取中的最小数作为,回

8、到Step1。设由Eq.4生成集合为。Step3：重复执行Step1和Step2直到第步产生的集合,那么的长度必为。上述步骤的数学原理是：的任两个集合必不相交,因为否那么由数论中的同余理论,这两个集合是一样的,这与Step1与Step2的设置相矛盾。1.3分阶段执行程序执行一个复杂的程序(为表达方便,这里称为总程序)时,往往需要更改其中的参数空间的一个或几个参数反复运行,以检测系统的稳定性、模型的灵敏性或数据的某些特征。这时会遇到两种情况：(1)有些程序的子模块是不变的,反复运行是没有必要的,占据了较多计算机机时；(2)里面有随机生成函数,每次运行它都会自动生成新的数据,而更改的参数又需要在与

9、前一次不变的随机数下运行,这就达不到检验的目的。解决这两个问题的最好方法是分阶段执行程序,即分两个或多个子程序执行,详细来说,分下面两个步骤：Step1：将只生成数据而不需要更改参数的子程序(一般是总程序的前部分,记为Prgra)单独执行；将生成的变量保存起来,如将生成的数据集合设为A,再将A保存到某个根目录下,语句是：save(E:ydata1.at,A)。当然有多个数据集合,可保存屡次。Step2：另编辑一个程序,在程序的开头用语句lad(E:ydata1.at)将Prgra中的变量下载,并将总程序的其余部分置于其后。这样的形成的程序记为Prgra。于是要更改参数,那么只需要更改Prgra

10、中的参数就可以。2完毕语通过实例说明了编制程序要考虑到理论中可行性问题。这方面的例子还可以参考笔者的文章5。在详细的建模中要养成将数学原理运用到程序设计中去的思维习惯,不仅可节约时间,使程序可以运行,同时也进步了程序的质量,利于修改和进一步编辑,以到达理论的目的。参考文献1罗卫民,李昌兴,史克刚.数学实验与数学建模课程教学改革J.高等工程教育研究,2022,6：1101122李国斌.微分方程解实际问题的讨论J.高等教育研究,2022,24(2)：62633SnhezS,riadR.andVega.Ageneratrfpserd-randnuberssequenesithaverylngperid.atheatialandputerdeling.2022,42(7)：8098164王蕾,汪芙平,王赞基.一种新型的混沌伪随机数发生器J.物理学报,2022,55：396439755angFulai2022DeteriningnseutiveperidsftheLrenzaps.AdvanesinDiffereneEquatins.Di:10.1155/2022/985982ArtileID985982.