几何图形中的最值问题

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1、几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:1.函数:二次函数有最大值和最小值；一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2.不等式: 如x7，最大值是7；如x5，最小值是5.3.几何图形： 两点之间线段线段最短。直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。解: 作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。 CD=BC

2、=8,DM=2, MC=6,在RtBCM中,BM=10,DN+MN的最小值是10。例2，已知，MN是O直径上，MN=2,点A在O上，AMN=300,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是 解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。 连OB，OA/,AMN=300,B是弧AN的中点，BOA/=300, 根据对称性可知NOA/=600, MOA/=900,在RtA/BO中，OA/=OB=1,A/B= 即PA+PB=例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。

3、解:作点E关于直线y=x的对称点M，连MD交直线y=x于P，连PE，则PE+PD最短；即PE+PD=MD。E(-1,-4), M(-4,-1),过M作MNx轴的直线交过D作DNy轴的直线于N，则MNND, 又D(1,-3),则N(1,-1), 在RtMND中,MN=5,ND=2, MD=。 最小值是。练习1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm【答案】15。【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12

4、的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知APPC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。2.正方形ABCD边长是4，DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是 解：过点D作DFAC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值正方形ABCD的边长是4，AD=4，DAC=45，在直角ADF中，AF

5、D=90，DAF=45，AD=4，DF=ADsin45=4=2故答案为23.（2009陕西）如图，在锐角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM MN的最小值是_解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上，且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。在RtAHB/中，B/AH45，AB/=4，B/H=4,BM MN的最小值是4.4.如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ，解：四边形ABCD是菱形，ADBC，A=120，B=180A=1

6、80120=60，作点P关于直线BD的对称点P，连接P/Q，PC，则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知， 当点Q与点C重合，CP/AB时PK+QK的值最小，在RtBCP/中，BC=AB=2，B=60，CP/=BCsinB=2=5. (2012兰州)如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为【 】A130 B120 C110 D100解：作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AH，EAB120，HAA60，AAMAHAA60，MAAMAA，

7、NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120，故选：B6. （2011贵港）如图所示，在边长为2的正ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是 解：要使PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，连接AG交EF于M，等边ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，AGBC，EFBC，AGEF，AM=MG，A、G关于EF对称，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即PBG的周长最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+B

8、E+BG=AB+BG=2+1=3故答案为：37.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A的坐标是（9，0），tanBOA=，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，RtOAB的顶点A的坐标为（9，0），OA=9，tanBOA=AB=3，B=60，AOB=30，OB=2AB=6由三角形面积公式得：SOAB=OAAB=OBAM，即93=6AM，AM=，AD=2=9，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA

9、=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（2，0），CN=92=，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=即PA+PC的最小值是，8.（2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一动点，则PAC周长的最小值为（）解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=，AD=2=3，AMB=90

10、，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0），CN=3=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即PAC周长的最小值为+，9.（2013徐州模拟.仿真一）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是（0，0），（20，0）（20，10）。在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是（ ）解：如图，作点B关于AC的对称点B，过点B作BNOB于N，BN交AC于M，则BN=BM+MN=BM+MN，BN的长就是BM+MN的最小值连接OB，交DC于P四边形ABCD是矩形，DCA

11、B，BAC=PCA，点B关于AC的对称点是B，PAC=BAC，PAC=PCA，PA=PC令PA=x，则PC=x，PD=20-x在RtADP中，PA2=PD2+AD2，x2=（20-x）2+102，x=12.5cosBON=cosOPD，ON：OB=DP：OP，ON：20=7.5：12.5，ON=12tanMON=tanOCD，MN：ON=OD：CD，MN：12=10：20，MN=6点M的坐标是（12，6）故答案为（12，6）10.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值，求最小值。解：如图，作点B关于直线AC的对称点B，交AC与E，连

12、接BM，过B作BGAB于G，交AC于F，由对称性可知，BM+MN=BM+MNBG，当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10，点B与点B关于AC对称，BEAC，SABC=ACBE=ABBC，得BE=4 ，BB=2BE=8因BBG+CBE=ACB+CBE=90，则BBG=ACB，又BGB=ABC=90，得BGBABC，BG=16，故BM+MN的最小值是16cm故答案为：16cm11.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM+PN的最小值是解:作点N关于BD的对称点N，交AD与N/，连接N/M，则N/M=AB最短。故答案

13、为：MN/=10cm12.（仿真六）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点P是BD上的一个动点（P与B、D不重合）（1）求证：APBCPB；（2）设折线EPC的长为y，求y的最小值，并说明点P此时的位置解：AE=,BD=2,可证BP=BD,BP=,距B点。13.如图，ABC是等腰直角三角形，C=900，BC=2，B是三角形的角的平分线，点E、F是BD和BC上的动点，则CE+EF的最小值解：作C关于BD的对称点C/,过C/作C/FBC于F，则CE+EF的最小值是C/F。C/FAC，C/F=2, CE+EF的最小值是2.14.如图，已知梯形ABCD中，ADBC,AD=DC=4,BC=8,N中

14、BC上，CN=2,E是BC的中点，M是AC上的一个动点，则EM+MN的最小值解：作N点关于AC的对称点N，连接NE交AC于MDAC=ACB，DAC=DCA，ACB=DCA，点N关于AC对称点N在CD上，CN=CN=2，又DC=4，EN为梯形的中位线，EN=（AD+BC）=6，EM+MN最小值为：EN=616.已知等腰梯形ABCD，ADBC,AB=DC,AC平分BCD,BAAC,若AC=4,P、M、N分别是AC、AD、DC上的任意一点，则PM+PN的最小值解：作点N关于AC的对称点N/,过N/作BC的垂线交AD于M,MN/交AC于点P，则MN最短是夹在AD与BC间的垂线段最短。可知B=600,在

15、RtABC中，AC=4，则AB=4.在RtABH中，AH=sin6004=4=2.即PM+PN的最小值是2。二，最大值问题知识点:求的最大值；A,B在直线l的同侧.A,B在直线l的两侧.1.两点A,B在直线MN外的同侧，点A到MN的距离AC=8，点B到MN的距离BD=5,CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值是 。解：延长AB交L于点P，P/A-P/B=AB，由三角形三边关系可知AB|PA-PB|，AB|PA-PB|，当点P运动到P点时，|PA-PB|最大，BD=5，CD=4，AC=8，过点B作BEAC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，AB2= AE2+BE2=16+9=25

16、AB=5|PA-PB|=5为最大 故答案为：52.已知在ABC中，AB=3,AC=2,以BC为边的BCP是等边，求AB的最大值和最小值。解:将PAC绕P点逆时针旋转600得到PBA/,则AA/=AP A/B=AC,APA/=600,可得到等边三角形AA/P.AB=3,AC=A/B=2,则AA/：AB-A/BAA/AB+A/B即1AA/5,故AP的最大值是5，最小值是1.3.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为2 2，最小值为 解：连接AC、DP， S正方形ABCD=11=1，由勾股定理得：AC=AB=1，1APSDPC=SAPC=APCC，1=S正方形ABCD=SABP+SADP+SDPC=AP（BB+DD+CC），AP=1/BB+DD+CC1AP,即AP，1/BB+DD+CC（如）BB+CC+DD2，故答案为：2，3