平面的基本性质与推论学习教案

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1、平面的基本平面的基本(jbn)性质与推论性质与推论第一页，共27页。一平面一平面(pngmin)的基本性质：的基本性质： 1公理公理1：文字语言：如果一条直线上的两点在文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面一个平面(pngmin)内，那么这条直线内，那么这条直线上的所有点都在这个平面上的所有点都在这个平面(pngmin)内内 ；图形图形(txng)语语言：言：符号语言：符号语言：Al；Bl，A，B AB . 第1页/共27页第二页，共27页。练习练习(linx)：（1）AB 。AB（2）,lAl 。A公理公理(gngl)1的作用有两个：（的作用有两个：（1）作为判断）作为判断和证明直线是否在

2、平面内的依据，即只需要和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；看直线上是否有两个点在平面内就可以了；第2页/共27页第三页，共27页。（2）公理）公理1可以用来检验某一个面是否为平面可以用来检验某一个面是否为平面(pngmin)，检验的方法为：把一条直线在面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面在面内，则该面为平面(pngmin)。第3页/共27页第四页，共27页。2公理公理2：文字语言：经过不在同一条直线上的三点文字语言：经过不在同一条直线上的三点(sn din)，

3、有且只有一个平面，也可以说成，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点不共线的三点(sn din)确定一个平面。确定一个平面。图形图形(txng)语言：语言：符号语言：符号语言：A、B、C三点三点(sn din)不不共线，有且只有一个平面共线，有且只有一个平面，使得，使得A，B， C.确定一平面不共线CBACBA,第4页/共27页第五页，共27页。如何理解公理如何理解公理2？公理公理2是确定平面的条件是确定平面的条件. 深刻理解深刻理解“有且只有有且只有”的含义，这里的的含义，这里的“有有”是说平面存在，是说平面存在，“只有只有”是说平面惟一，是说平面惟一，“有且只有有且只有”强调强调(qin

4、g dio)平面存在并且平面存在并且惟一这两方面惟一这两方面.第5页/共27页第六页，共27页。公理公理2的作用的作用(zuyng)有两个：有两个：（1）确定）确定(qudng)平面平面（2）证明点、线共面）证明点、线共面第6页/共27页第七页，共27页。3. 公理公理3：文字文字(wnz)语言：如果不重合的两个平语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线过这个点的公共直线.图形图形(txng)语言：语言：符号语言符号语言：Pl.P()=l第7页/共27页第八页，共27页。如何理解公理如何理解公理3？(1) 公理公理3反映

5、了平面与平面的位置关系，只要反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点两面共一点(y din)”，就有，就有“两面共一线，两面共一线，且过这一点且过这一点(y din)，线惟一，线惟一”.(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线交集是一条直线.第8页/共27页第九页，共27页。(3) 公理公理3的作用的作用: 其一判定两个平面是否相交其一判定两个平面是否相交; 其二可以其二可以(ky)判定点在直线上判定点在直线上. 点是点是某两个平面的公共点，线是这两

6、个平面的某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据且作为画截面的依据.第9页/共27页第十页，共27页。二二. 平面基本性质平面基本性质(xngzh)的的推论推论 文字语言文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点：经过一条直线和直线外的一点(y din)，有且只有一个平面，有且只有一个平面. 图形图形(txng)语言：语言： 符号语言：符号语言： a与与A共属于平面共属于平面且平面且平面惟一惟一 .（1）推论推论1： a是任意一条直线是任意一条直线 点点A a 第10页/共

7、27页第十一页，共27页。（2）推论）推论(tuln)2： 文字语言文字语言 :经过两条相交经过两条相交(xingjio)直线，有且直线，有且只有一个平面只有一个平面. 图形图形(txng)语言：语言： 符号语言：符号语言： a，b共面于平面共面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .b是任意一条直线是任意一条直线 a是任意一条直线是任意一条直线 ab=A第11页/共27页第十二页，共27页。（2）推论）推论(tuln)3： 文字语言文字语言(yyn) :经过两条平行直线，有经过两条平行直线，有且只有一个平面且只有一个平面. 图形图形(txng)语言：语言： 符号语言：符号语言： a，b共面于平面共

8、面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .a，b是两条直线是两条直线 a/b第12页/共27页第十三页，共27页。m图图2l三、异面直线三、异面直线(zhxin)lmP图图1从图中可见，直线从图中可见，直线 l 与与 m 既不相交，既不相交，也不平行也不平行(pngxng)。空间中直线之。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。间的这种关系称为异面直线。第13页/共27页第十四页，共27页。不同在任何一个平面不同在任何一个平面(pngmin)内的两条直线内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）线）1、异面直线、异面直线(zhxin)判断判断(pn

9、dun)：(1)图中直线图中直线m和和l是异面直线吗是异面直线吗?lmml(2) ,则则a与与b是异面直线吗？是异面直线吗？,ab(3) a,b不同在平面不同在平面内内,则则a与与b是异面吗？是异面吗？第14页/共27页第十五页，共27页。异面直线异面直线(zhxin)的画法的画法: 通常用一个或两个平面来衬托通常用一个或两个平面来衬托, 异面异面直线不同在任何直线不同在任何(rnh)一个平面的特点一个平面的特点.ababab第15页/共27页第十六页，共27页。直线和平面位置关系直线和平面位置关系(gun x)的符号表示的符号表示. （1）点）点A在平面在平面内，记作内，记作A，点，点B不不

10、在平面在平面内，记作内，记作B ；（2）直线）直线l在平面在平面内，记作内，记作l ，直线，直线m不在平面不在平面内，记作内，记作m ；（3）平面）平面与平面与平面相交相交(xingjio)于直线于直线l，记，记作作=l；（4）直线）直线(zhxin)l和和m相交于点相交于点A，记作，记作lm=A,简记为简记为lm=A.第16页/共27页第十七页，共27页。例例1如图，平面如图，平面ABEF记作记作，平面，平面ABCD记作记作，根据图形，根据图形(txng)填写：填写：（1）A，B ，E ， C ，D ；（2）A，B ，C ， D ，E ，F ；（3）= ；AB第17页/共27页第十八页，共2

11、7页。例例2如图中如图中ABC，若，若AB、BC 在平面在平面内，内，判断判断(pndun)AC 是否在平面是否在平面内？内？解：解： AB在平面在平面内，内， A点一定点一定(ydng)在平面在平面内，又内，又BC在平面在平面内，内， C点一定点一定(ydng)在平面在平面内，内， ( 点点A、点点C都在平面都在平面内，内，) 直线直线AC 在平面在平面内内（公理（公理1）. 第18页/共27页第十九页，共27页。例例3（1）不共面的四点可以确定几个平）不共面的四点可以确定几个平面？面？（2）三条直线两两平行）三条直线两两平行(pngxng)，但不，但不共面，它们可以确定几个平面？共面，它们

12、可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？）共点的三条直线可以确定几个平面？4个个3个个1个或个或3个个第19页/共27页第二十页，共27页。例例4如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别分别(fnbi)为为CC1和和AA1上的中点，画出上的中点，画出平面平面BED1F与平面与平面ABCD的交线的交线.解：在平面解：在平面AA1D1D 内，内，延长延长D1F， D1F与与DA不平行，因此不平行，因此(ync)D1F与与DA 必相交于一点，设必相交于一点，设为为P， P第20页/共27页第二十一页，共27页。FEABCC1B1D1A1DP又又D1F 平

13、面平面BED1F，P在平面在平面BED1F内内. 则则PD1F，PDA ，AD 平面平面ABCD，P平面平面ABCD， 又又B为平面为平面(pngmin)ABCD与平与平面面(pngmin)BED1F的的公共点，公共点，连结连结PB，PB 即为平即为平面面(pngmin)BED1F 与与平面平面(pngmin)ABCD的交线的交线. 第21页/共27页第二十二页，共27页。第22页/共27页第二十三页，共27页。例例5. 如图所示，已知如图所示，已知ABC的三个顶点都不在的三个顶点都不在平面平面内，它的三边内，它的三边AB、BC、AC延长线后分延长线后分别交平面别交平面于点于点P、Q、R，求证

14、：点求证：点P、Q、R在同一条在同一条(y tio)直线上直线上.证明证明(zhngmng)：由已知：由已知AB的延长线交平面的延长线交平面于点于点P，根据公理根据公理3，平面，平面ABC与平与平面面必相交于一条直线，设必相交于一条直线，设为为l，第23页/共27页第二十四页，共27页。 P直线直线(zhxin)AB，P面面ABC，又，又直线直线(zhxin)AB面面=P， P面面. P是面是面ABC与面与面的公共的公共(gnggng)点，点， 面面ABC面面=l，Pl， 同理，同理，Ql，Rl， 点点P、Q、R在同一条在同一条(y tio)直线直线l上上. 第24页/共27页第二十五页，共27页。第25页/共27页第二十六页，共27页。作业作业(zuy)(zuy)： P38 P38 练习练习A 6A 6 练习练习B 6B 6、7 7第26页/共27页第二十七页，共27页。