平面向量的概念加减法运算学习教案

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1、平面向量平面向量(xingling)的概念加减法运算的概念加减法运算第一页，共38页。一、向量一、向量(xingling)(xingling)的定义的定义既有大小既有大小(dxio)，又有方向的量叫做向量。，又有方向的量叫做向量。二二 、向量、向量(xingling)的表示方法的表示方法有向线段有向线段 （ 起点、起点、 ）1 几何表示法：几何表示法： a ，b2 字母表示法：字母表示法：ABB（终点）A（起点） 方向方向、长度长度第1页/共38页第二页，共38页。单位单位(dnwi)向量向量-长度（模）等于长度（模）等于1个单位个单位(dnwi)长度的向量叫作单位长度的向量叫作单位(dnwi

2、)向量。向量。2 2两个特殊两个特殊(tsh)(tsh)向量：向量： 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们，那么它们(t men)的终点的集合组成什么图形？的终点的集合组成什么图形？三、三、 向量的有关概念向量的有关概念零向量零向量-长度长度(模模)为为0的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作 0。1.向量的向量的长度长度（模模）：向量）：向量AB的的大小大小也就是向量的也就是向量的长度（模）长度（模）。 | a |AB| 或或记作记作P第2页/共38页第三页，共38页。1.温度含零上和零下温度，所以温度含零上和零下温度，所

3、以(suy)温度是向量（温度是向量（ ） 判断题判断题2.向量向量(xingling)的模是一个正实数。（的模是一个正实数。（ ） 3.若若|a|b| ，则，则a b注注:向量向量(xingling)不能比不能比较大小较大小长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量，或”这种说法是错误的.第3页/共38页第四页，共38页。3向量向量(xingling)间的关间的关系系 平行向量平行向量(xingling)又又叫做共线向量叫做共线向量(xingling)各向量的终点各向量的终点(zhngdin)与直线与直线l之间有什么关系？之间有什么关系？如

4、：如：abc（）（）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量。叫做平行向量。记作 a b c规定：规定：0与任一向量平行。与任一向量平行。问：问：把一组平行于直线把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线的向量的起点平移到直线l上的上的 一点一点O ，这时它们是不是平行向量？，这时它们是不是平行向量？ol .COC = cAOA = a OB = b B第4页/共38页第五页，共38页。向量向量(xingling)相等相等 向量向量(xingling)平行平行平行向量一定平行向量一定(ydng)是相等向量吗是相等向量吗?相等向量一定是平行向量吗相等向量一定

5、是平行向量吗?（2）相等向量：相等向量：长度长度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量。的向量叫做相等向量。记作：记作：a = b规定：规定：0 = 0 ab1.若非零向量若非零向量AB/CD ，那么，那么AB/CD吗？吗？2.若若a/b ,则则a与与b的方向一定相同或相反吗？的方向一定相同或相反吗？o.b aABCDDCBA第5页/共38页第六页，共38页。11个个例例1如图设如图设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，写出图中的中心，写出图中 与向量与向量OA相等的向量。相等的向量。OA = DO = CB变式一：与向量变式一：与向量OA长度相等的向量长度相等的向量 有多少个？

6、有多少个？变式二：是否存在与向量变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向长度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，为存在，为 FECB、DO、FE变式三：与向量变式三：与向量OA长度长度相等的相等的共线向量有哪些？共线向量有哪些？第6页/共38页第七页，共38页。1.下面下面(xi mian)几个命题：几个命题： （3）若）若|a|=|b|，则，则a = b（2）若）若|a|=0，则，则a = 0|a|=|b|a b（4）两个向量）两个向量a、b相等的充要条件是相等的充要条件是（1）若）若a = b，b = c，则，则a = c。当当b 0时成立。时成立。变：若变：若 a b， b c,

7、 则则a c A0B. 1 C. 2 D. 3 其中其中(qzhng)真命题的个数是真命题的个数是( )（5）若）若A、B、C、D是不共线的四点，则是不共线的四点，则AB=DC是是 四边形四边形ABCD是平形四边形的充要条件。是平形四边形的充要条件。ABDCBACD第7页/共38页第八页，共38页。向量向量(xingling)定义定义(dngy)长度长度(chngd)（模）（模）表示表示几何表示法：有向线段几何表示法：有向线段符号表示法：符号表示法：零向量零向量单位向量单位向量向量间向量间的关系的关系相等相等平行（共线）平行（共线）a ，bAB向量的有关概念向量的有关概念特殊向量特殊向量小结小

8、结: :第8页/共38页第九页，共38页。第9页/共38页第十页，共38页。 2. 怎样(znyng)来表示向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示点字母表示.如aAB,长度相等长

9、度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是我们研究的向量是与起点无关与起点无关的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)第10页/共38页第十一页，共38页。 上海上海香港香港台北台北引入引入1：第11页/共38页第十二页，共38页。上海上海香港香港台北台北OAB第12页/共38页第十三页，共38页。OABOA+AB=OB第13页/共38页第十四页，共38页。向量向量(xingling)加法的三角加法的三角形法则：形法则：abba abCAB ,abAA

10、Ba BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接第14页/共38页第十五页，共38页。尝试尝试(chngsh)练习一：练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据）根据(gnj)图示填空：图示填空：_ABBCCDDE AE 第15页/共38页第十六页，共38页。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 则则 OBa

11、b OABaba 三角形法则三角形法则(fz)作法作法1：在平面：在平面(pngmin)内任取一点内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题例题(lt)讲讲解：解：第16页/共38页第十七页，共38页。思考思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法(jif)的三角形法的三角形法 则是否还适用？如何作出两个向则是否还适用？如何作出两个向量的和？量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，则ABCBCAabab00aaa规定：| | | | | | | |aba babba 若， 方向相反，则（或）第17页/共38页第十八页，共3

12、8页。 当向量当向量 不共线不共线(n xin)(n xin)时，和向量的长度时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边三角形的两边(lingbin)之和大于之和大于第三边第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合(zngh)以上探究我们可得结论：| |abab第18页/共38页第十九页，共38页。 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F1F1和和F2F2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方方向伸长了向伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相

13、的作用下，沿相同方向伸长了相同长度同方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F1F1、F2F2之间的关系之间的关系(gun x)(gun x)如何？如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：第19页/共38页第二十页，共38页。OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法

14、形法。起点起点(qdin)相同相同向量向量(xingling)加法的平行四加法的平行四边形法则：边形法则：第20页/共38页第二十一页，共38页。OABCabba 起点起点(qdin)相相同同向量加法向量加法(jif)的平行四边形法的平行四边形法则：则： 文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共则以公共(gnggng)(gnggng)起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。第21页/共38页第二十二页，共38页。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b

15、 ababO例题例题(lt)讲讲解：解：作法作法2：在平面：在平面(pngmin)内任取一点内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平行四边形法则平行四边形法则(fz)第22页/共38页第二十三页，共38页。尝试尝试(chngsh)练习二：练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法，用向量加法(jif)(jif)的三角形法则和平的三角形法则和平行四边形法则作出行四边形法则作出a b 、ab abbba第23页/共38页第二十四页，共38页。思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对

16、任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 第24页/共38页第二十五页，共38页。例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江

17、水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度第25页/共38页第二十六页，共38页。例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常

18、常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行

19、速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速方向与水的流速(li s)间的夹角为间的夹角为60。ADBC第26页/共38页第二十七页，共38页。（1）你还能回想起实数）你还能回想起实数(shsh)的相反数是怎样定义的吗？的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成）两个实数的减法运算可以看成(kn chn)加法运加法运算吗？算吗？思考思考(sko)：如设如设,x yR xy()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：第27页/共38页第二十八页，共3

20、8页。一、相反一、相反(xingfn)向量：向量：规定规定(gudng)：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的减法运算向量的减法运算(yn sun)及及其几何意义其几何意义记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab （2）()aa()aaa00第28页/共38页第二十九页，共38页。BACab设设,AB b AC a DEb()AEab 又又b

21、 BC a 所以所以(suy)BCa b a baba b你能利用我们学过的向量的加法你能利用我们学过的向量的加法(jif)法则作出法则作出 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b第29页/共38页第三十页，共38页。三、几何三、几何(j h)意义：意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba ba（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOA

22、BOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。ba一般一般(ybn)地地abBabbAO（三角形法则（三角形法则(fz)）a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA AC ADBA 第30页/共38页第三十一页，共38页。三、几何三、几何(j h)意意义义注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般一般(ybn)地地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向

23、量 的终点的向量的终点的向量ba ba练习练习(linx)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AOBO (5)OA OB DB CA AC ADAB BA 第31页/共38页第三十二页，共38页。已知向量已知向量(xingling) ，求作向量，求作向量(xingling) ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法作法(zu f)：在平面在平面(pngmin)内任内任取一点取一点O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 则则BAab DCcd 作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相

24、同，连接终点，指向被减向量的终点。a b c d 第32页/共38页第三十三页，共38页。练习练习(linx)：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 第33页/共38页第三十四页，共38页。例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示(biosh) 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足满足(mnz)

25、(mnz)什么条件时，什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直第34页/共38页第三十五页，共38页。巩固巩固(gngg)练习：练习：1 1、在、在 中，中， ， ，则，则ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如图，用、如图，用 表示表示(biosh)(biosh)下列向量：下列向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1) e g (2) f d (3) d g ab c BACab第35页/共38页第三十六页，共38页。)+=+=+abba( ab )ca( bc第36页/共38页第三十七页，共38页。向量向量(xingling)的的减法减法一、定义（利用向量一、定义（利用向量(xingling)的加法定义）。的加法定义）。二、几何意义（起点二、几何意义（起点(qdin)相同，由减向量的终点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。指向被减向量的终点）。第37页/共38页第三十八页，共38页。