第5讲直线、平面垂直的判定及其性质

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1、第5讲直线、平面垂直的判定及其性质【2013年高考会这样考】1以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合.2以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.3. 能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题.1. 【复习指导】垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点.纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好二基：基础知识，基本方法，基本能力.2. 要重视和研究数学思想、

2、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口.AiKAOJIZIZHUDAOXUE一一一八一一一一八一一一一一一“一一“一一“十一一+十一一十一一一“013考基自主导学魅竜毋记j费学相长基础梳理 1.直线与平面垂直判定直线和平面垂直的方法定义法. 利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. 垂直于同一个平面的两条直线平垂直于同一直线的两平

3、面平行.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.平面与平面垂直平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 助电?I丄a；l丄m,I丄n/判定定理2：a/b,a丄a?b丄a;面面平行的性质：allB,a丄a?a丄B；面面垂直的性质：a丄B,aAI,a?a,a丄I?a丄B证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a?a,a丄传a丄3双基自测1. （人教A版教材习题改编）下列条件中

4、，能判定直线I丄平面a的是（）.A.I与平面a内的两条直线垂直I与平面a内无数条直线垂直I与平面a内的某一条直线垂直I与平面a内任意一条直线垂直解析由直线与平面垂直的定义，可知D正确.2. 答案D（2012安庆月考）在空间中，下列命题正确的是（）.A.平行直线的平行投影重合平行于同一直线的两个平面平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C,两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确.3. 答案D（2012兰州模拟）用a，b,c表示三条不同的

5、直线，丫表示平面，给出下列命题： 若a/b，bIIc，贝Ua/c；若a丄b，bc，贝Ua丄c；若a/yb/y则a/b；若a丄yb丄y贝Ua/b.其中真命题的序号是（）.A.B.C.D.解析由公理4知是真命题.在空间内a丄b，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题.由a/yb/y不能判定a、b的关系，故是假命题.是直线与平面垂直的性质定理.4. 答案C（2011聊城模拟）设ab、c表示三条不同的直线，aB表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是（）.cXaA.b?B,a丄bc是a在B内的射影blcC.b?a?clac?aalaD.?bXab丄a,解析由ala,bXa可得b与a的位置关系有：b

6、la,b?ab与a相交，所以D不正确.答案D5. 如图，已知PA丄平面ABC,BC丄AC,则图中直角三角形的个数为.解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个.答案402KAOXIANGTANJIUD*OXH为署向探究导析考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】?（2011天津改编）如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ADC=45AD=AC=1,O为AC的中点，PO丄平面ABCD.证明：AD丄平面PAC.审题视点只需证AD丄AC,再利用线面垂直的判定定理即可.证明vZADC=45且AD=AC=1./DAC=90即AD丄AC,又P0丄平面ABCD,AD?平面ABCD,PO丄AD,

7、而ACAP0=0,AD丄平面FAC.方:;匚;请宀(i)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；a/b,a丄a?b丄aa/B,a丄a?a丄B；面面垂直的性质.(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【训练1】如图，已知BD丄平面ABC,1MC綉2BD,AC=BC,N是棱AB的中点.求证：CN丄AD.证明vBD丄平面ABC,CN?平面ABC,：BD丄CN.又vAC=BC,N是AB的中点.CN丄AB.又vBDAAB=B,CN丄平面ABD.而AD?平面ABD,CN丄AD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】？如图/yI九逊AB所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB/DC,

8、PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=45.M是PC上的一点，证明：平面MBD丄平面PAD.审题视点证明BD丄平面PAD，根据已知平面PAD丄平面ABCD，只要证明BD丄AD即可.证明在厶ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=45，所以AD2+BD2=AB2.故AD丄BD.又平面PAD丄平面ABCD，平面PADA平面ABCD=AD，BD?平面ABCD,所以BD丄平面PAD.又BD?平面MBD，故平面MBD丄平面PAD.面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）、面面垂直性质定理法，本

9、题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法.【训练2】如图所示，在长方体ABCDAiBiCiDi中，AB=AD=1,AAi=2，M是棱CCi的中点.证明：平面ABM丄平面AiBiM.证明TAiBi丄平面BiCiCB，BM?平面BiCiCB,：A1B1丄BM，由已知易得BiM=.2,又BM=,BC2+CM2=2,BiB=2,222BiM+BM=BiB，二BiM丄BM.又AiBiGBiM=Bi,：BM丄平面AiBiM.而BM?平面ABM,平面ABM丄平面AiBiM.考向三平行与垂直关系的综合应用【例3】？如图,在四面体ABCD中,F分别是AB、BD的中点求

10、证:直线EF/平面ACD;平面EFC丄平面BCD.审题视点第问需证明EF/AD;第问需证明BD丄平面EFC.证明(i)在厶ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF/AD.又AD?平面ACD,EF?平面ACD,所以直线EF/平面ACD.在厶ABD中，因为AD丄BD,EF/AD，所以EF丄BD.在厶BCD中，因为CD=CB,F为BD的中点，所以CF丄BD.因为EF?平面EFC,CF?平面EFC,EF与CF交于点F，所以BD丄平面EFC.又因为BD?平面BCD，所以平面EFC丄平面BCD.朋宀丄再解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系

11、的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键.【训练3】如图，E正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF/AC,AB=2,CE=EF=1.(1) 求证：AF/平面BDE;求证：CF丄平面BDE.证明(1)设AC与BD交于点G.1因为EF/AG,且EF=1,AG=1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF/EG.因为EG?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF/平面BDE.如图，连接FG.E因为EF/CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF丄EG.因为四边形ABCD为正方形，所以

12、BD丄AC.又因为平面ACEF丄平面ABCD,且平面ACEFA平面ABCD=AC,所以BD丄平面ACEF.所以CF丄BD.又BDnEG=G.所以CF丄平面BDE.考向四线面角【例4】?(2012无锡模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC丄平面PDB;当PD=.2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.审题视点(1)转化为证明AC丄平面PDB;(2)AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角.(1)证明H四边形ABCD是正方形，AC丄BD.vPD丄底面ABCD，PD丄AC.又PDABD=D，AC丄

13、平面PDB.又AC?平面AEC，平面AEC丄平面PDB.(2)解设ACABD=O,连接OE.由知，AC丄平面PDB于点O,ZAEO为AE与平面PDB所成的角.1v点O、E分别为DB、PB的中点，OE/PD,且OE=qPD.又vPD丄底面ABCD，：OE丄底面ABCD，：OE丄AO.iV2在RtAAOE中，OE=2PD=AB=AO，：ZAEO=45即AE与平面PDB所成的角为45jd求直线与平面所成的角，一般分为两大步：(1) 找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成;计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.【训练4】(2012丽水质检)如图，已知DC丄平面ABC,EB

14、/DC,AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120,P,Q分别为AE,AB的中点.(1)证明：PQ/平面ACD;求AD与平面ABE所成角的正弦值.(1)证明因为P,Q分别为AE,AB的中点，所以PQ/EB.又DC/EB,因此PQ/DC,PQ?平面ACD,DC?平面ACD，从而PQ/平面ACD.解如图，连接CQ,DP.因为Q为AB的中点，且AC=BC,所以CQ丄AB.因为DC丄平面ABC,EB/DC,所以EB丄平面ABC.因此匕CQ丄EB,又ABAEB=B,故CQ丄平面ABE.1由有PQ/DC，又PQ=尹=DC,所以四边形CQPD为平行四边形，故DP/CQ,因此DP丄平面ABE,/DAP为A

15、D和平面ABE所成的角,在RtADPA中，AD=5,DP=1,sin/DAP=f.因此AD和平面ABE所成角的正弦值为二5KAOTIZHUIANXIAHGTUPO老題展署题专项突破阅卷报告11证明过程推理不严密而丢分【问题诊断】高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档题，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致【防范措施】解题过程要表达准确、格式要符合要求每步推理要有根有据计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点引入数据要明确、要写明已知、设等字样要养成良好的书写习惯【示例】？(2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD丄平面ABCD

16、，AB=AD，/BAD=60E，F分别是AP，AD的中点求证：直线EF/平面PCD;平面BEF丄平面PAD.错因在运用判定定理时漏掉关键条件致使推理不严谨致误.实录(1)在厶PAD中，因为E，F分别为AP、AD的中点，所以EF/PD，所以EF/平面PCD.AABD为正三角形，BF丄AD，又平面FAD丄平面ABCDBF丄平面PAD，二平面BEF丄平面PAD.正解(1)在厶PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF/PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF/平面PCD.如图，连结BD.因为AB=AD，/BAD=60所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF丄A

17、D.因为平面PAD丄平面ABCD,BF?平面ABCD，平面PADG平面ABCD=AD,所以BF丄平面FAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF丄平面PAD.【试一试】如图所示，在四棱锥FABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD丄底面ABCD，且PA=PD=#AD.求证：EF/平面PAD;(2)求证：平面PAB丄平面PCD.尝试解答(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在CPA中，EF/PA，又PA?平面PAD，EF?平面PAD，EF/平面PAD.(2)v平面PAD丄平面ABCD，平面PADG平面ABCD=AD，又CD丄AD，aCD丄平面PAD，CD丄PA.又PA=PD=22AD，PAD是等腰直角三角形，且/APD=n，即PA丄PD.又CDAPD=D，aPA丄平面PCD.又PA?平面PAB，a平面PAB丄平面PCD.