理论力学教程周衍柏第三版课件

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1、理论力学教程（第三版）周衍柏 编高等教育出版社10.1 力学的研究对象力学（mechanics）的研究对象是机械运动（mechanical motion）经典力学研究在弱引力场中宏观物体的 低速运动力学: 运动学、（静力学）、动力学Nature and natures law lay hid in night: God said:let Newton be! And all was light！2理论力学与普物力学的关系理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样 理论力学用高等数学方法处理物理问 题分析力学3理论力学的任务研究物体机械运动的一般规律理论力学的研究对象有限个自由度的力学体系质

2、点刚体两个模型4理论力学研究的条件宏观低速下质量不变绝对时间绝对空间5*v c* 物体的尺度原子,分子尺度理论力学的学习预备知识: 普通力学+高等数学以公理、定律为依据，应用数学推演的 方法导出其他定理和结论 偏重于问题的提出、求解严格基础训练、强化现代技术应用 注重问题的延拓分析培养科学精神6科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事情是绝对已知的），如何对待疑问和不确定性，证据服从什么法则，如何去思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面理查德. 费曼现象。参考书梁昆淼.梁昆淼.赵凯华.卢德馨.力学.力学.力学.(上册) 第四版, 高等

3、教育出版社, 2009(下册) 第四版 , 高等教育出版社, 2010第二版, 高等教育出版社, 2004大学物理学.第二版, 高等教育出版社,200370.2理论力学的内容结构矢量力学（即牛顿力学）分析力学矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是分析力学中最关键的量.分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量情况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.80.3力学简史牛顿力学

4、的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发 现了行星三定律总结万有引力定律，牛顿总结了三定 律(自然哲学的数学原理,1687).分析力学:（1788）拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣无 缝). 近代力学：19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子： 量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1100nm尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).90.4力学单位制物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理量的关系） 单位制通过以下步骤建立

5、：选出几个相互独立的物理量作为基本量；选取可以直接测量的物理量.通常基本量都是1.由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的关系式（称为导出关系式）.确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为 长度： 米（m）、质量：千克（kg） 、时间：秒（s）102.3.由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）；基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大 写字母作为基本量的量纲的符号. 导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示.单位制：按照上述方法制定的一套单位.常用单位制: MKS、 CGS、自然单位制.单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度.4.5.6.1112时间(

6、time)的计量以前定义:1秒为地球绕自身轴线转动一周(1天)的1/86400.目前时间标准：1秒的长度等于与铯133原子基态两个 超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770 倍.未来定义:原子氢微波激射器？因为它比铯原子钟稳 定度高100倍.13时钟的改进14长度(length)的计量空间反映物质运动的广延量, 在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定. 空间中两点间的距离为长度.1889年， 第一届国际计量大会:法国国际计量局铂铱合金 棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米.1960年，第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波 长的1 650 763.73倍定义

7、为1米, 实现了自然基准.1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传 播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.15质量(mass)的计量物体所含物质的多少.惯性质量 引力质量1889年，第一届国际计量大会：1千克质量的实物基准 是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的、直径 和高均为39mm的铂钇合金圆柱体，称为国际千克原器.未来标准: 是否采用自然基准?16物质世界的层次和数量级17物质世界的层次和数量级micron second, usnano second, ns18目前已知质量范围已知宇宙银河系 地球人 灰尘 烟草花叶病毒 质子电子1053kg2.2

8、1041kg6.0 1024kg6.0 101kg10-10kg10-13kg10-27kg10-31kg6.72.31.79.119力学量的单位20力学量MKS制CGS制工程制长度 质量 时间 速度 加速度 力动量 冲量功,能m(米)kg(千克)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) N(牛顿)kg m / sN sN mcm(厘米)g(克)s(秒)cm/s (厘米/秒)cm/s2(厘米/秒2)dyn(达因)dyn sdyn s erg(尔格)m(米)kgf/ (ms2)s(秒)m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) kgf(千克力)kgf s kgf s kgf mg cm /

9、 s0.5量纲(dimension)在不考虑数字因子时，表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子，称为这个物理量的量 纲. 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和时间, 它们的量纲分别为L、M和T.任何力学量Q的量纲为Q=LMT，式中,为量纲指数.,21量纲分析定理设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲为X1，X2，Xm. 用P代表导出量P的量纲,则 X amX a1 X a2P 12m上式取对数lnP a1lnX1 a 2lnX2 am lnXm把lnX1, lnX2, ,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则（a1,a2,am）相当于“矢量”lnP在基矢上

10、的投影.22定理P1 , P2 , Pn设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量),而我们所选的单位制中有m个基本量(nm),则由此可以组成n-m个无量纲的量函数关系式. 在物理量之间存在的P , P , P1 , 2 , n m1 2nf (P1 , P2 , Pn ) 0可表达成相应的无量纲形式F(1 ,2 , ,nm ) 01 2 , ,n m 或者从上式把 1 解出来：n=m的情况下，有两种可能. 若 P1 , P2 , , Pm 的量纲彼此独立，则不 能由它们组成无量纲的量；如不独立，则还可能组成无量纲的量.23例1 虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲, 但大量粒子撞击的平

11、均效果就是均匀而持久的压力. 如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁,并大小一样, 皆为v. 粒子质量为m, 单位体积内的粒子数为n. 试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系.这是一个力学问题,有三个基本量, 质量、长度和时间,即m=3.本题涉及的物理量: n, m ,v ,P (m=4)的量纲分别为:解:lnn 0 lnM (3) lnL 0 lnT0 lnTlnm 1 lnM lnv 0 lnM 0 lnL 1 lnL (1) lnT(1)lnP 1 lnM (1) lnL (2) lnT由于只有3个基本量, 相当于3维基矢空间, 所以上述4个量只有3个是线性无关的. 设前3个是无

12、关量, 则有24lnP x1 lnn x2 lnm x3 lnv将(1)式代入,则有1 ln M (1) ln L (2) ln Tx10 ln M (3) ln L 0 ln T0 ln Tx2 1 ln M x30 ln M 0 ln L 1 ln L (1) ln T由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,0 x1 1 x2 (3) x1 0 x2 0 x1 0 x2 0 1x3 1x3 1(1) x3 2x1 1, x2 1, x3 2求解上述方程组, 得到25于是我们得到lnP 1 lnn 1 lnm 2 lnv从而得到P knmv2k是一个无量纲的数学常

13、数, 根据具体情况不同, k可能变化, 而压强与这 三个物理量的关系是不变的.总结:利用量纲分析,虽然不能完全定量的给出物理问题的答案,但是能够对物理问题提供一个简便的分析思 路,甚至不需要知道定律和物理机制的细节.26例2解:用量纲分析法证明勾股定理直角三角形的面积A可由它的一边(例如斜边c)和一个锐角(如)所 决定. 是无量纲的, 所以A c 2( )如图,作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各 有一个同样的锐角, 故它们的面积应分别为A a 2( ),A b2( )1由A=A1+A2得2cac 2( ) a 2( ) b2( )c 2a 2 b2消去(),即得b这样

14、我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.270.6微积分预备知识常见函数的导数1ndydxx ny nx n1y dxdydxdsinxy sin xy cos xdxdydxdcosxy cosxy sin xdxdxdlnxdxdydx1xy ln xy xdydee xy e xy dxdx28导数运算定理2ddudvu( x) v( x) dxddxdxdudvu( x)v( x) v( x) u( x)dxdxdxdudv u( x)v( x) d u( x) dxdxv( x)2dx v( x) ddu dvuv( x) dxdv dx293 常见函数的幂级数展开式函数展开式收敛范

15、围x)1/ 2x)3 / 2x)5 / 2 x)1/ 2 x)3 / 2x)5 / 2x)1x)2x 2x 2x 2x3x3x3x 4x 4x 4(1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 1 1 1 x 111131135 1 1 1 1 1 1 1 11xx xxx24312463112468311323xx252453246531246853112424613524682x 2x 2x 2x 2x3x3x3x 4x 4x 41 1 1 x 131357 124246246823xx353573579224246246857579579115x2424624682x3x 41 x xx

16、1 2 x 3x 2 4 x3 5x 4 30 x31x51sin xcos xx 1x 4171 x 3!5!x 2x61 x3 1x2!4!6!x5x 2x7x9tan xx 1262 x 3153152835e xln(1 x3x 41 1x x 1111 x1!2!3!4!x 2x3x 411 1 x 1x)234 x x 2x3x 4ln(1 111 1 x 1x)234314 基本不定积分公式函数不定积分f (x)f ( x)dxn 1xxn (n 1) Cn 1 cos x Csin x Csin xcos1xln | x | Cxe xe x C325 积分运算定理(i) 如果

17、f (x)(a是常量),则 a u( x)dx=a u(x)f ( x)dx(ii) 如果f (x) = u(x)v(x), 则f ( x)dx u( x)dx v( x)dxu(v) v(x), 则 u(v)v ( x)dx如果f (x) =(iii) u(v)dvf ( x)dx330.7矢量基本知识标量(scalar): 物理学中像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小的 物理量.矢量(vector): 像位移、速度、加速度、动量、力等,除 数量大小外还有一定的方向,并遵从一定的合成法则与随坐标变换的法则的物理量.zA Ax i Ay j Az kAx A

18、 cos ,cos2 cos2Ay A cos ,A cos AzA cos2k 1Axyy342222A Ax Ay AzjxiAzA1 矢量的加减法A1 , A2 , An B1 , B2 , Bn ，则考虑n维矢量A BA1 , A2 , An B1 , B2 , Bn A1 B1 , A2 B2 , An Bn BA(交换律)A B B AA B C A B C矢量的标积(结合律)2A和B是两个任意矢量,它们的标积定义为 Ax Bx Ay By Az BzA B AB cos B AA B A B(交换律)(分配律)A B C A B A C35矢量的矢积3A 和 B 是两个任意矢量,

19、它们的矢积定义为A B ( Ay Bz Az By )i ( Az BxAx Bz ) j ( Ax ByAy Bx )kiAxBxjAyBykAzBzC AB sin C A BBA B B A(反交换律)AA B C A B A C36矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积,常见的两种4A B C (i)三重标积AxAyAzA B C B C A C A B A B C BBBxyzCxC yCzA B C (ii)三重矢积A B C A C B A BC显然这个矢积还是在矢量B和C平面内.37第一章 质点力学1.1 运动的描述方式1.2速度、加速度的分量形式1.3平动参考系1.4质点运

20、动定律1.5质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学（一）1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力第一章部分作业解答第一章质点力学1质点运动学质点动力学2运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：1.建立物体的运动方程2.分析运动的速度、加速度、角速度、角加 速度等3.研究运动的分解与合成规律3质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度41.1运动的描述本节导读质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速

21、度51 质点具有一定质量的几何点自由质点：可以在空间自由运动的质点.确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立变量.2 参考系 坐标系参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统63 位置矢量与运动方程z位置矢量（位矢）从坐标原点O出发，指向质 点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为P(x,y,z)rOyxr xi yj zk位矢的大小为x 2y 2z 2yr xzcos , cos, cos 位矢的方向rrr7运动方程rx(t )iy(t ) jz(t )k参数形式xy zx(t )y(t )z(t )轨道方程F ( x, y,z) 084 位移z

22、ABr设质点作曲线运动rArBt 时刻位于A点，位矢rAt+t时刻位于B点，位矢OrByx质点相对于某参考系运动时，位置连续变化.在给定时间内，联结质点初位置A和末位置B的直线，并从A指向B加上箭头，叫做质点在给定时间内的位移.9 r rB rA AB5 速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量定义：单位时间内质点所发生的位移zA(1)平均速度BrrArB(2)瞬时速度Oyr limdrm s1 vtdtt 0 x速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向.10 rv m s tv vx i vyj vz ksB222v v v x v yv zArlim(3)速率tdt一般情况：因此r s v

23、则r dr dsv v当t0时：11vv s dst 0v1z6 加速度加速度是反映速度变化的物理量v2O平均加速度y瞬时加速度xkij dvydvxdvdtdvzav1dtdtd 2 ydtvkijd 2 xd 2 zv2dt 2dt 2dt 2222ax a y aaz12ax i a y j az k vm s2 ta运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究运动的分解与合成规律质点运动学导读参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、法向加速度 相对运

24、动, 绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度.1.2速度、加速度的分量表示式本节导读直角坐标系中位移、速度、加速度表示极坐标系中位移、速度、加速度表示 切向加速度与法向加速度1 直角坐标系位置矢量r xi yj zk速度表示d z kx iy jrv dt加速度表示d vxiyjzka dt运动学的两类问题（1）已知运动方程，求质点任意时刻的位置、 速度以及加速度d d 2 drdvd rd r t v a r2dtdtdt（2）已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程vtdvadt,vdvtadt00rtdrvdt,rdrtvdt00r 2ti 1

25、9 2t j2例1 已知质点的运动方程求(1)轨道方程；(2)t=2s时质点的位置、速度以及加速度；(3)什么时候位矢恰好与速度矢垂直？y 19 2t 2解：（1）x 2t,1x 2y 19 消去时间参数22 2i 19 2 2 2 j（2） 4i 11 jm/srt 2d rv 2i 8 jv 2i 4tjt 2dt 8 82 arctan 75582 2 8.25vm/s22d 4 jdv 2i 4tjra v dtdta 4 m s -2方向沿y轴的负方向 r v 2ti 19 2t 2 j 2i 4tj （3）2 )2 4t 4t (19 2t 4t (2t 18) 8t (t 3)(

26、t 3) 0t1 0 (s)t2 3(s),两矢量垂直例2路灯距地面高度为h，身高为l的人以速度v0在路上匀速行走.求(1)人影头部的移动速度；(2)影长增长的速率.解：(1)x2 x1x2l(h l ) x2h hx1两边求导：(h l )dx2dx1 hdtdtdx1dx2hv0其中： v,vv 0dtdth llOx1x2xhb x2x1(2)令为影长ldbdt ldx2b x2vhh dtdxhv20以代入h ldtlv0v得h l设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑例3动，而B以匀速度c运动.求尺规上M点的轨道方程，速MBb，角OBA为.度及加速度.其中MAa，解：由图知

27、，M点的坐标为yBx b sin ,a cosy 消去，得轨道方程bx 2y 2M 1ab2a 2yxAO速度分量为 b cos , a sin xyxy1 (a b) cosx1 0,因B点坐标为b) sin y 1vB (a 1 c c sin a bbcacxcot ,y 故M点速度分量a ba b故M点加速度分量24 2 bc bc b c 1 23xcsc bcsc - -a b2a b2x 3a y 0例4 当猴子从最高点自由下落时，射手瞄准射击，问能否击中目标？分析：猴子和子弹都有重力加速度.可以用二维空间描述位置.解: 取枪口作参照点,猴子初始位置r0, 子弹初速度为v0. 则

28、 时刻t猴子和子弹的位置为r022rc r0 1gt ,rb v0t 1gth0v022dorc rb , r0 v0t击中的条件r0rc rb , r0 v0th0v0这说明只要开始瞄准就可以击中猴子。 但是有没有限制条件?do分析击中需要的时间和击中时的竖直位置d 2h2h2d 2) g (00t , h h 1 00 cv2v2h00 0g h0 d 22v 2显然只有时才可能击中02 h0极坐标系2极坐标系：空间P的位置（r，）当P沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线.vjiPcrr ri沿矢径方向O极轴 drdri r i riv dtdti diidjj当d 趋向0时, i, i, d

29、i 组成的等腰jddQ三角形两个底角接近直角,所以jiPr2 i ,didj jcr1ddidjO d ,d极轴idjdi从而iQdidijjdi PdddtdtddjdjO iddtdt r ri vjrrij为径向速度,为横向速度d v dri drj a加速度dtdtdti rijdrdri dir r jdtdtdrdtd jjddrj j r rdtdtdtdt2 rrj r ia r r r2 i2r 1 dr jrr i j22r dt小结： rriv jrjri为径向速度,为横向速度d v dri drj adtdtdtr2r ar1 dr 2 2r rar dt3 自然坐标中

30、的速度和加速度在质点的运动轨迹上，任 取一点O作为坐标的原点。从原点O到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P点的坐标。sPsOs sQ s P自然坐标之差路程：坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向。enetPssQOenetet规定：切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为en法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 dsdr因为vdrdtdsdsdt速度：v etsPQ速率：v vdtvt加速度：v vt vnv vvvvn lim limtna a ttv t 0 t 0v 2dv dv eaeattnndt全加速度：全加速度的大小： atan全加速度的方向： arctan ana

31、t22a an at例5一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时间s bt ct 2, 2式中b，c为大于零的常t的变化规律为数，且b2 Rc . 求(1)质点的切向加速度和法向加速度；(2)经过多长时间，切向加速度等于法向加速度.ds解： （1）v bctdtdv22(b ct ) v caa tndtRR（2）bR anatt cc运动学的主要内容研究物体运动的几何性质运动学所涉及的研究内容包括：1、建立物体的运动方程2、分析运动的速度、加速度、角速度、角 加速度等3、研究运动的分解与合成规律质点运动学导读质点、参照系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度自然坐标系，切向、

32、法向加速度 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速度、牵连(加)速度.1.3平动参考系本节导读相对运动绝对(加)速度 相对(加)速度牵连(加)速度yvySPr SxOr0rxOr r0 rvvvv车做匀速运动时车上车做匀速直线运动时，(a)(b)的人观察到石子做直线运动地面上的人观察到石子做抛物线运动ySrSr vxr0 xr rr0dr drdtdr0两边求导dtdty dr绝对速度：vS物体相对于系的速度dt dr0牵连速度：vS 系相对于S系的速度0dt dr v 相对速度：物体相对于 S 系的速度dt小结：yvySdr drdtdr0Pr SxdtdtOr0rxOdv dvdtdud

33、t0dtvxbvabvaxa a a v u v 例1某人骑自行车以速率v向东行驶.今有风以同样的速率由北偏西30方向吹来.问：人感到风是从哪个方向吹来？解：v v v0v0北偏西30vv 例2 求抛体轨道顶点的曲率半径v0 cos g解: 在抛物线的顶端处, 速度只有水平分v0量v0cos, 加速度 g沿法向的. 所以an g是v cos 2v cos 2x 2 00m曲率半径为gan8 ym式中xm和ym分别是射程和射高.例3已知：小船M看成质点，被水冲走，用绳拉回A点，设水流速度c1，拉回速度c2.求：小船的轨迹.分析：注意c1、 c2都是绝对速度.解：采用极坐标c1Mcr1c2dr径向

34、 cA2dtd c cos(900 )r横向1dtdrc2cscd解微分方程：两式相除rc1积分c2ln r ln tancc12c2k，令c12设初始条件：0，rr0，0t kk cot 0r r0 tan得轨道方程：uv例4当人站在岸上以速度v匀速拉动何种小船时，求小船的运动速度和加速度.x 2l 2h2解：l 2 h2x XX1ixdx i1dl h2 ) 2 (l 2xu 2ldt2dtvilu l 2 h2i 2 2 duvha x3dtL lhhuv质点运动学小结质点、参考系、坐标系、质点位矢运动学方程、轨道 位移、速度、加速度yj直角坐标系1r xi zkd z kx iy jr

35、v dtd z k x i y jva dt极坐标系2rriv j径向速度,横向速度d v dri drj adtdtdt1r drr2，a2rr2r adrrdtds3 自然坐标系vetdtdtdv v 2dv evaa nenttdt相对运动4yvySdr drdtdr0Pr SxdtdtOr0rxOa aa0v u v 运动学的两类问题(1) 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度d d d 2 drdvrd r t v a r2dtdtdt(2) 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程vtdvadt,vdvtadt00rtdrvdt,r

36、drtvdt00动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动.牛顿Issac Newton（16431727）杰出的英 国物理学家,经典物理学 的奠基人.他的不朽巨著自然哲学的数学原理 总结了前人和自己关于力 学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大 发现.1.4质点运动定律本节导读牛顿三定律、惯性、力惯性系、非惯性系、惯性力 力学相对性原理、伽利略变换1牛顿运动定律牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用时，都将保

37、持静止状态或匀速直线运动状态. 惯性定律惯性： 物体保持其运动状态不变的性质力： 物体间相互作用它不仅说明了物体具有惯性的性质，还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系惯性参考系惯性系与非惯性系TaxFmg牛顿定律成立的参考系惯性系非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系yd p牛顿第二定律Fd tp mvF Fi动量：i注意:质点惯性系 瞬时性矢量性牛顿第三定律 FbaFab注意:作用力和反作用力施加在两个不同的物体上，它们属同一性质的力，并互以对方的存在为自己存在的前提.它们同时产 生，同时消灭，相互依存，形成对立的局面.例 鸵鸟是当今世界上最大的鸟，有人说它不会飞是翅膀的退化. 但是如果它

38、长一副和身体成比例的翅膀,它 能飞起来吗?解：飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气 CSv 2上举力(与空气阻力一样的公式)为:f式中C为比例常数, S为翅膀的面积,飞翔的条件mg mgf,即v CS我们作简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质量m l3, S l2,于是起飞的临界速度vlc燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍, 这是飞机 的起飞速度, 鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.思考问题：拔河比赛胜负的关键是什么？摩擦力的大小，大者赢马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端 需要

39、几匹马，才能拉开半球？还是8匹大人国是否能够存在, 利用几何相似性分析之.不可能, 重力就会压坏他.2 力学相对性原理和伽利略变换(i)力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变.对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权的、等价的.在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能判断该惯性系相对于其他惯性系的运动.舟行不觉关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话伽利略1632牛顿的绝对时空观(ii)绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远相同和不动的.绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝 着，而且由于其本性而均匀地与任何外界事 物无关地流逝着. 牛顿长度的量度和时间的量度都与参考系无关

40、 ！？伽利略变换(iii)yyPSSvt在两个惯性系中考察同一物理事件OzxxOzss两个惯性系：一物理事件：质点到达 P点( x , y , z , t )两个惯性系的描述分别为：( x , y , z , t )yy两个描述的关系称为变换PSSvtt t 0 , 坐标原点重合O z xy zxxOxyzzvtxyzx vty z正变换逆变换tt t t伽利略变换中默认了绝对时空dxdd( x vt) 速度变换：( xvt)dtdtdtuxuyuzuxu yuz vu uvx轴方向有相对匀速运动空间有相对匀速运动a a加速度变换：经典力学规律具有伽利略变换不变性：S系：FmaS系F ma：小

41、 结牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律Fd p牛顿第二定律d t Fip mvF 动量：i注意:质点惯性系 瞬时性矢量性牛顿第三定律注意:二力同性质，共存亡,分于两物，处于同一直线.Fab Fba力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变。yy伽利略变换PSSx x vtvtxyz x y zvtyzt y z OzxxOzt t t正变换逆变换a au u v第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题

42、已知作用在系统上的力,求系统的运动.1.5质点运动微分方程本节导读运动微分方程的建立运动微分方程的求解建立运动微分方程F r (t )1. 自由质点2 dr drm F (r , t )dt 2dt解微分方程：（1）受力分析 万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.（2）化为标量方程mx F ( x, y, z, x, y, z, t )直角坐标系xFy ( x, y, z, x , y , z , t )Fz ( x, y, z, x , y , z , t )m y m z m( r r) Fr (r, , r , t )平面极坐标 m(r 2r )F (r, , r

43、, t )m dv Ftdt v 2 自然坐标 Fnm0 Fb（3）初始条件t 0，rr0，v v0（4）求解运动方程 xx(t )y(t ) r (t )ry z z(t )2. 非自由质点解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替d 2 d Rrr 运动微分方程 F (r ,m, t )dt 2dt 解方程与自由质点一样 注意（1）R 一般未知，加约束方程（2）用自然坐标系很方便R光滑约束，约束力在轨道的法平面内1)d ven mF t(1 )Fd t2v m 0F nR( 2 )netebF bR b( 3 )(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.非光滑约束2)dvmFt Rt(1

44、)22Rt RN Rn Rb2dtv 222R R R RmFn Rn(2)tnb0 Fb Rb(3)4个方程4个未知数,可解例1力仅是时间的函数.Ex E0 cos(t )自由电子在沿x轴的振荡电场中运动： eE0 cos(t eExFx)电子受力：d 2 x Fxm由2dt2dx eE cos(t )m0dt 2dv eE cos(t )m0dtvt积分eE dv 00cos(t )dtmv0得eE0eE0sin sin(t )v v0mmdxeE0eE0sin sin(t ) v0mdtmxteE0eE0sin sin(t )dtdx v 0mmxt00eE0eE0eE0cos (v s

45、in )t cos(t ) x x00m 2m 2m例2力是速度的函数.在具有阻力的介质中运动的抛射体mg，R分析：受力运动微分方程 mr mg R用自然坐标系分解（运动方向为正）dsdv R(v) mg sin mddt2m v mg cos dv dv ds v dvdtds dtdsdv R(v) mg sin mvds v 2mg cosmdsdR(v) mg sin 1 dv两式相比v dmg cosf ( )v 可解出因此22( )dxdx dsv f cosx x( ) dds dgg22tan ( )dydy dsv f sin tan yy(dds dggvv sec f (

46、) sec dt dt ds t t ( ) dds dgg消去参量可得运动方程例3力是坐标的函数.kx xi k y yjF ( x, y, z) k z zk原子在晶体点阵中的运动m r F ( x,k x xk y yk z zy,z)运动微分方程：mx m y 直角坐标分解：m z k x 2Ax x 0，0，tx x 初始条件：令xmxAx cos(xt x )Ay cos( y t y )Az cos(z t z )可解得 yz受迫振动m x b xkxF (t )LRC电路1Lq Rq q E(t )C例4质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落，如阻力

47、与速度成正比（mkv），试求运动方程.解：受力Amg、R运动微分方程x mkv mg mrRh建一维直角坐标系，分解mgm x m x dxmgmg R mkx g kxdtPO积分x tdx0 x dt0(1 ekt )g kxg 速度kt0 dxhg(1 ekt )dt 0kgg(1 ekt ) 运动方程x htk 2kgx讨论：t 增加， 匀速直线运动k例5小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索x 2的方程式为4ay .试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力.解：受力：ymg、R Rmr mg R运动微分方程dv mg sin mm mg自然坐

48、标，运动方向为正dtOx2v mg cos RR 2mg解微分方程组可得小 结 r (t )F自由质点、非自由质点受力分析 写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力。2.动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动。1.6非惯性系动力学（一）本节导读在加速平动参考系中的运动惯性力TaFmg惯性系牛顿运动定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性 系。相对于惯性系作加速运动的参考系。 在非惯性系内牛顿运

49、动定律不成立。非惯性系TamaQmg maFS 系： 静系S系：动系aaFao ma mao于是移项m F (m )aaoma F (mao )在非惯性系中，牛顿运动定律表示为F Q ma物理意义惯性力反映参照系不是惯性系.惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在 反作用力. 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现.例1 升降电梯相对于地面以加速度a沿铅直向上运动.电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物(m1m2).求(1)物体相对于电梯的加速度；(2)绳子的张力.m1 g m1 a T m1 a r解：aT m2 g m2 a m2 ar(m1 m2 )

50、( g a)a 消去aTTrm1 m22m1m2T ( g a)21m2 gm gm1 m21Trmm2 m a m a1第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题已知作用在系统上的力,求系统的运动.1.7功与能本节导读功、能量定义势能、动能 保守力系1 什么是能量？什么是功？麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的作功能力.一般功的定义: 物体能量改变的度量.循环定义!所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义)功: 凡是作用在物体上的力, 使得物体沿力的方向上

51、移动了位置, 就说力对物体作了功. 一般来说, 功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移.FdA F cos dr F drdr功的单位：质点沿曲线 LdA FJ从运动到b力所做的功：aFdrb drFA drFaL L (Fx i Fy jFz k ) (dxi dyj dzk )LFx dx Fy dy Fz dzydA G dr例1 重力的功adyj )y1mgj (dximgdybmydr2xGy1F例2弹性力的功F kxixxObx1x2Fx2x2x xkxdxA dx kxi dxi111222A 1 kx 2 1 kx 2mmaA mg y2 dy mgy mgyy12例3 平方反

52、比力cadr万有引力、电磁力等rbr drFraMMm Gr0r 3rbMm rbrA G0r drcos rdrr dr r dr3rarbb dr11A G0 Mmr G MmA G Mm G0 Mm2rrra aab合力的功：FF drLLLA dr F F12nF1F2FnLL dr dr dr合力的功等于各分力的功的代数和.功率：d F rd WP F vdtdt2 能物体处在某一状态所具有的能量能量是状态量，功是过程量，是能量变化的量度1mv2机械能T 动能2势能物体相对位置发生变化V3 保守力、非保守力与耗散力假如力仅是坐标x、y、z的单值的、有限的力场:和可微的函数，则在空间区

53、域每一点上，都将有一定的力作用着，这个空间叫做力场.如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即F ij VVV kxyzVxVyVz则dA dz dx dy 为一个全微分. 显然物体在空间沿一条闭合曲线运动，这个力作功为零.F dr 0保守力:使物体运动，但沿任一闭合路径作功等于零的力保守力作功与路径无关例(i)重力y1 1(ii)弹性力1 12 222(iii)平方反比力rrarbra a 非保守力: 作功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力)作功与经历的路径有关,的力. 例如:摩擦力但总是做负功耗散力:rbb dr 1 1 A G0 Mmr 2 G0 Mmy22A mgy dy mgy1 m

54、gy2A 1 kx22 1 kx224 势能函数 Va VbAab在物体从位置a移动到b时，保守力作功为显然知道了V和空间位置，我们就知道了物体运动做功的大小. 所以我们用V可以完全替代保守力的作功概念.这时引入势能函数的概念.势能:由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能量称为势能rbAabF dr V (rb ) V (ra )定义式:ra保守力作功在数值上等于系统势能的减少例: 重力势能、弹性势能、引力势能.关于势能的几点说明 势能属于系统势能的大小只有相对的意义势能零点存在人为因素取 r0 点为势能零点，则任意一点r 的势能为：r0rF drV (r )空间某点的势能 V 等于质点从该

55、点移动到势能零点时保守力作的功.重力势能： mghV（h=0为势能零点）弹性势能：1kx2V（弹簧自由端为势能零点）2引力势能：Mm（无限远处为势能零点） GV0rFx x 2 y z 5 2x y z x y z 6F例1设作用在质点上的力是yFzx cos sin 求此质点沿螺旋线 y运行自 0 2z 7时，力对质点所作的功.Fy Fz解：力是否保守力？ 1 1 0yzFz Fx 2 2 0zxFy Fx 1 1 0yx力是保守力，作功与路径无关BW Fx dx Fy dy Fz dzA222xyz1,0,14 d(2xy xz 5x 6z)yz2221,0,0 98 2 70势函数222

56、xyzV 2xy xz yz 5x 6z222例2接上题条件, 若Fx 2x 3 y 4 z 5 z x 8 x y z 12FyFz F 0可以证明做功与路径有关BW Fx dx Fy dy 226Fz dzA 98 2 不存在势函数小结dA F cos dr功、能量定义 F drd FF rd WP vdtdt势能、动能动能12T mv2物体相对位置保守力系势能VF i j VVV F dr 0 k xyz第一章质点力学动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1.动力学第一类问题已知系统的运动，求作用在系统上的力.2.动力学第二类问题已知作用在系统上

57、的力,求系统的运动.1.8质点动力学的基本定理与基本守恒定律本节导读动量定理与动量守恒定律力矩与动量矩(角动量) 动量矩定理与动量矩守恒定律 动能定理与机械能守恒定律势能曲线牛顿运动定律：F m aFd(mv )dpdtdtdp Fdtt，质点动量从p0 p如果力的作用时间从 t0ptptdp Fdt001 质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动 量的增量t p0 mv IFdtpmv0t0FFdt1t平均冲力：Ft t0t0F(t)冲量：It Ft Fdt p p0 t0FtO动量守恒定律质点所受合外力为零时, 质点的动量保持不变 Fi 0条件：p mv 常矢量F 0若则

58、意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.Fx 0F 0px分量形式：若但 mx 常量则动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域.2 力矩与动量矩（1） 对定点的力矩MFrOd设作用力 F作用于矢径为 r 的某一点上F作用力对参考原点O的力矩定义为：单位：NmM FrMFM r FrOd Fr sin M力矩的大小：r力矩的方向： 位矢与作用力的矢积方向F力臂：作用力线到参考点O 的垂直距离(d =rsin)（2） 对定轴的力矩对转轴力矩的定义：zMF在垂直于转轴的平面内，外力 F 与力线到转轴的距离d 的乘积定义为对转轴的力矩.M r F力矩逆时针

59、方向力矩顺时针方向M 为正.M 为负.对于定轴转动，规定：F/FrdFz(L)求作用力对空间某轴的力矩,Fz考虑分量,力对原点的力矩为rFyFxkzFzixFxjyFyyOM r F yF zFi zF j xF yFk xFzyxzyx上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量, 也就是力分别对三坐标轴的力矩. 所以求力对轴的力矩, 可以先求对轴上一点的力矩, 再投影到轴的方向.（3） 力偶如果两个平行力F2=F1=F, 但不作用在同一直线上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的力矩不为零.F2O2P为力偶面内的任何一点,则二力对P的总力矩值为AO1rBF1F2 PO2 F1 PO1 F O1

60、O2力偶的任一力和两力作用线间垂直距离的乘积, 等于两力对垂直于力偶面的 任意轴线的力矩的代数和.M-FFO1O2称为力偶臂. 力与力偶臂乘积为力偶矩.力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量.但这个矢量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手螺旋法则确定.由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点,这种矢量是自由矢量.像力等不能改变作用线的矢量 叫滑移矢量.（4） 质点的动量矩定义: 动量对空间某点或某轴的矩, 叫做动量矩,也叫角动量J质点对O点的动量矩OrJ r p mvrmvJ rpsinmvrsin单位：kg zy xz yx m2s-1 myz mzx mxy质点对轴的动量矩JJJxyx质点的动

61、量矩定理3 r JdJmv按动量矩的定义：drd(mv ) mv r 两边对时间求导：dtdtdtd Frd(mv )dr v mv 0，又其中，所以dtdtdtdJM r F 动量矩定理：质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率.dttMdt J 2 J1合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。质点的动量矩守恒定律: 若质点不受力的作用,或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒.MJ 常矢量.dJ 0 , 0 ,dtt2 1例1 一质点所受的力,如通过某一个定点,则质点必在一平面上运动,试证明之.解: 力所通过的那个定点叫做力心. 如取这个定点为坐则质点的位矢 r 与F 共线，二

62、者的矢量乘为一常矢量. 所以标系的原点,积为零,故Jm( yz m( zx zy ) C1 xz ) C2(1)(2) (3)m( xy yx ) C3用x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加得C1 x C2 y C3 z 0 由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在 这个平面上运动.4 动能定理和机械能守恒定律(1)动能定理2 Fdr经过数学运算得到m牛顿方程dt 2d1mv2 F dr单位：J质点动能定理微分形式21mv 2T 动能2质点动能定理:1122A mvbmva Tb Ta22(2)机械能守恒定律如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内力和一切外力都不作功，那么系统的

63、总机械能保持不变. 这个系统也常称为保守系.F V力是保守力11220 VmvmvV ( x , y , z )( x , y , z )0002211220 V ( x , y , z ) V ( x) mv, y , zmv00022第一积分或初积分Gx ( x, y, z, x , y , z , t ) 常量如果方程对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.数学上：二阶微分方程降为一阶物理上：力学量 G 是一个守恒量 物理意义明显的初积分：动量守恒、动量矩守恒、能量守恒 由初积分出发问题的求解简化了一步优先使用守恒定律(3)保守系与时间反演对称性t

64、 t相当于电视片的倒放效果时间反演:考虑:为什么演员飞高时都是穿的紧身衣?空气阻力dpif理论:每个质点都满足牛顿运动定律idt做时间反演, 动量也反向, 右端不变.因保守力只与质点的相对位置有关, 它是时间反演不变的.过程能够发生. 摩擦力不是保守力.所以可逆重锤，轻杠，固定 O点，在竖直平面内圆周运动t 0,例2，自由落下，用两种方法，求最低点的速度. 0mg , T解1：受力分析：机械能守恒：O1mv20 mgl cos mgl02vmg2v 2 gl (1 cos 0 ) 0TP解2：运动微分方程mv 自然坐标系mg sin 切向向上为正 lv 变量变换sin g积分ddgsin dd

65、tlg0 0d sin dl02 g 2(1 cos)0l222 2 gl (1 cos 0 )v l5 一维势能曲线V(x)E物体一维运动的势能曲线V V ( x)E1E2CB对一维运动,只要力是坐标的单值函数,一定是保守力.AdV ( x)（i）保守力 F xx0dx指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率（ii）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高度，代表质点在该处的动能. 由于经典动能为正, 所以水平线低于势能曲线的区间, 是具有该能量的质点不能达到的地段.DF GH（iii）势能曲线在局部的最低(极小)点, 都是稳定平衡点. 总能量略高于它们的质点, 只能在它们附近一定范围内

66、活动. 势能曲线在局部的最高(极大)点, 都是不稳定平衡点.总能量略高于它们的质点, 都会远离而去.（iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着它做小振动. 可以如下计算振动周期：（v）以A点(x0)为例, 计算小振动的振动周期.显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在x=xx0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数:V ( x) V ( x ) V ( x )x 1 V ( x )x2 0002 V ( x ) 1 V ( x )x2 002对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量. 由于坐标原点选择具有任意性, 我们设x0=0, x=x, V(x0)=0,上式简化为, 为一条抛物线. 将机械能守恒定V ( x) 1 V (0) x 22律改写为mv 2 E V ( x) E 1 V (0) x 2122由此得方程:dx2E dtdxdt2EmV (0)或者x 2 mV (0) v 1 21 x2E2E从而V (0)x 2 sin 为了积分方便, 换元令2E1 V (0)x 21 sin 2 cos 2E / V (0) cos d ,dx 2E这样, 上述方程化为V