概率论和数理统计浙大四版习题精选答案完全真实

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1、 .wd.概率论与数理统计习题答案 精选版 浙大第四版说明：剩余习题在学习辅导与习题选解第一章 概率论的 基本概念1. 写出以下随机试验的样本空间1记录一个小班一次数学考试的平均分数充以百分制记分一 1，n表小班人数3生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。一 2S=10，11，12，n，4对某工厂出厂的产品进展检查，合格的盖上“正品，不合格的盖上“次品，如连续查出二个次品就停顿检查，或检查4个产品就停顿检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1，查出次品记为“0，连续出现两个“0就停顿检查，或查满4次才停顿检查。一 (3)S=00，100，0100，0101，1010，0110，11

2、00，0111，1011，1101，1110，1111，2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示以下事件。1A发生，B与C不发生。表示为：或A (AB+AC)或A(BC)2A，B都发生，而C不发生。表示为：或ABABC或ABC3A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C4A，B，C都发生，表示为：ABC5A，B，C都不发生，表示为：或S(A+B+C)或6A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。故 表示为：。7A，B，C中不多于二个发生。相当于：中至少有一个发生。故 表示为：8A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少

3、有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。1求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5为事件A 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有2求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问

4、一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有故8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。1求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品为事件A 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有种2至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品B0表“不含有次品，B1表“只含有一个次品，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种且B0，B1互不相容。9. 从5双不同鞋子中任取4

5、只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少记A表“4只全中至少有两支配成一对则表“4只人不配对 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有11. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少记Ai表“杯中球的最大个数为i个 i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种。(选排列：好比3个球在4个位置做排列)对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。(从3个球中选2个球，选法有，再将此两个

6、球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)12. 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，假设将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少记A表“10个部件中有一个部件强度太弱。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序对E：铆法有种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部

7、件上。这种铆法有10种法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。铆钉要计先后次序对E：铆法有种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3位置上或“4，5，6位置上，或“28，29，30位置上。这种铆法有种14. (1) 。解一：注意. 故有P (AB)=P(A)P(A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A)= P(A)+ P()P(A)=0.7+0.60.5=0.8于是 (2) 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得15. 掷两颗骰子，两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率用两种方法。解：方法一在缩小的样本空间SB中求

8、P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组x, yx, y=1,2,3,4,5,6并且满足x,+y=7，则样本空间为S=(x, y)| (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果x, y等可能。A=掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故方法二：用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1点，B=“掷两颗骰子，x,+y=7。则，故16. 据以往资料说明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以

9、下规律：P(A)=P孩子得病=0.6，P(B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(AB)注意：由于“母病，“孩病，“父病都是随机事件，这里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P(|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而P(AB)= P (AB)P(|AB)=0.30.6=0.18.17. 10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求以下事件的概率。1二只都是正品记为事件A法一：用组合做 在10只中

10、任取两只来组合，每一个组合看作一个 基本结果，每种取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个 基本结果，每个排列等可能。法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。2二只都是次品记为事件B法一：法二：法三：3一只是正品，一只是次品记为事件C法一：法二：法三：4第二次取出的是次品记为事件D法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：法三：18. 某人忘记了 号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的 的概率是多少如果最后一个数字是奇数，那么此概率是多少记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能

11、接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。如果最后一个数字是奇数记为事件B问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。19. (1)设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到即从乙袋中取到白球的概率是多少此为第三版19题(1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋再记B表“再从乙袋中取得白球。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =(2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第

12、一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得2只红球。 C2为“从第一盒子中取得2只白球。 C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球，D为“从第二盒子中取得白球，显然C1，C2，C3两两互斥，C1C2C3=S，由全概率公式，有P(D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)21. 男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，显然A1A2=S，A1 A2=

13、由条件知由贝叶斯公式，有22. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，假设第一次及格则第二次及格的概率也为P；假设第一次不及格则第二次及格的概率为（1） 假设至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2） 假设他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2P (A1)=P (A2|A1)=P，1B=至少有一次及格所以2*由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有将以上两个结果代入*得24. 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从

14、两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求1第一次取到的零件是一等品的概率。2第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设Bi表示“第i次取到一等品 i=1，2Aj表示“第j箱产品j=1,2，显然A1A2=SA1A2=1B1= A1B +A2B由全概率公式解。2 先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解25. 某人下午5:00下班，他所积累的资料说明：到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.35

15、0.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设A=“乘地铁，B=“乘汽车，C=“5:455:49到家，由题意,AB=,AB=S：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有34.1设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图1的方式联接，求系统的可靠性。记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系统正常。A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A

16、4)P (A1A2A3 A4)(加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)312LR (2) 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。54记Ai表第i个接点接通记A表从L到R是构成通路的。A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)

17、P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+(A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4+p4+p4+p4+p5+p4 + p5+ p5+ p5+ p5p5=2 p2+3p35p4+2 p537. 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球

18、；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。1求至少有一只蓝球的概率，2求有一只蓝球一只白球的概率，3至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。1记C=至少有一只蓝球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥由概率有限可加性，得2记D=有一只蓝球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥338. 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，次品硬币的两面均印有国徽。在袋中任取一只，将它

19、投掷r次，每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少解：设“出现r次国徽面=Br“任取一只是正品=A由全概率公式，有 条件概率定义与乘法公式39. 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%这一事件记为A1，10%事件A2，90%事件A3的概率分别为P(A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的这一事件记为B，试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三种情况

20、互斥由全概率公式，有P (B)=P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.862440. 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都是(1)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少设信道传输每个字母的工作是相互独立的。解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为

21、AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=，P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发)P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发)=，同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率

22、公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B1 | D )= =第二章 随机变量及其分布2. (1) 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为也可列为下表X： 3，4，5P：3. 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，1求X的分布律，2画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。Px12O再列为下表X： 0，1，2P： 4. 进展重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的

23、概率为q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=9. 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经历收无次品承受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时承受这批产品，假设产品的次品率为

24、10%，求1这批产品经第一次检验就能承受的概率2需作第二次检验的概率3这批产品按第2次检验的标准被承受的概率4这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率5这批产品被承受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故XB10，0.1，YB5，0.1近似服从1P X=0=0.9100.3492P X2=P X=2+ P X=1=3P Y=0=0.950.5904P 0X2，Y=0(0X2与 Y=2独立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.3435P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840查表计算 (2)每分钟呼

25、唤次数大于3的概率。19. 以X表示某商店从早晨开场营业起直到第一顾客到达的等待时间以分计，X的分布函数是求下述概率：1P至多3分钟；2P 至少4分钟；3P3分钟至4分钟之间；4P至多3分钟或至少4分钟；5P恰好2.5分钟解：1P至多3分钟= P X3 = 2P 至少4分钟 P (X 4) = 3P3分钟至4分钟之间= P 3X4= 4P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟 = 5P恰好2.5分钟= P (X=2.5)=020. 设随机变量X的分布函数为，求1P (X2), P 0X3, P (2X)；2求概率密度fX (x).解：1P (X2)=FX(2)= ln2， P (

26、0X3)= FX(3)FX(0)=1，221. 设随机变量的概率密度为12求X的分布函数F(x)，并作出2中的f (x)与F(x)的图形。解：当1x1时：当1x时：故分布函数为：解：2故分布函数为2中的f (x)与F (x)的图形如下f (x)x0F (x)21x01223. 某种型号的电子的寿命X以小时计具有以下的概率密度：现有一大批此种管子设各电子管损坏与否相互独立。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数。则，24. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X以分计服从指数分布，

27、其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，假设超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求PY1。解：该顾客“一次等待服务未成而离去的概率为因此 25. 设K在0，5上服从均匀分布，求方程有实根的概率K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)244 (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。26. 设XN3.221求P (2X5)，P(4)2，P (X3)假设XN，2，则P (X)=P (2X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (42)=1P (|X|2)= 1P (2 P3)=1P (X3

28、)=1=10.5=0.52决定C使得P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC)= P (XC)得P (XC)=0.5又P (XC)=C =327. 某地区18岁的女青年的血压收缩区，以mm-Hg计服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求1P (X105)，P (100x) 0.05.解:28. 由某机器生产的螺栓长度cm服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12X10.05+0.12) =1

29、 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629. 一工厂生产的电子管的寿命X以小时计服从参数为=160，(未知)的正态分布，假设要求P(120X200=0.80，允许最大为多少P(120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x)上式变为 解出 再查表，得33. 设随机变量X的分布律为：X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2P： 再把X 2的取值一样的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：Y： 0 1 4 9P： 34. 设随机变量X在0，1上服从均匀分布1求Y=eX的分布密度X的分

30、布密度为：Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= eY的分布密度为：2求Y=2lnX的概率密度。Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= +Y的分布密度为：35. 设XN0，11求Y=eX的概率密度X的概率密度是Y= g (X)=eX是单调增函数又X= h (Y ) =lnY 反函数存在且 = ming (), g (

31、+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= +Y的分布密度为：2求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+，)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FYy，则FY (y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =当y1时，(y)=FY (y) = =3求Y=| X |的概率密度。Y的分布函数为FY (y)=P (Yy )=P ( | X |y)当y0时：(y)=FY (y) =36. 1设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X单调增函数，又X=h (Y ) =，反函数存在，

32、且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= +Y的分布密度为：(y)=f h (h )|h ( y)| = 2设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一：X的分布密度为：Y=x2是非单调函数当 x0时 y=x2 反函数是当 x0时 y=x2 &Y fY (y) = =法二：Y fY (y) =37. 设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)当y0时：FY ( y)=0当0y1时：FY ( y)= P (sinXy) = P (0X

33、arc sin y或arc sin yX) =当1y时：FY ( y)=1Y的概率密度( y )为：y0时，( y )= FY ( y) = (0 ) = 00y1时，( y )= FY ( y) = =1y时，( y )= FY ( y) = = 038.某物体的温度T (oF)是一个随机变量，且有TN98.6，2，试求()的概率密度。法一：T的概率密度为 又 是单调增函数。 反函数存在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= +的概率密度()为法二：根据定理：假设XN1， 1，则Y=aX+bN (a1+b, a22

34、)由于TN98.6, 2故 故的概率密度为：第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：1放回抽样，2不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：试分别就12两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：1放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成XY01012不放回抽样的情况PX=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X

35、=1, Y=1 =或写成XY01012. (1)盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY01230001020解：X，Y的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3，j=0，12，i+j2，联合分布律为PX=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1=P X=2, Y=2=P X=3, Y=0=P X=3, Y=1=P X=3, Y=2=03. 设随机变量X，Y概率密度为1确定常数k。2求P X1, Y33求P (X1.54求P (X+Y

36、4分析：利用P(X, Y)G=再化为累次积分，其中解：1，23y47. 设二维随机变量X，Y 的概率密度为解：8. 设二维随机变量X，Y的概率密度为x=yy求边缘概率密度。xo解:9. 设二维随机变量X，Y的概率密度为1试确定常数c。2求边缘概率密度。解: l=yoy=x2x16. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况PX=0, Y=0 = PX=0P Y=0=PX=0, Y=1 = PX=0P Y=1=P X=1, Y=0 = PX=1P Y=0=PX=1, Y=1 = PX=1P Y=1=在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况：PX=0, Y=0 =PX=0

37、=PX=0= PX=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =PX=0P Y=0=PX=0, Y=0 PX=0P Y=0X和Y不独立18. 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在0，1上服从均匀分布。Y的概率密度为1求X和Y的联合密度。2设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：1X的概率密度为y=x2Y的概率密度为1xDyo且知X, Y相互独立，于是X，Y的联合密度为2由于a有实跟根，从而判别式 即： 记23. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为并设各周的需要量是相互独立的，试求1两周2三周的需要量的概率密度。解：1设第一周需要量为X，它是随机变量 设第

38、二周需要量为Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：z0当z0时，由和的概率公式知2设z表示前两周需要量，其概率密度为 设表示第三周需要量，其概率密度为：z与相互独立= z +表示前三周需要量则：0，当u0时所以的概率密度为29. 设随机变量X，Y的概率密度为1试确定常数b；2求边缘概率密度fX (x)，fY (y)3求函数U=max (X, Y)的分布函数。解：1 23Fu ()=P U u=P )=P X u, Y u =F (u, u)= u180=P X1180, X2180, X3180, X4180 =P X1804=1pX1)

39、=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天调整设备的次数时XB(4, 0.2639). P (X=0)=0.263900.73614 =0.2936.P (X=1)=0.263910.73613=0.4210, P (X=2)= 0.263920.73612=0.2264.P (X=3)=0.263930.7361=0.0541, P (X=4)= 0.26390.73610=0.0049.从而E (X)=np=40.2639=1.05563. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中

40、至少有一只球的盒子的最小号码例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球，求E(X)。 事件 X=1=一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒+两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒+三只球均装入一号盒右边三个事件两两互斥事件“X=2=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒+“三只球装入二号盒同理：故5. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X以分计是一个连续型随机变量。其概率密度为求E(X)解：6. 设随机变量X的分布为X202Pk0.40.30.3求E(X)，E(3X2+5)解：E(X)= (2)0.4+00.3+2

41、0.3=0.2E(X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E(3X2+5) = 3E(X2)+ E(5)= 8.4+5=13.47. 设随机变量X的概率密度为求1Y=2X2Y=e2x的数学期望。解：1 28. 设X，Y的分布律为XY1231010.20.10.10.100.100.30.1(1) 求E(X)，E(Y )。(2) 设Z=Y/X，求E(Z )。(3) 设Z=(XY )2，求E(Z)。解：1由X，Y的分布律易得边缘分布为XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=10.4+20.2+30.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)0.3+00.4+10.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.12E (Z )= (1)0.2+(0.5)0.1+(1/3)0+0