随机振动（全88页）课件

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1、随机振动（全88页）1 第五章 随机振动 5-1 引言5-2 随机过程5-3 随机过程的数字特征5-4 相关函数5-5 功率谱密度函数5-6 线性系统在随机激励下的响应随机振动（全88页）25-1 引言前面三章所考察的振动都是确定性振动振动系统的规律可以用时间的确定性函数来描述振动系统的物理量可以用随时间变化的确定函数来描述，因此，确定性振动中的物理量在将来某一时刻的值是可以预测的。举例：单自由度系统的简谐强迫振动 ttkFtxtxtxnnnnnnsinsin11sincos2000随机振动（全88页）3自然界和工程上还存在着另一类振动，它们的规律不能用时间的确定函数来描述，但又具有一定的统计

2、规律性。在数学上这类振动可以用随机过程来加以描述。这类振动称为随机振动而又具有。举例：车辆行驶时由于路面不平引起的振动随机振动（全88页）4确定性系统+确定性激励 确定性响应 确定性系统+随机激励 随机响应 随机系统+任何激励 随机响应随机振动（全88页）5随机振动与确定性振动的本质区别在于它一般指的不是单个现象，而是一个包含着大量现象的集合；从集合中的单个现象来看似乎是杂乱的，但从总体来看却存在着一定的统计规律性。因此，它虽然不能用时间的确定函数来描述，但能用统计特性来描述。 在确定性振动中，系统的激励与响应之间有着确定的函数关系，而在随机振动中，只能满足于确定它们的统计特性之间的关系。随机

3、振动（全88页）6 介绍随机振动中物理量的描述方法（相关函数、功率谱密度）。 讨论受随机激励的振动系统的激励、系统特性、响应三者统计规律性之间的关系。 本章内容：随机振动（全88页）7过程：物理量随时间变化的情况随机过程：无法准确预知物理量随时间的变化情 况，但其变化规律服从统计规律随机过程是大量现象的一个数学抽象，理论上是由无限多个无限长的样本组成的集合。 ：样本函数对于随机现象，我们感兴趣的往往不是各个样本本身，而是力图从这些样本得出总体的统计特性。 txtXk txk5-2 随机过程随机振动（全88页）8 随机过程 的所有样本函数 在时刻 的值 构成一个随机变量 对随机变量求集合平均称为

4、随机过程 在时刻 的集合平均值 。一般情况下 依赖于采样时刻 。 X t txk1t ，1211txtx 11tXtxk记为 11111limtxEtxntknkknx X t1t 1tx1t一、集合平均 . 平稳过程5-3 随机过程的数字特征随机振动（全88页）9 、 构成两个随机变量对它们的乘积 求集合平均称为随机过程 于时刻 与 的自相关函数。它是时差 的函数，在一般情况下，它也依赖于采样时刻 ，反映这两个时刻的随机变量 的统计联系。 1txk1txk 11txtxkk 11111111,limnxkkkknkRt txtxtE xtxtn tX1t1t1t 11txtxkk与自相关函数

5、随机振动（全88页）10随机过程可以根据其统计特性是否随采样时刻而变化来进行分类。统计特性依赖于采样时刻的过程非平稳过程统计特性不依赖于采样时刻的过程平稳过程平稳过程随机振动（全88页）11平稳过程的特点u集合平均值为常数 u相关函数仅仅依赖于时差 12xxxtt常数 xxRttR，随机振动（全88页）12二、时间平均.各态历经过程随机过程的每一个样本函数可以在时域内求得: 时间平均值 对第k个样本求平均 补充：求函数的平均值 221limTTxkkTxt dtT 1bayf t dtba随机振动（全88页）13 自相关函数 221limTTkkTxkdttxtxTR在一般情况下，对于不同的样

6、本将得到不同的 和xk xkR随机振动（全88页）14各态历经过程定义：各个样本的时域统计值都是等同的，而且任一个样本函数在时域的统计值与任一时刻的随机变量的统计值相等。12xxxn 12xxxnRRR 1211limnxxxxkxknkttn 11limnxxkxknkRRRn随机振动（全88页）15结论：v集合平均与时刻t1无关，而时间平均与样本标号k无关，是过程为各态历经的充要条件。v从任何一个样本得出的时间特性就等于集合平均特性，将使数据处理容易的多。 举例：半主动悬挂特性评价 v各态历经过程一定是平稳的，反之不一定。平稳+各个样本的统计特性相同 各态历经 随机振动（全88页）16例5

7、-1：求正弦函数的相关函数 221TTxdttxtxTR22sinsincos22AAttdt物理意义：表示样本函数 与其延时 时刻得到的 之间波形的相似程度。 txktxk 222ARTx， 222ARTx， ，相似程度最高。 ，相似程度最低。 随机振动（全88页）17各个样本函数在时刻 t1的值 构成一个随机变量 ，考察 不大于某个特定的值 x这一随机事件，可以得出发生这一事件的概率 ，它是 x的确定函数，在一般情形下也依赖于采样时刻 t1。 ，1211txtx 1tX 1tX xtXPr1三、概率分布、概率密度（1）对于单个随机变量，最完整的统计描述是给出它的概率分布或概率密度。随机振动

8、（全88页）18由概率论公理有： 101xtxPr 11txPr 01txPr xxtxxPxtxPxxtxPrrr111随机振动（全88页）19 X t1t 11,rP x tPX tx0,1txP1,txP0,Px1,Px随机过程 在时刻 的概率分布函数 随机振动（全88页）20概率密度函数1,txp11101,lim,txPdxdxtxPtxxPtxpx显然有：11111,xxp x tdxP x tP x tPtP x t101,1111tPtPdxtxptP 1tX取值于区间 的概率为： ba, 1111,braP aX tbP b tP a tp x t dx随机振动（全88页）2

9、1此外，概率密度函数有下列性质： 0,1txp0,1tp0,1tP，极小值 0,1 tp1,1Pt，极大值 对于平稳过程来说，其概率分布函数和概率密度函数也不依赖于采样时刻。 , , P x tP x xptxp,随机振动（全88页）22（2）多个随机变量的联合概率分布设：采样时刻t1与t2的两个随机变量 12X tX t、 定义：随机过程 于时刻 t1与t2的二维联合概率分布函数： 不大于x1 ，同时 不大于x2的联合概率 tX 1tX 2X t 2121121,xtXxtXPtxtxPr，；随机振动（全88页）23性质： 1,0,2121221211ttPtttxtPttxP； 22222

10、211111211,xtXPtxPtxtPxtXPtxPttxPrr；随机振动（全88页）24定义：二维概率密度函数 22112122211,txtxPxxtxtxp； 类似地，可以定义随机过程X(t)的n维概率分布与 n维概率密度函数。112212,p x tx tp x x； 对平稳过程，其二维概率密度只是时差 的函数 21tt随机振动（全88页）25四、矩 从随机变量的概率分布出发，可以确定其它一系列统计特性。定义：随机变量X(t1)的n次矩 dxtxpxtXEnn11, (12)nnE Xx p x dxn ， ，随机振动（全88页）26一次矩： xE Xxp x dx 11,E X

11、txp x tdx 二次矩： 222xE Xx p x dx 随机振动（全88页）27v均值x可视为信号的静态部分vx(t)-x则视为信号围绕其均值波动的动态成分v此动态成分的均方值即为方差。 二次中心矩： 222xxxdxxpxXE 22222xxxxxp x dxx p x dxxp x dxp x dx222xxx随机振动（全88页）28对于各态历经过程，可以直接从时间平均求得各次矩。 222211limlimTTTTxkTTE Xxt dtxt dtTT 2222222211limlimTTTTxkTTE Xxt dtxt dtTT 222222221lim1limTTxTTTxkTx

12、xdttxTdttxTXE随机振动（全88页）29除某些特殊情况外，确定随机变量的概率分布函数和概率密度函数都比较困难。在随机振动中经常遇见的正态分布过程和某些各态历经过程，却可以用一定的程序来计算。 五、确定随机变量的概率分布函数和概率密度 函数随机振动（全88页）30各态历经过程的集合概率与任何样本的时间概率相同。 设各态历经过程的一个样本函数如图所示，T表示样本总长， 幅值小于 x所对应的各个时间区间为 。 txk，21tt limikrkTtPxPxtxP xT概率密度函数为： kkdP xpxp xdx单个样本的概率分布函数按如下公式计算：样本的概率分布函数：随机振动（全88页）31

13、确定各态历经过程分布函数和密度函数的步骤在样本曲线上，划一根平行于x轴的水平线，其幅值为x。用几何关系求出x(t)的幅值在此水平线下的时间区段 。it TtxPiTlim xPdxdxp随机振动（全88页）32例5-2：各态历经过程的一个样本是图示三角波，求其： 概率分布函数、概率密度函数及均值、均方值和方差。 解： 01xpxtxPxPAxr，时， 000 xpxtxPxPxr，时，A t x (t) x -T /2 T /2 随机振动（全88页）33 时Ax 0水平线x 几何关系： Ttxtxkk每个周期T： ikittxtx取n个周期， AxTtnTtnxPiinlim则： AxPdxd

14、xp1随机振动（全88页）34综上 00 01001 01xxP xxAAxAxp xxAAxA随机振动（全88页）35计算均值、均方值和方差： 02011 110022AxAxp x dxxdxxdxxdxAAAA 20222311AdxAxdxxpxAx 20222121121AdxAAxdxxpxAxx或： 2222221212131AAAxxx随机振动（全88页）36作业： ，tTAtTAtx21212002TxxT2. 设 为常数，X为随机变量，求的平均值与方差。 ba、ZaXb1. 用时间平均法求例5-2的均值、均方值和方差随机振动（全88页）375-4 相关函数引言： 均值和方差

15、只是描述了随机过程单一时刻（随机变量）的数学特征，要描述两个不同时刻的随机变量之间的联系则要引入相关函数。一、自相关函数二、互相关函数随机振动（全88页）38设随机过程 在两个任意时刻 的随机变量为 是这两个随机变量的二维概率密度函数。 X t21tt 、 121122,X tX tp x tx t与，； nkkknxtxtxnttR121211lim, 212211212121,dxdxtxtxpxxtXtXEttRx； 12,xRt tX t为的自相关函数，是随机变量 12X tX t与 乘积的集合平均。描述随机过程在两个不同时刻之间的线性依赖关系。 一、自相关函数定义：随机振动（全88页

16、）39对于平稳过程 1111121212 ,xxRt tRE X tX tx x p x xdx dx xRx t x t对于各态历经过程，等于单个样本乘积的时间平均 221 limTTxTRx t x tdtT随机振动（全88页）40随机过程在时刻t和t+形成的状态（随机变量）X(t)和X(t+)之间的相关程度。物理意义： 22222xxxxxxxxE x t x tCR规范化自协方差（自相关系数）：随机振动（全88页）41自协方差 121212121212121121222121212122 , ,xxxxxxxxxxCEX tX txxp x xdx dxx x p x xdx dxx

17、p x xdx dxx p x xdx dxp x xdx dxR 随机振动（全88页）42自相关函数的性质： 自相关函数是偶函数 xxRE X t X tE X tX tR 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数， 其周期与过程的周期相同。 xxRTE X t X tTE X t X tR随机振动（全88页）43自相关函数的性质：=0时的自相关函数就是均方值 20 xxxRE X t X tRE X t X t随机振动（全88页）44 如果随机过程不是周期过程，则： 22222222 01000 xxxxxxxxxxxxxxCRRRR 时，随机变量与它自身是完全相关的时，两个随机变量之间将不再

18、相关 前提：不是周期函数若，则 2limxxR随机振动（全88页）45 自相关函数是一个有界函数 22222 11 0 xxxxxxxRR 一般越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+)之间的相关性愈差。 ，Rx()。 随机振动（全88页）46例5-3 ：初相位是随机的正弦函数随机过程x=Asin(t+)，其中是随机变量，其均值为零。 2 cos2 xxARR从可以知道正弦随机过程的幅值信息、频率信息，但相位信息已丢失。 原随机过程是周期各态历经的，其周期为 2 /T 。而Rx()亦是周期函数, 2 /TT 22coscos22xxAARR 2202xxAR随机振动（全88页）47 22

19、2222222222222222211sin01211221010max2sin4sincos400TTTTxxxxxxxxxxxxxxxxxx t dtAtdtTTAARARRAxAtTTx tAtAtR 时，时，随机振动（全88页）48例5-4：交流电电路中的电压和电流分别为v=Vsint，i=Isin(t+)瞬时功率P=vi=VIsintsin(t+)相应的平均功率为：22222211sinsin111 coscoscos1222TTTTPpdtVt ItdtTTVII RIR，而自相关函数 22211sinsincos2TTxRAtAtdtAT比较P和Rx()，可见Rx()体现了随机过

20、程的平均功率随时差的变化。随机振动（全88页）49二、互相关函数两个随机过程： tYtX、 11X ttX t在 时刻的随机变量 22Y ttY t在 时刻的随机变量 1212,X tY tp x ty t、的二维概率密度函数；随机振动（全88页）50定义： 121212112212,xyRt tE X t Y tx y p x ty tdx dy；的互相关函数。 描述：两个随机过程之间的线性依赖关系。 X tY t为和 121212112221,yxRt tE Y tX ty x p y tx tdx dy；一般： 112211221212,xyyxp x ty tp y tx tRt tR

21、t t；随机振动（全88页）51对于平稳过程： 11121212,xyRE X t Y tx y p x ydx dy对于各态历经过程： 221limTTxyTRx t y tdtT 其中x(t)、y(t+)分别是随机过程 的 代表性样本函数。 tYtX、随机振动（全88页）52（1） 11121212,yxRE Y tX ty x p y xdy dx 111111 yxxyRE Y tX tE X tY tE X t Y tR互相关函数一般不是的偶函数，一般也不在 0时取极大值。Rxy()与Ryx() = Rxy(-)之间一般并没有关系。 xyyxRR 对于平稳过程，互相关函数的性质：随机

22、振动（全88页）53（2） Rxy()是有界函数 xyxyxyxyxyR 证明： 222 , ,220yxxyyxyxxyxyYXE ZEyCxp x ydxdy xyxyC 随机振动（全88页）54互协方差： , ,xyxyxyCEXYxyp x ydxdy xyxyR 结论： xyxyxyxyxyR 随机振动（全88页）55互相关系数： 00 xyxyxyRRR 0 0 0 xyxyxyxxyyxyxyCRRR当时，有， 当X，Y的均值都等于零时，互相关系数就等于规范化互协方差。定义： 规范化互协方差 11xyxyxyxyC ，随机振动（全88页）56（3）Rxy()与Rx(0)，Ry(0

23、)之间的关系 21212122211221212 ,2,0200 002xxyyxyxyxyp x ydx dyxx yyp x ydx dyRRRRRR 2121212,00000 xyxyxyxyp x ydx dyRRRRR随机振动（全88页）57 0 xyCXY若，则随机变量 与 是不相关的。 ,p x yp x p y若，则随机变量是统计独立的。 （4）两个统计独立的随机变量一定是不相关的， 但两个不相关的随机变量不一定是统计独立的。证明： , 0 XYxyxyxyxyxyCRxyp x y dxdyxp x dxyp y dy 与 是不相关的。随机振动（全88页）585-5 功率谱

24、密度函数一、自功率谱密度函数二、互功率谱密度函数v自相关函数Rx()描述“平均功率”随时差的变化“平均功率”的时间结构。v功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱域）的分布频率结构。v二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。随机振动（全88页）59一、自功率谱密度函数定义： 22jfxxjfxxSfRedRSf edf 圆频率（角频率） 12jxxjxxSRedRSed存在上述傅立叶变换的条件： xRd 一般地，Rx() Rx()的傅立叶变换一般是存在的。 随机振动（全88页）60为什么称为 ？ 设 是作用在R1上的电压信号，则 是瞬时功率

25、信号，而平均功率 22221lim0TTxxTxt dtRT 222 01 limxxTTxTRSf dfft dtSf dfT而一方面，此式表示平均功率 的时间结构，即各个瞬时的功 率 对于平均功率的贡献。 另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功 率成分Sx(f)df对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。 2xt x t 2xt随机振动（全88页）61为什么称为功率谱 xSfdf量纲： 22sin /Hz xxx tAtmRmSfm单位：单位：单位： 功率频率随机振动（全88页）62自谱密度Sx(f)的性质：（1）Sx(f)0 （2） 2222 jfjfxxxujfujfuxxx

26、SfRedRedRu eduRu eduSf xSff是 的偶函数随机振动（全88页）63 cos2sin2cos2 xxxSfRfjfdRf d xxRSf是实函数 也是实函数 02cos2xxRSff df 相应地，随机振动（全88页）64（3）随机过程的自谱在整个频域上的积分等于 随机过程的均方值。 20 xxxRSf df （4） 双边谱 xSff ，工程上，把自谱定义在正半轴上，称为单边谱。 2,00,0 xxSffGff随机振动（全88页）65（5） 导数过程的自谱 2xxSS随机振动（全88页）66从Parseval 定理角度来定义功率谱密度信号在时域的总能量等与它在频域的总能量

27、 22212xt dtXfdfXd随机振动（全88页）67 x t 设 是平稳随机过程的一个样本函数，一般情况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入辅助函数： TT , -22 T0 , t2Tx ttxt 2222212TTTTTxt dtxt dtXd根据Parseval 定理 222211 12TTTTxt dtXdTT随机振动（全88页）68 22222111limlim211 =lim2TTTTTTTTxt dtXdTTXdT , TTxtx t 22211lim21 =2xTTxE XtEXdTSd 21limxTTsEXT随机振动（全88页）69 对于各态历经过程： 21lim

28、xTTsXT随机振动（全88页）70二、互功率谱密度函数定义： 2jfxyxySfRed jyxyxSRed 对于各态历经过程： 对于平稳过程： *1limxyTTTsEXYT *1limxyTTTsXYT随机振动（全88页）71互功率谱密度函数性质（自学）（1）互谱一般是复函数（2） *xyxyyxSSS=（3）互谱是有界函数 xyxySSS2（4）两个不相关且均值为零的随机过程 0 xyS=随机振动（全88页）72作业：5.15.35.55.9 2222224d1 d 12 E X21 E X2xxxxxxRRSSSdSd 随机振动（全88页）735-6 线性系统在随机激励下的响应v 设系

29、统受到的平稳随机激励为 ，它的一个 样本函数 ，引起的响应可根据Duhamel积分得到：( )F t( )f t( )( ) ()() ( )x tfh tdf thd( )X t( )X t( )F tv讨论线性振动系统只受一个平稳随机激励时的情况。v所有的样本函数引起的响应的全体 为一个随机过程，讨论： 统计性质以及它与 激励 的统计性质的关系。随机振动（全88页）741 响应的均值 ( )() ( ) () ( )E X tEf thdE f thd对于平稳过程： () ( )fE f tE f t因此 ( ) ( )( )(0)fE X tE F thdH随机振动（全88页）752.

30、响应的自相关函数 ( ) ( ) ()xRE x t x t根据Duhamel积分，有 111( )( ) ()x thf td222()() ()x thf td随机振动（全88页）76121212121212( ) ( ) ()( ) () () ()( ) () () ()xRE x t x tEhhf tf tddhhE f tf tdd 121212 () () ( ) ()()fE f tf tE f t f tR121212( )( ) ()()xfRhhRd d 因此 线性振动系统受到平稳过程激励后的响应也是平稳过程。如果激励是各态遍历过程，则响应也是各态遍历过程。随机振动（全

31、88页）773. 响应的自谱以及均方值 121212121212121212121122( )( )( ) ()()( ) ()()( ) ()( )( )()( )( )( )( )jxxjfifiifiiffSRedhhRedddhhRedddhheeddShedhedSHHS 2( )( )fHS00 () ( )i tF f tteF f t在上面的证明过程中用到了傅里叶变换的性质：随机振动（全88页）782211( )( )( )22xxfSdHSd响应的均方值 随机振动（全88页）794. 激励与响应的互相关函数和互谱激励与响应的互相关函数为 ( ) ( ) () ( )( ) (

32、)( ) ( ) ()( ) ( ) ()( )()fxfRE f t x tE f thf tdEhf t f tdhE f t f tdhRd随机振动（全88页）80例5-5 如果激励为白噪声，求激励与响应的互相关 函数。0( )fSS激励的自相关函数为 000001( )2cos2limcos22sinlim2( )jfRS edSdSdSS 随机振动（全88页）81激励为白噪声时激励与响应的互相关函数 00( )( )() =( ) () =( )fxfRhRdS hdS h 在白噪声激励下激励与响应的互相关函数与系统的脉冲响应成正比。在实际中可以用这个性质来测定系统的脉冲响应。 随机

33、振动（全88页）82激励与响应的互谱 -( )( ) =( )() =( ) =( )( )jfxfxififfSRedhRedheSdHS( )( )( )fxfSHS随机振动（全88页）83例5-6：求单自由度系统的基础以白噪声运动时 响应的自谱和均方值 解：基础运动的自谱为 0( )ySS基础运动时系统的频响函数为 2( )kj cHkmj c因此响应的自谱为 22220222()( )( )( )()()xykcSSHSkmc随机振动（全88页）84响应的均方值为：22220222220201( )( )2()2()()()2414xxntSdSkcdkmcSkcmkkcmS随机振动（

34、全88页）85大作业1： 汽车的二自由度模型 为悬挂质量（车身质量）， 为非悬挂质量（车轮质量）， 为悬挂刚度， 悬挂阻尼系数， 为车轮刚度mtmktkcmtmkctkztzq随机振动（全88页）86推导：1 运动微分方程 2 固有频率和振型 3 车身位移 对 的频响函数 4 车身加速度 对 的频响函数 5 悬挂动位移 对 的频响函数 6 悬挂动速度 对 的频响函数zqz q tzzqqtzz随机振动（全88页）87大作业2： 汽车的单自由度模型路面功率谱密度 2002qquGfGnnf0qGn其中， 路面不平度系数0n 参考空间频率，-100.1mn B级路面：F级路面：63064*10 mqGn63016384*10 mqGn随机振动（全88页）881 证明：路面速度谱 22004qqGfGnn u2 求车身位移响应的自谱和均方值3 求车身加速度响应的自谱和均方值