初中数学第二十一章一元二次方程复习汇总

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1、辅导宝典学员姓名： 年 级：辅导科目： 学科教师：授课内容第二十一章 一元二次方程授课日期教学内容.课前热身 1、回顾一元一次方程的概念？2、有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？.教学目标1、了解一元二次方程及有关概念。2、掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。3、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。4、了解一元二次方程两个根与系数的关系（韦达定理）。.重点难点教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。2、用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程。3、利用实际问题建立一元二次方程的数

2、学模型，并解决这个问题。教学难点1、一元二次方程配方法解题。2、用公式法解一元二次方程时的讨论；用因式分解法的技巧。3、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。.知识梳理考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。例如：2x2+2x-4=0（二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4）；4x2-4=0；3x2+8x=0等等。【三种形式ax2=0, ax2+c=0, ax2+bx=0(a0)】一般形式：ax2bx+c=0(a0，b、c为实数，未限定范围）。注意：判断某方程是否为

3、一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，一定要符合一般形式格式，特别注意a的取值范围判定、分母是否含有未知数（分母含有未知数的方程是分式方程）。考点2：一元二次方程的解法1、直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b0，注意b0则无实数根）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 x+a= =-a+ =-a-【（axb）2c（a0，c0，a，b，c为常数）】2、配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+

4、a）2 =b的形式；如果b0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b0，则原方程无解。3、公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的。一元二次方程的求根公式是(=b24ac0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定a，b，c的值；求出=b24ac的值，当=b24ac0时代入求根公式，=b24ac0时，则该方程无实数解。4、因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若ab=0，则a=0或b=0或a=b=0。步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的

5、解就是原一元二次方程的解。 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5、一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0，因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；若b24ac0，则方程无解。 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。如2(x4) =3（x4）中，不能随便约去x4（因x4可能等于0，两边不能同时除于0，因此需要移项提取公因式进行计算）。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般方法选用顺序是：

6、开平方法因式分解法公式法。6、判断一元二次方程解的情况b24ac0方程有两个不相等的实数根；b24ac=0方程有两个相等的实数根；b24ac0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b24ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3：根与系数的关系:韦达定理 对于方程ax2bx+c=0(a0）来说，x1 +x2 =b/a，x1x2=c/a。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如。韦达定理的应用：（1）已知方程的一个根，求另一个根和未知系数（2）求与已知方程的两个根有关的代数式的值（x12+ x22，1/x1+

7、1/ x2 ）（3）已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值（比如，两根的和或关于两根的二元一次方程，则需要建立二元一次方程组）（4）已知两数的和与积，求这两个数（5）已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x2 (x1+x2) x+ x1x2 =0（6）利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c= a(x- x1)(x- x2) 考点4：利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题解题步骤：理解题目实际问题，可画出简图便于理解；找出实际问题中的等量关系；列出一元二次方程；求解方程（一般用因式分解法或配方法）；验证两个解的合理性（三角形两边与第三边的关系；现

8、实长度不能小于0等）列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：（1）若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1x)2（2）面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程（3）列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：（1）变化率问题中常用a（1x）n=b，其中a是起始量，b

9、是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.（2）解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.题型1：一元二次方程的判定以及相关参数取值或取值范围1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） 2、把方程（12x）（1+2x）=2x21化为一元二次方程的一般形式为 3、 已知关于x的方程，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m取何值时，它是一元一次方程？题型2：利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1、关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常数项为0，求m的值。2、若一元二次方程没有一次项，则a的值为

10、题型3：利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式1、已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a0），则a-b值为（）A.1 B.0 C.1 D.22、若一元二次方程ax2+bx+c=0中，ab+c=0，则此方程必有一个根为 .3、已知实数a是一元二次方程x22013x+1=0的解，求代数式的值.题型4：一元二次方程的解法直接开平方法1、解方程（x3）222、解方程（3-2 x）2=49题型5：一元二次方程的解法配方法1、若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A-9或11 B-7或8 C-8或9 C-8或92、解方程3x(x+4)=8x

11、+123、用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x2+4x5的值恒小于零。题型6：利用判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围1、关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）2、已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根3、已知关于x的方程a2x2+（2a1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2。求a的取值范围。题型7：一元二次方程的解法公式法1、解方程 x2+4x+8=4x+112、解方程x2+17=8x题型8：一元二次方程

12、的解法因式分解法1、解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)12、解下列方程：（1）2y2=y+15； （2）y2-35y+300=0 ； （3）3、解下列方程：（1） （2）题型9：解绝对值方程和高次方程1、若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .2、解方程x2|x1|1=03、已知，试解关于的方程题型10：利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值1、已知，是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008+2）（1+2008+2）的值为（ ） A1 B2 C3 D42、关于x的方程kx+(k+2)x+k/4=0有

13、两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k的值；不存在说明理由。3、设x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1（x22+5x23）+a=2，则a=4、已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根， （1）是否存在实数a，使x1x1x2=4x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使（x11）（x21）为负整数的实数a的整数值5、(1)教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=, x1x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代

14、数式的值例如：已知x1、x2为方程x2-2x-1=0的两根，则：（1）x1+x2=_，x1x2=_，那么x12+x22=( x1+x2)2-2 x1x2=_ _请你完成以上的填空（2）阅读材料：已知，且求的值解：由可知.又且，即是方程的两根=1（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答已知，且求的值题型11：一元二次方程的应用（一）利用一元二次方程解决面积问题1、如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（二）利用一元二次方程解决变化率问题1

15、、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率（取 1.41）2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（三）利用一元二次方程解决市场经济问题1、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为12

16、0元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元该校最终向园林公司支付树苗款8800元请问该校共购买了多少棵树苗？（四）利用一元二次方程解决生活中的其他问题1、如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成（1）观察图形，请填与下列表格： 正方形边长1357n（奇数）红色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）红色小正方形个数（2）在边长为n（n1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.中考题目1 中国教育出版网*%1、（201

17、6台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A x（x1）=45 B x（x+1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x+1）=452、（2014湖南株州）已知x1是一元二次方程的一个解，且，求的值.3、（2016雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A4，2 B4，2 C4，2 D4，24、（2016广州）定义运算：a*b=a（1b）若a，b是方程x2x+m=0（m0）的两根，则b*ba*a的值为（）A0 B1 C2 D与m有关.巩固练习一、基础经典题( 44分)(一)选择题(每题4分

18、，共28分 )【备考1】如果在1是方程x+mx1=0的一个根，那么m的值为（ ） A2 B3 C1 D2【备考2】方程的解是（ ） A【备考3】若n是方程的根，n0，则m+n等于（ ） A7 B6 C1 D1【备考4】关于x的方程的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ） Am0，n0 Bm0，n 0 Cm0，n = 0 Dm0，n0【备考5】以52和5+2为根的一元二次方程 是（ ） A B C D 【备考6】已知，是方程xx3=0的两根， 那么值是（ ） A1 B5 C7 D、【备考7】关于x的方程 有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（ ） A2 B1 C0 Dl（二）填空题（

19、每题4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程x3x+1=0的两个根为x，x那么（1+ x）（1+ x）的值等于_.【备考9】已知一个一元二次方程x+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_.【备考10】如图，在ABCD中，AEBC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x+2x3=0的根，则ABCD的周长是_ EABDC【备考11】关于x的方程的一次项系数是3，则k=_【备考12】关于x的方程 是一元二次方程，则a=_.三、实际应用题（9分）本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量【备考13】2003年2月27日广州日

20、报报道：2002年底广州自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市面积的百分比）为465，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8以上，若要达到最低目标8，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）14. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约

21、多少万人次？15.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件设每件商品降价x元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？16、当m是何值时，关于x的方程（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一个根，求m的值。.超越训练1、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A1 B12 C13 D252、阅读理解：若为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有：，由于都是整数，所以c是m的因数上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数例如：方程中2的因数为1和2，将它们分别代入方程进行验证得：x=2是该方程的整数解，1、1、2不是方程的整数解解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.