第三章__多维随机变量及其分布总结

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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量、二维随机变量的分布函数设E是一个随机试验，它的样本空间是S.设X、丫是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个向量(X,丫)称为二维随机向量或二维随机变量.一般地，(X,丫)的性质不仅与X有关，与丫有关，而且还依赖于X、丫的相互关系，因此必须把(X,丫)作为一个整体来研究.首先引入(X,丫)的分布函数的概念.定义设(X,丫)为二维随机变量，对于任意实数x、y,二元函数F(x,y)=P(XX)Q(Yy)=PXEx,丫y称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和y的联合分布函数分布函数F(x,y)表示事件(X乞x)与事件(Yy)同时发生的

2、概率.如果把(X,Y)看成平面上具有随机坐标(X,Y)的点，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,丫)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.由上面的几何解释，容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域x1X空x2,y1Yy2的概率为PxiX_X2,yi丫_y2=F(X2,y2)-F(x2,yi)-F(xi,目2+F(xi,yi)(1)与二元函数类似，二元分布函数F(x,y)也具有如下一些性质：1 F(x,y)是变量x和y的单调不减函数,即当xiX2时,F(xi,y)_F(X2,y);当yiy时,F(x,yi)-F(x,y2).2 0F(x,y)i,且

3、F(：,y)=0,F(x,-：)=0,F(-：,-：J=0,F(+：,+：)=i.(凡含-：的概率分布为0)3 F(x,y)关于x和y都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).4 对任意的(xi,yi)、(X2,y2),xiX2,yiy2,有F(X2,y2)Fgyi)-F(xi,y2)+F(xi,yi)亠0.注：二元分布函数具有性质i4,其逆也成立(2中0_F(x,y)i可去),即若二元实值函数F(x,y)(x三R,讨R)满足i4,则F(x,y)必是某二维随机变量的(X,丫)的分布函数.其中4是必不可少的，即它不能由i3推岀(除去0_F(x,y)；i).二

4、、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,丫)是二维离散型随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(Xi,yj)(i,j=i,2,3,).oOoO记PX=Xi,丫=yj=pij(i,j=i,2,3,)则由概率定义有pij0；ZZPij=i.i=!j=l我们称PX=Xi,Y=yj=Pij(i,j=i,2,3,)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律(概率分布)或随机变量X和丫的联合分布律,(X,Y)的分布律也可用表格表示.其分布函数为F(x,y)-pX二乂山丫*j八、PijxRj勿x.xyj：-y这里二二表示对一切Xj_x,y

5、j-y的那些指标i、j求和.x3yj为例i一个口袋中有三个球，依次标有i、2、2,从中任取一个，不放回袋中，再任取一个.设每次取球时，各球被取到的可能性相等，以X、丫分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求X、丫的联合分布律与分布函数.(X,Y)的可能取值为(i,2)、(2,i)、(2,2).PX=i,丫=2=PX=iPY=2/X=i=1i同理,有PX=2,Y=1=-,PX=2,Y=2=-.33即(X,Y)的分布律如右表所示.当x1,或y1时,Fx,y=0;当1x2时,Fx,y=p11当x_2,y_2时,Fx,y=1.0,所以，(X,Y)的分布函数为F(x,y)=d,31,三、二维连续型随

6、机变量设二维随机变量(X,丫)的分布函数为当1x2,1y2,1y2时，Fx,y=P11+p21=;33x2,j2或兰y2,ya2.Fx,y,若存在非负函数f(x,y),使对任意的x、y有yxF(x,y)f(u,v)dudv，则称(X,Y)为连续型的二维随机变量，f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度，或称随机变量X、丫的联合概率密度.概率密度f(x,y)具有以下性质：1f(x,y)0;-ho-ba2：Iif(x,y)dxdy=F(；,；)=1-JO-二3若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有匚F(丫=f(x,y)cxcy4设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G内的

7、概率为P(X,Y)G二f(x,y)dxdyx0,y0,其它.G例2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为0,求：(1)系数A;(2)分布函数F(x,y);(3)概率P(X,Y)D,其中D:x0,y0,x+y1.-:-:1(1)由二J(x，y)dxdyT,得a石.F(x,y)y切dxdy=“0xe”y)00,dxdy,x0,y0,其它，；(1-e)(1-),0,x0,y0,其它.2以edxdy=1e11jP(X,Y)：Ilf(x,y)dxdy=dx0eD例3设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)+才，兰x兰1,0兰y兰2,求卩二乂.0,其它，122XV17解：PY亠X=|f(

8、x,y)dxdydx(x)dy=.v2)维随机变量的情形.一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间为S,设X!、X2、Xn是定义在S上的随机变量，贝9由它们构成的一个n维向量(X!,X2,Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数X!、X2、Xn,n元函数F(X1,X2,xn)=PXl乞Xi,X2乞X2,Xn乞Xn称为n维随机变量(Xi,X2,Xn)的分布函数或随机变量(Xi,X2,Xn)的联合分布函数，它具有与二元分布函数类似的性质.第二节边缘分布设(X,Y)是二维随机变量，其分布函数为F(x,y),事件X兰x即为Xx,Y+比,从而由(X,Y)的分布函数可定岀X的分布函数，记为FX

9、(x).Fx(x)=PXZx=PXx,Y+：=F(x,+：)=limF(x,y).y我们称Fx(x)为关于X的边缘分布函数.类似的可定义关于丫的边缘分布函数为丿叭fz.Fy(y)=PYEy=PX+：:,Yy=F(+：,y)=、离散型设(X,丫)为二维离散型随机变量，其分布律为PX=Xi,Y=y=pij(i,j=1,2,3,)，则oOoOFx(x)=F(x,：)pij,FY(y)=F(:,y)pij.X空jTyii=1oOco从而X与丫的分布律分别为PX=Xi=7Pij,i=1,2,;PY=yj=7Pij,j=1,2,;j二iToOoO记Pi.=Px=Xi=Pij,i=1,2,;pj=PY=yj

10、Pij,j=1,2,j二iT分别称Pi和Pj为(X,Y)关于X与丫的边缘分布律.注:1边缘分布律具有一维分布律的一般性质2联合分布律唯一决定边缘分布律，反之不然.二、连续型设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),由x亠y亠Fx(x)二F(x,：)f(x,y)dydx;Fy(y)二F(:,y)f(x,y)dxdy.0-OJ0-JDO-so-33知X与丫都是连续型随机变量.它们的概率密度分别为-bo-hofx(x)二一f(X,y)dy;fy(y)二._f(x,y)dx.称fx(x)与fY(y)分别为(X,丫)关于X与丫的边缘概率密度.例2设D是平面上的有界区域，其面积为A,若二维随

11、机变量(X,Y)的概率密度为广1-f(x,y)=a，(x,y)JD,o,其它，则称(X,Y)在D上服从均匀分布.现(X,Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布，求边缘概率密度.解：由f(x,y)dxdy=1,得A=二J_oaJ_oo1-x2122当x1时,fx(x)=0,即1-xf-x2,x1,fx（x）=兀0,x_1.例3设二维随机变量（X,Y）的概率密度为同理可得，fY（y）台1一y2,y1,iQ1心.f(x,y)-1exp厂2(1P2)L-(xH)2IB22,-叫)(y-乜二112-：:x:v-:y:亠-其中4、-2、:n、二、都是常数,且;10,；卫0,-11.我们称（X,Y

12、）为服从参数为4、比、匚1、匚2、:的二维正态分布，试求二维正态随机变量的边缘概率密度:122、(x3)(y丄2).(y丄2)口1口22-；-2（y_迟）22、（x1）（y2）.、2（x1）2、2（x1）2（x叫）2八（12）空51所以，口点区皿珂設计2厂-=amdy-耳)212;-.1e2二1-21-21-feeeay_2722(1_P)Qdy.!,则dy=J-P2Q2dt,从而,4=oe-ad12(1P)i巨t2Ge2dt=：；2二二2.1-以.1所以，fx(x)=e2ncr1（y-屮22池（-：:y：:：）.（x-4）2（皿x七力）.同理可得,fY（y）=一e2兀CT2表明,XN（叫,F

13、2）,YN（2,二;）.此例说明，二维正态随机变量（X,丫）中的X、丫都服从正态分布，并且与参数r无关.所以对于确定的叫、2、门、；：.2而取不同的二，对应了不同的二维正态分布，但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布.因此，仅由关于X和Y的边缘概率密度（分布）,一般不能确定X和Y的联合概率密度（分布）.第四节相互独立的随机变量我们知道，两事件A、B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义定义设F(x,y)及Fx(x)、Fy(y)分别是二维随机变量y,有PXx,Y_y=PX_xPY_y,则称随机变量X和Y是相互独立的.(X,Y)的分布函数及边缘分布

14、函数，若对于所有的即F(x,y)=Fx(x)Fy(y)(1)可见，在随机变量布函数，而且还可推得X和Y相互独立的情况下，由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X,Y)的联合分PYEy/X=x尺丫曲必皿=nmPX=x.PY兰y,x兰X兰x+ixiimF(x+3,y)F(x,y)zim0F(x+Ax,讼)-F(x,讼)PxXx.x十空x)FY(y)-Fx(x)FY(y).0Fx(Xlx)Fy(：)-Fx(x)Fy(：)畀:書畀如丫叽fy(y)=“y,JPFx(x二x)-Fx(x)这就是说在X和丫相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同,即条件分布化成了无条件分布、离散型设二维离散型随机变量(X,Y

15、)的联合分布律为PX=Xi,Y=yj=Pij(i,j=1,2,3,),(X,Y)关于X和关于丫的边缘分布律分别为QOPi.=PX=Xj=“pij,i=1,2,j吕Pj=PY=yj八Pij,j=1,2,y则X和Y相互独立的充要条件是PX=Xi,Y=yj=PX=XiPY=yj,即pj=Pi.pj二、连续型设二维连续型随机变量(X,丫)的联合概率密度为f(x,y),关于X和Y的边缘概率密度为fx(x)和fY(y),则X和Y相互独立的充要条件是等式f(X,y)=fx(x)fY(y)几乎处处成立.例3设(X,Y)服从二维正态分布,即其联合概率密度为f(x,y22二二；2.1-exp1(x-B)22、2(

16、1-P)-12p(x片)2)-:x:a!-:y：:证明：X和Y相互独立的充要条件是=0.例4若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)r0,x_0,y_0,则x和Y相互独立.其它，证：显然fx(x)=e：x亠0,0,其它,fY(y)=化0,y二0其它,，故有f(x,y)=fx(x)fY(y).从而x和丫相互独立.例5设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在0,0.2上服从均匀分布，丫的概率密度为5e,y_0,0,其它,f(x,y)h25y,0兰x兰0.2,y启00,其它.试求：(1)X与丫的联合概率密度PY乞X.解：由已知条件，得fx(x)0,0Ex乞0.2,其它，从而得X与丫的联合概率密度为PY

17、乞X=PYX二f(x,y)dxdy,积分区域如图，化成二次积分后得x_y0xof(x,y)dy3679.0.2PYEX=$0以上关于二维随机变量的一些概念，很容易推广到n维随机变量的情形.设n维随机变量gX2,Xn)的联合分布函数为F(X1,X2,xn),若存在非负函数f(X1,X2,Xn),使得对于任意头数X1、X?、Xn,有XnXn丄F(X1,X2,xn)=J-：!-x1J(X1,X2,凶阳如dxn,则称f(X1,X2,Xn)为n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合概率密度称Fx(X1)=F(X1,；,，；)，Fx”x2(X1,X2)=F(X1,X2,；,，：)，为关于X1,(X1,X2)

18、，的边缘分布函数，fx(X1)f(X1,X2,Xn)dX2dX3dXn1.fX1,X2(X1,X2),Xn)dX3dX4dXn为关于X1,(X1,X2),啲边缘概率密度若对于所有的X1、X2、Xn,有F(X1,X2,XnFx1(X1)Fx2(X2)Fxn(Xn),则称X1,X2,Xn是相互独立的，对离散型即连续型随机变量，也有类似的结论.若对于所有的X1、X2、Xm；y1、y2、yn,有F(X1,X2,Xm；y1,y2,yn)=F1(X1,X2,Xm)F2(y1,y2,yn)其中F1、F2和F依次为(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn)和(X1,X2,Xm；Y1,Y2,Yn)的分布函数，则

19、称随机变量(X1,X2,Xm)和(丫1,丫2,Yn)是相互独立的.定理设随机变量(X1,X2,Xm)和(丫1,丫2,Yn)相互独立，则Xi(i=1,2,m)与丫(j=1,2,n)相互独立.又若h、g是连续函数，则h(X1,X2,Xm)和g(Y1,丫2,，丫n)也相互独立.第三节、条件分布离散型:在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为P(丫二yj1x=Xj)二Pij叽；在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为P(X二人1丫二yj)二PijPj连续型:在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(X|y)=f(x,y)fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y1x)二f(x,y)fx

20、(X)例3.9:设二维连续型随机变量(XY)在区域D上服从均匀分布，其中D=(x,y):|x-y|乞1,|x-y|叮,求X的边缘密度fx(x)和X的边缘密度fy(y)1,D解：f(x,y)二20,其他.fx(X)口O(x，y)dy-x11dy=x1,1：x：0;_x2X11dy=1-x,0：x：1;2,其他.例3.10概率为p布列。商店的顾客人数X服从泊松分布PC)，每个顾客购买某种商品的Y的分设在一段时间内进入某，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数解:X的分布为P(X=m)二，m=0,1,2,，由题意知，m!在X=m的条件下，Y的条件分布的是二项分布，即

21、P(YkXm)二clpk(1-p)m“,k=0,1,2,m.ba从而由全概率公式有p(Y=k)=Ep(x=m)P(Y=kX=m):,m-kkm-kCmp(1-P)m土m!m-k1pk!,-bekm-k(1一p)m&(m-k)!1k一km严pkrm*(m-k)!a-bekk、.pk!(p)k,p=ep,k=0,1,2,即Y服从泊松分布Pp)。k!例3.11设(X,Y)服从G=m-km-km土(m-k)!(p)二丄pkeke2)k!(x,y)：xy2乞1上的均匀分布，求给定丫二y条件下X的条件密度函数f(xy)1,x2y1;JI解：P(x,y)二b，其他.121PY(y)二-122dx二.1-y,-仁八1;1T0,其他-y2x_.1p(xy)=幣；其他.注：在给定Y的具体某个取值时，X的条件分布也是均匀分布。