第3讲对角互补模型

《第3讲对角互补模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3讲对角互补模型（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、-#-中考数学几何模型3:对角互补模型名师点睛拨开云雾开门见山共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含90的对角互补，含120的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.类型一：含90的对角互补模型,OC平分ZAOB,则有以下结论:作法1作法2 如图，ZAOB=ZDCE=90CDCE；odoe=T2oc；12SqcD+SoCE=2OC如图，ZAOB=ZDCE=90,OC平分ZAOB，当ZDCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：CDCE；oe-od=V2oc；一1一2SOCE-S.O

2、CD=OC2类型二：含120的对角互补模型当ZDCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以(1) 如图，/AOB=2/DCE=120,OC平分ZAOB,则有以下结论:如图，/AOB=/DCE=90,OC平分ZAOB, 下结论：CDCE；oe-od2oc；12S.OCE-S,.OCD=OC2作法1作法2启迪思维探究重点典题探究例题1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点。是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值.【解答】解：当OP/AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形

3、的面积的即25,当OP在如图位置时，过O分别作CD,BC的垂线垂足分别为E、F,如图在RtOEG与RtOFH中，/EOG=ZHOF,OE=OF=5,AOEGAOFH,-S四边形OHCG=S四边形OECF=25,即两个正方形重叠部分的面积为25.变式练习1.角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE12,贝UBC+CD=2.如图，在四边形ABCD中，/A=ZC=90,AB=AD,若这个四边形的面积为答案：43例题3.如图，在RtABC中，ZABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN,ZMPN=90,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，AP=3.如图作MPNA

4、Q2x+3x=3xCABDOCBFEFBE4PQ/BC四边形ABCD是矩形四边形PQBR是矩形如图，连接AC上，连接PQ=2PR=2BQ3.如图，在矩形ABCD故答案为3OB=OFAP=AB:BC:AC=3:4:5EFBE,垂足为EBF的中点O,连接AB=CD=3,BC=AD=5PQ=4xBEF=ZBCF=90AB=3,BC=5,点E在对角线PQPRPF2（2）CF仍然成立证明:在CE和*尹中,：BCA-ACD-6,，一匕9己=6。,在A.KE和应）f中,匕CAE-*AC=AD,WaefN&ce:.C=Df*.3ECF.OE=OB=OF=OC,B,C,F,E四点共圆，ZEBF=ZECF,tan

5、ZEBF=tanZACD,.里=9=旦，EBCD3E作两垂线亦可】故选：B.【本题两种方法解答，过例题4.用两个全等且边长为4的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB,AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时，（如图1），通过观察或测量BE,CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，AE

6、C的面积是否会等于2而？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由.【解答】解：（1）BE=CF.证明：在ABE和ACF中，/BAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60,BAE=ZCAF.AB=AC,ZB=ZACF=60,.ABEAACF（ASA）.BE=CF;（3）能._AEC的CE边上的高为兰边ABC的高，为3,AEC的面积等于23,底边CE=2,BE=6或2.变式练习4.我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”(1) 若点A(x,y)是完美点”，且满足x+y=4,求点A的坐标；如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为(0,4)，连接OB,E点从O向B运动，速度为2个

7、单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t. 不管t为何值，E点总是“完美点”；如图2,连接AE,过E点作PQx轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EFAE交x轴于点F,问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由.【解答】解(1).点A(x,y)是“完美点”-#-点总是“完美居.0-00ZBAO-ZAOC-9QfPQlx?由二也边形一40。户是矩形/.AP=OQfA0=PQ=4:*Lef:匕/EF-匕FEQ=9甘，EAEP=9甘/.ZKty-Z2L4PAP-EQfFEQ-AEAPrZAPE-EQF-9Q:.Aapeefq:.PE-FQ*3

8、皿二您埋2蛆二2(PE-EO)=2X=82二当E点旨动时，四边形题QP的面积不变，面积为8.x=yx+y=4.x=2,y=2A点坐标(2,2)(2) .四边形OABC是正方形，点A坐标为(0,4),AO=AB=BC=4B(4,4)设直线OB解析式y=kx过B点4=4kk=1直线OB解析式y=x设点E坐标(x,y).点E在直线OB上移动x=y不管t为何值，E点总是“完美点”例题5.已知，点P是ZMON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使/APB+ZMON=180.(1) 利用图1,求证：PA=PB;(2) 如图2,若点C是AB与OP的交点

9、，当Sapob=3Sapcb时，求PB与PC的比值；(3) 若ZMON=60,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且/PBD=ZABO，请借助图3补全图形，并求OP的长.图1BNOB图？图3【解答】解：（1）作PEOM,PFON,垂足为E、F.四边形OEPF中，ZOEP=ZOFP=90,.ZEPF+ZMON=180,已知/APB+ZMON=180,.ZEPF=ZAPB,即ZEPA+ZAPF=ZAPF+ZFPB,.ZEPA=ZFPB,由角平分线的性质，得PE=PF,AEPAAFPB，即PA=PB;(2)Sapob=3S/pcb,.PO=3PC,由(1)可知PAB为等腰三角形，贝U(180-ZA

10、PB)=LMON=ZBOP2ZPBC=2又BPC=ZOPB(公共角)，.PBCAPOB,顼POFB作姓足为当Z.AT=6D时Z.4PB=120,由=朋，=1PAS=(1S3ZzP=3。2又：PBD=Z.43OfPBD-APBAABO-；:./ABO-1.U80a-M。)=代f2在?中，：=,.zLBPD-45,任RtA。吕H中，=OH=岳2在Rt&PEH中；1；：-OP=OH-PH=4l.即PB2=PO?PC=3PC2,领悟提升强化落实1. 达标检测如图，在等腰RtAABC中，/C=90,AC=8,F是AB边上的中点，点D、E分别在AGBC边上运动,且保持AD=CE连结DE、DF、EF,在此运

11、动变化的过程中，下列结论：DEF是等腰直角三角形；四边形CDFW可能为正方形；四边形CDFE的面积保持不变；DE长度的最小值为4;CDE面积的最大值为8,其中正确的结论是.FB2. 答案：如图，在四边形ABCD中，AB=BCZABC=ZCDA=90,BELAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,求BE的长.3. 答案：22如图，正方形ABCD的边长为6,点。是对角线AC,BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,连接BE.过点C作CFBE,垂足为点F,连接OF.求：CF的长；(2)OF的长.【解答】解：(1)如图，在BE上截取BG=CF,连接OG,RBCE中，CFBE,EBC=ZECF,OBC

12、=ZOCD=45,ZOBG=ZOCF,在OBG与OCF中，rOB=OC*Z0BG=Z0CF,Ibg=cfOBGfOCF(SAS),OG=OF,ZBOG=ZCOF,OGOF,在RTABCE中，BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE=53=53=2.BC2=BF?BE,则62=BF?2/f5解得：BF=Jb01,5EF=BE-BF=顼,.CF2=BF?EF,.cf=JV1CL;54.如图，/QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，/QPN=a,将ZQPN绕点P旋转，旋转过程中ZQPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C,D不重（1）如图，当a=90时，

13、DE,DF,AD之间满足的数量关系是（2）如图，将图中的正方形ABCD改为/ADC=120的菱形,DE+DF=AD;其他条件不变，当a=60时，（1）中的结论变为DE+DF=请给出证明;（3）在（2）的条件下，若旋转过程中ZQPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE,DF,AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.【解答】解：(1)正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,PA=PD,ZPAE=ZPDF=45,.ZAPE+ZEPD=ZDPF+ZEPD=90,ZAPE=ZDPF,在APE和DPF中rZAPE=ZDPKPA=PDZPAE=ZPBF.AP

14、EADPF(ASA),AE=DF,DE+DF=AD;(2)如图，取AD的中点M,连接PM,.四边形ABCD为ZADC=120的菱形，BD=AD,ZDAP=30,ZADP=ZCDP=60,MDP是等边三角形，PM=PD,ZPME=ZPDF=60,/PAM=30,ZMPD=60（3）如图，在整个运动变化过程中当点已落在.4D上时，gBF=J当点E薄在血）的延长城上时，df-deXad-2（如图3,中点，连接PAf,征明A/P更安皮F）.ZQPN=60,ZMPE=ZFPD,在MPE和DPF中,ZPME=ZPDFPM=PDZmpe=ZffdAMPEADPF(ASA)ME=DF,DE+DF=AaD;25

15、.“如图1,在RtABC中，/ACB=90,CDAB于点D这里,冬_=芷.在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图BDBC根据已学的相似三角形的知识，易证:2,点E是直线AC上一动点，连nm(1)探究发现：如图，若m=n,点E在线段AC上，则旦=DF接DE,过点D作FDED,交直线BC于点F,(2)数学思考:riff如图3,若点E在线段AC上，则芳=二(用含m,n的代数式表示)；m(3) 当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明;拓展应用：若AC=J,BC=2妨,DF=村，请直接写出CE的长.。图1到用图)AED2?3C图Ee图4&F【解答】解：(1)当m

16、=n时，即：BC=AC,.ZACB=90,./A+ZABC=90,CDAB,ZDCB+/ABC=90,ZA=ZDCB,.ZFDE=/ADC=90,/FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即ZADE=ZCDF,DE一DF1DC.ADEsCDF,.ZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90,.ADCsCDB,.也宓DE1一1“DF_1BCDC故答案为1.(2)/ACB=90,./A+ZABC=90,.CDAB,ZDCB+/ABC=90,ZA=ZDCB,.ZFDE=ZADC=90,/FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即ZADE=ZCDF,AADEACDF|de_ADDFDCZA=ZDCB,z匕AD

17、C=ZBDC=90,EAC_口MnDC，BCmDFm故答案为2m.ADCsCDB,成立.如图,/Z.4CB-90,二匕十匕45。=如”,又CDABf/.Zx；匕FDE=DC=9。”，二Z.FDE匕CDE=ZADC+Z.CDE,即Z-ADE-Z.CDF,:qADEsXDF,DFDCZa=ZDCB,ZADC=ZBDC=90；.A.WCACD5j-ADACn*DEnft=JnIiiDCBCmDFm(3)由(2)有，ADEsCDF,.CF=2AE,在RtADEF中，DE=四仓，DF=4也，-EF=血，十DF，=J（板再（蛎）卜2七而当E在线段AC上时，在RtCEF中，_CF=2AE=2(AC-CE)=

18、2-CE),EF=LO,根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2,-CE2+2(V5-CE)2=40CE=2S，或CE=(舍)而AC=匚vCE,此种情况不存在， 当E存廷长线上E寸，在RtACJTF中.CF=2AE=2=2（诟十根据勾股定理得，gCF：=gr.CE1+2（侣CE）或宓=-2诉（苦L5 那图，】，当点M在a延K城上时，CF=24=2（CE-AC）=2欣=2寸讪根据勾腹定理得，CFCF-=EF-reW（c-V5）F=4o,，C巴二2诉，或CE二-旦医舍）5艮队既二2膳成CE=巡项6.（2019贵阳适应性）如图，已知AC=BCACLBC,直线MN经过点B,过点A作ADMN,垂足为D,连

19、接CD（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图中，猜想CDBD与AD之间的数量关系，并说明理由；(3) 探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图，爸爸在A处,妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且ACLBC,ADLMN,AC=BCAD=100m,CD=40m,求出小明到公园门口的距离BD的长度.眸答】fle：(j)彳图补充完莹;a圈所示：(2)DADB=yflCDt理曰就卜：作LJEldD还的建壬线于E,作?F.BD+F.则四波抠为中聘-M/TE二9伊，胃弁1二9站,-小LF,在中，Z.SCF-/.ACEabfc-aecF-cn+二BF+iiFV)EAE-lDr-2CD:(3)作CE1AD于E作CFLBD交的廷损线于F,由(可知四边形CD为正方形F丝:.BD=BF-DF=AD-DE-DF-AD-2CD=100-4041,答：小明到公园门ZI的距离80的长度为(100-40V2)m.