第四章根轨迹

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1、4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试概略绘制闭环系统根轨迹。K *(s +1) G 7(7+27 G(s) = K *(s + 2)s (s + 1)解：（1）系统的开环传递函数G(s)-s(s + 2) 实轴上的根轨迹：（-8，-2，-1，0。0 2（1） 根轨迹渐近线： a 一1 ,a 兀。2 1系统概略根轨迹如图4-4（1）所示。图 4-41）2）系统的开环传递函数G (s) = K *(s + 2)s (s + 1) 实轴上的根轨迹：（-8,-2, -1, 0。0 1 （ 2） 根轨迹渐近线： a 1,a2 1 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1 1 1解得 d = 2

2、+ p2 , d2 = 2 2。根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图 4-4（2）所示。图 4-4( 2 )K *(s +1)4-6系统开环传递函数为G(s)H(s)= s(s + 2)(s + 4)，试概略绘制闭环系统的根轨迹。解：系统的开环传递函数G (s) H (s)=K*(s +1)s( s + 2)( s + 4) 实轴上的根轨迹：(-4，-2，-1，0。0 - 2 - 4 - (-1) 根轨迹渐近线：b a二=一2.5,a3 -1 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1 1 1 1+ + =d d+2 d +4 d +11 =土一兀a2求得分离点坐标 d=-2.91。根据以上几点

3、，可以画出概略根轨迹如图4-6所示。图 4-64-7单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K*s( s + 1)(s + 4)( s 2 + 5s +16),试概略绘制闭环系统的根轨迹。 解：系统的开环传递函数为G (s)=K *s (s + 1)(s + 4)( s + 2.5 - 3.1225i)( s + 2.5 + 3.1225i) 实轴上的根轨迹：(-8,-4, -1, 0。p + p + p + p + p c 長 13 根轨迹渐近线：b a二12 545 = 一2,a = -兀,土-兀,兀。 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足11111+ + + + d + p d + p

4、 d + p d + p d + p 12345求得分离点坐标为 d=-0.43根据以上几点,可以画出概略根轨迹如图4-7所示。1050-5图 4-74-9设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=人*(s：0,试概略绘制闭环系统的根轨 s 2( s + 10)迹。 解：系统的开环传递函数K*(s+1) s 2( s + 10) 实轴上的根轨迹：(-10, -1。 根轨迹渐近线：1= 兀a2o - 0 -10-(-1) = 一453-1 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1 1 1 1 + + =d d d +10 d +1求得分离点坐为d 1 = 一2.5 ,d2 = -4。根据以上

5、几点，可以画出概略根轨迹如图4-9 所示。图 4-94-11单位负反馈系统的开环传递函数G(s)=K *s (s + 0.5)( s 2 + 0.6 s +10),试概略绘制闭环系统的根轨迹。 解：系统开环传递函数K *s( s + 0.5)(s 2 + 0.6 s +10)K *s( s + 0.5)(s + 0.3 + 3.14 8i)( s + 0.3 - 3.148i) 实轴上的根轨迹：(-0.5，0。p + p + p + p 一 工 13 根轨迹渐近线：b a = 1234 = 一0.275，a = 兀，土兀。a4a 44 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1111+ + +d

6、 + p d + p d + p d + p1234求得分离点坐标为 d=-0.25根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-11 所示。图 4-11K*4-12系统的开环传递函数为G(s)H(s)= s( s + 2)( s + 7)(1) 试概略绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统稳定的K*的最大值； 确定阻尼比e =0.707时的K*值。 解：(1)系统开环传递函数K*G (s) H (s)=-s( s + 2)( s + 7) 实轴上的根轨迹：5,-7, -2, 0。 根轨迹渐近线：& a二0 - 27=3,。= 3兀,兀。 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足求得分离点坐标 d=-0.

7、92。根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-12所示(2) 由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程D(s)二 s(s + 2)(s + 7) + * 二 s 3 + 9s 2 + 14s + * 二 0令s二jw，将其代入上式可得(jw)3 + 9( jw)2 +14( jw) + * 二 0即 _9 W2 + * 二 0一 W3 +1 4w = 0 由于w工0,故可得w = 苗,K* 二 126则系统稳定的K *的最大值为126。在图中画出阻尼比为0.707时的射线与根轨迹相交得到的闭环极点位置so，得到六个向量-Pi)，( So-P2)，( S0 - P3)由幅值方程，有K *|(s

8、o - P1)(So - P2)(S0 - P3)由图中可测得阻尼比为0.707时的主导极点s0 =-0858 858j，计算所对应的K*=10&86420-2-4-60.707 宀 一 /4/0.7071 1 1 1图 4-124-13单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K *s( s + 2)( s + 5)(1) 试概略绘制系统的根轨迹；确定引起振荡响应时K*的最小值和连续振荡发生之前K*的最大值;(3) 找出K*足够大而引起连续振荡时的频率。 解：系统的开环传递函数G (s)=K *s (s + 2)( s + 5) 实轴上的根轨迹：(-8,-5, -2, 0。 根轨迹渐近线：ba

9、二5二-3,。= 1兀,兀。 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1 1 1 _n+ + 0d d + 2 d + 5求得分离点坐标 d=-0.88。 根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-13 所示。 在分离点处的K*值为引起振荡的K*的最小值，由幅值方程可得K * minmm(d - p)(d - p )(d - p )23把d=-0.88代入上式可得，K *min二4.06。由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程D(s)二 s( s + 2)(s + 5) + K * 二 s 3 + 7 s 2 + 10s + K * 二 0 令s二jw，将其代入上式可得(jw)3 + 7( j

10、W)2 +10( jw) + K * 二 0即-7 W2 + K * = 0一 W3 +1 0w = 0由于w工0,故可得w = J帀，K* 二 70根轨迹与虚轴的交点时的K*值为引起振荡的K*的最大值，因此K* 二 700max(3)由第(2)步可得K*足够大而引起连续振荡时的频率为 w 二 ：10 086420-2-4-6图 4-134-14系统的闭环特征方程D(s)二s2 + (3 + a)s + a二0，试绘制系统以参数a为变量的根轨迹0解：由系统的闭环特征方程D( s) = s2 + (3 + a) s + a = s2 + 3s + a( s +1) = 0可得到系统的等效开环传递

11、函数a (s +1) G(s)二s 2 + 3s 实轴上的根轨迹：(-8,-1。0 - 3 - (-1) 根轨迹渐近线：b a二=一2 ,a =n 02-1根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-14 所示。-0.5 1111-10 -8 -6 -4 -2 0 2图 4-14K*4-17单位正反馈系统的开环传递函数为G(s)=，试概略绘制闭环系统的根s (s + 1)(s + 2)轨迹。 解：单位正反馈系统的开环传递函数G (s)=K *s( s + 1)(s + 2) 实轴上的根轨迹： -2，-1，0，+8)。 根轨迹渐近线：a=0 一 1一2=一1,。二0, 土 2 根轨迹的分离点：根轨迹

12、的分离点坐标满足求得分离点坐标 d=-1.58。根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-17所示。-52.5-4 -3 -2 -1012图 4-174-18单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=，试概略绘制闭K *( s + 2)s (s 2 + 2 s + 2)( s + 5)(s + 6)环系统的根轨迹，并求出阻尼比为0.4时的主导极点所对应的K*值。 解：系统的开环传递函数亠、K *(s + 2)K *(s + 2)G (s)=s (s 2 + 2 s + 2)( s + 5)( s + 6)s( s +1 + j)(s +1 - j)(s + 5)( s + 6) 实轴上的根轨迹：-

13、6,-5， -1， 0。0 -仃 + j)-仃一j) - 5 - 613 根轨迹渐近线：b a二5-1=一3.25，a = 4兀,土 4兀。 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足 111111+ + + + =d+ p d+p d+p d+p d+p d+z 12345求得分离点坐标 d=-5.54。 根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-18所示。在图中画出阻尼比为0.4时的射线与根轨迹相交得到的闭环极点位置s，得到六个向量04050(s - p ),(s - p ),(s - p ),(s - p ),(s - p ),(s - z) 0102030由幅值方程，有l(s0 一 P1)(

14、s0 一 P2)(s0 一 P3)(s0 一 P4)(s0 一 P5)_1K *|(s0 -z)|由图中可测得阻尼比为0.4时的主导极点s0 =-0.431.03j，计算所对应的K*=19。50.4丁/32 1 1 切1/0.4110图 4-184-19单位负反馈系统的开环传递函数G(s)=，试概略绘制闭环系统的根轨(s + 2)(s - 0.5)迹，并确定使系统稳定的K*值范围及系统的阶跃响应不出现超调的K*最大值。 解：系统的开环传递函数G( s)= K *( s2 2s + 5) = K *( s -1 + 2 j)(s -1 - 2 j)S (s + 2)( s - 0.5) 实轴上的

15、根轨迹：-2，1。 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1 1 1 1+ = +d+ pd+pd+zd+z1 2 1 2求得分离点坐标 d=-0.4。 根据以上几点，可以画出概略根轨迹如图4-19所示。 由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程D(s)二(s + 2)(s - 0.5) + K *(s2 - 2s + 5)二 0 令s二jw，将其代入上式可得(1+ K *)( jw)2 + (1.5 - 2 K *)( jw) + 5 K *-1 二 0即-(1+ K*)w2 + 5K *-1 二 0(1. - K W 手 0由于w工0，故可得w = 1.25，K* 二 0.75因此使系统稳定的K*范围为0 K* 0.75。在根轨迹的分离点d=-0.4处的K*值为系统的阶跃响应不出现超调的K*最大值把 d=-0.4 代入幅值方程可求得w 二 0.4 , K* 二 0.24即系统的阶跃响应不出现超调的K*最大值为0.24。图 4-19