三角函数(一轮复习教案)

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1、TOC o 1-3 h z u 第三章三角函数PAGEREF _Toc402597157 h 1第一节角的概念与任意角的三角函数2第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式9第三节三角函数的图象与性质16第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的应用24第五节和角公式37第六节倍角公式与半角公式45第七节正弦定理和余弦定理53第八节正弦定理、余弦定理的应用举例61第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主1主要考查三角函数的图象及性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新2客观题主要涉及三角

2、函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象及性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识3高考命题中，本章常及平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背2突出数学思想方法应深刻理解数及形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、

3、切化弦、三角函数归一的方法技能3抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知及待求中角的关系，力争整体处理4注意三角函数及向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节角的概念及任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念2能进行弧度及角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义考点梳理：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角及轴线角(3)若及是终边相同的角，则用表示为2k(kZ)2弧度及角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1

4、弧度的角(2)角的弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为rad，则.(3)角度及弧度的换算nnrad； rad().(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则lr，扇形的面积为Slrr2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边及单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦4单位圆及三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆(2)三角函数线(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点

5、都是(1,0)思考：1“角为锐角”是“角为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件2终边在直线yx上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等学情自测：1已知锐角终边上一点A的坐标是(2sin ，2cos )，则弧度数是()A2B.C.D.【解析】点A的坐标为(，1)sin ，又为锐角，.【答案】C2(2012江西高考)下列函数中，及函数y定义域相同的函数为()Ay ByCyxex Dy【解析】函数y的定义域为x|x0，选项A中由sin x0xk，kZ，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定

6、义域确定方法可知定义域为x|x0，故选D.【答案】D3若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin 0，得在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan 0，在第三象限【答案】C4弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_【解析】l3，135，r4，Slr346.【答案】465已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.【解析】由三角函数的定义，sin ，又sin 0，y0且，解之得y8.【答案】8典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，

7、求所在的象限【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解(2)把写成集合的形式，从而的集合形式也确定【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为|2k，kZ，当角的终边在第三象限时，角的集合为|2k，kZ，故所求角的集合为|2k，kZ|2k，kZ|k，kZ(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角, 变式训练1：若角的终边及角的终边相同，则在0,2)内终边及角的终边相同的角为_【解析】2k(kZ)，k(kZ)，当k0,1,2时，.【答案】，例2（弧度制的应用）已

8、知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角；(3)利用S弓S扇S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积【解答】(1)l10(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10，2 rad.(3)设弓形面积为S弓由题知lcm，S

9、弓S扇S222sin ()(cm2)变式训练2：已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB为等边三角形因此弦AB所对的圆心角.(2)由扇形的弧长及扇形面积公式，得lR10，S扇形RlR2.又SAOBOAOBsin 25.弓形的面积SS扇形SAOB50().例3（三角函数的定义）(1)已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()AB.C4D4(2)已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【思路】(1)求出点P到原点O的距离，根据三

10、角函数的定义求解(2)在直线上设一点P(4t，3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论【解答】(1)点P到原点O距离|OP|，cos ，m4.【答案】C(2)在直线3x4y0上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r|PO|5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当t0时，sin ，cos ，tan .当t0时，sin ，cos ，tan .变式训练3：设90180，角的终边上一点为P(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos

11、 ，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.则r2，sin ，tan .故4sin 3tan .小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边及单位圆的交点2利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧三点注意1.第一象限角、锐角、小于90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制及弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题课后作业(十六)角的概念及任意角的三角函数一、选

12、择题图3121(2013宁波模拟)如图312，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )【解析】设P(x，y)，由三角函数定义知sin y，cos x，故点P的坐标为(cos ，sin )【答案】A2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2 C. D2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.【答案】C3(2013海淀模拟)若k360，m360(k，mZ)，则角及的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对

13、称C关于x轴对称 D关于y轴对称【解析】由题意知角及角的终边相同，角及角的终边相同，又角及角的终边关于x轴对称，故选C.【答案】C4若角的终边在直线y2x上，且sin 0，则cos 和tan 的值分别为()A.，2 B，C，2 D，2【解析】由题意知，角的终边在第二象限，在角的终边上取点P(1,2)，则r，从而cos ，tan 2，故选D.【答案】D5(2013昆明模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A. B. C D【解析】由题意知x0，r，cos x，x29，x3，tan .【答案】D6已知点P(sin ，cos )在角的终边上，且0,2)，则的

14、值为()A. B. C. D.【解析】由已知得P(，)，tan 1且是第四象限角，.【答案】D二、填空题7(2013潍坊模拟)若角120的终边上有一点(4，a)，则a的值是_【解析】由题意知tan 120，a4.【答案】48已知角的终边落在直线y3x(x0)上，则_.【解析】因为角的终边落在直线y3x(x0)上，所以角是第二象限角，因此sin 0，cos 0，故112.【答案】29点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_【解析】由题意知点Q是角的终边及单位圆的交点，设Q(x，y)，则ysin ，xcos ，故Q(，)【答案】(，)三、解答题10已知角

15、的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值【解】的终边过点(x，1)(x0)，tan ，又tan x，x21，x1.当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .11已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6，(1)求的长；(2)求所在弓形的面积【解】(1)120，r6，的长l64.(2)S扇形OABlr4612，SABOr2sin 629，S弓形S扇形OABSABO129.12角终边上的点P及A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q及A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan

16、 tan 的值【解】由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以，sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin cos sin cos tan tan (2)1.第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan (k，kZ)2诱导公式组数一二三四五角2k(kZ)(2k1)(kZ)正弦sin sin_sin_cos_co

17、s_余弦cos cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_口诀函数名不变符号看象限思考：1有人说sin(k)sin()sin (kZ)，你认为正确吗？【提示】不正确当k2n(nZ)时，sin(k)sin(2n)sin ；当k2n1(nZ)时，sin(k)sin(2n)sin()sin .2sin()如何使用诱导公式变形？【提示】sin()sin()sin .学情自测：1已知cos()，且是第四象限角，则sin ()AB.C.D【解析】cos()cos()cos ，cos ，又是第四象限角，sin 0，则sin .【答案】A2已知sin()cos(2)，|，则等于()A B C

18、. D.【解析】由sin()cos(2)得sin cos ，tan ，又|，故选D.【答案】D3sin 585的值为()A B. C D.【解析】sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45.【答案】A4若cos 且(，)，则tan ()A. B. C D【解析】cos ，且(，)，sin ，tan .【答案】B5(2012辽宁高考)已知sin cos ，(0，)，则sin 2()A1 B C. D1【解析】因为sin cos ，所以12sin cos 2，即sin 21.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013潍坊模拟)已知5

19、，则sin2sin cos 的值是()A.BC2D2(2)(2013银川模拟)已知(，)，tan 2，则cos _.【思路】(1)先根据已知条件求得tan ，再把所求式变为用tan 表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin2cos21求解【解答】(1)由5，得5，即tan 2.所以sin2sin cos .(2)依题意得由此解得cos2；又(，)，因此cos .【答案】(1)A(2),变式训练1：(2012大纲全国卷)已知为第二象限角，sin ，则sin 2()ABC.D.【解析】为第二象限角且sin ，cos ，sin 22sin cos 2().【答案】A例2（诱导公式的应用）(1)已知t

20、an 2，sin cos 0，则_.(2)已知为第三象限角，f()，化简f()；若cos()，求f()的值【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan 2，结合的范围和同角三角函数关系式求解；(2)直接利用诱导公式化简约分利用在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f()【解答】(1)原式sin ，tan 20，为第一象限角或第三象限角又sin cos 0，为第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .【答案】(2)f()cos .cos()，sin ，从而sin .又为第三象限角，cos ，f().变式训练2：(1)(2013烟台模拟)sin

21、 600tan 240的值等于()AB.C.D.(2)(2013台州模拟)已知f(x)asin(x)bcos(x)4(a，b，为非零实数)，若f(2 012)5，则f(2 013)()A3 B5 C1 D不能确定【解析】(1)sin 600tan 240sin(360240)tan(18060)sin(18060)tan 60sin 60tan 60.(2)f(2 012)asin(2 012)bcos(2 012)4asin bcos 45，asin bcos 1，f(2 013)asin(2 013)bcos(2 013)4asin bcos 4(asin bcos )4143.【答案】(

22、1)B(2)A例3（sin cos 及sin cos 的关系）(2013扬州模拟)已知x0，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值； (2)求的值【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin xcos x及sin xcos x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来【解答】(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xco

23、s x.(2).变式训练3：已知x0，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求tan x的值【解】(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，即2sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x.又x0，sin x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.(2)由(1)得sin xcos x，故由，得sin x，cos x，tan x.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系

24、时，若开方，要注意判断三角函数值的符号三种方法在求值及化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 进行弦、切互化(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan 等课后作业(十七)同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题1(2013郑州模拟)记cos(80)k，那么tan 100()A. BC. D【解析】由cos(80)k，得cos 80k，sin 80，tan 100tan(18080)tan 80.【答案】B2(2013温州模拟)若cos()，且|，则tan ()A

25、 B. C D.【解析】cos()，sin ，即sin ，|，tan tan().【答案】A3(2013济南模拟)已知(，0)，sin()则sin()()A. B. C D【解析】sin()sin()cos ，且(，0)，sin ，sin()sin()sin .【答案】D4(2013保定模拟)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2()A B. C D.【解析】sin2sin cos 2cos2.【答案】D5(2013普宁模拟)若2，则的值为()A B. C. D【解析】2，sin 3cos ，由得cos2，.【答案】C6若sin 是5x27x60的根，则()A. B. C. D.

26、【解析】方程5x27x60的两根为x1，x22，则sin .原式.【答案】B二、填空题7已知sin()，则sin()的值为_【解析】sin()sin()sin().【答案】8(2013青岛模拟)已知tan 2，则7sin23cos2_.【解析】7sin23cos2.【答案】9已知sin(x)，则sin(x)cos2(x)_.【解析】原式sin(x)cos2(x)(1).【答案】三、解答题10已知函数f(x).(1)求函数yf(x)的定义域；(2)设tan ，求f()的值【解】(1)由cos x0，得xk，kZ，所以函数的定义域是x|xk，kZ(2)tan ，f()1tan .11已知tan()

27、a.求证：.【证明】由已知得左边右边，所以原等式成立12在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角【解】由已知得22得2cos2A1，即cos A或cos A.(1)当cos A时，cos B，又A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B.又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.第三节三角函数的图象及性质学习目标：1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及及x轴的交点等)，理解正切函数在区间(

28、，)内的单调性.考点梳理：1周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xk，kZ值域1,11,1R单调性递增区间是2k，2k(kZ)；递减区间是2k，2k(kZ)递增区间是2k，2k(kZ)；递减区间是2k，2k(kZ)递增区间是(k，k)(kZ)最大值和最小值ymax1；ymin1yma

29、x1；y min1无最大值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ(k，0)，kZ(，0)，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴最小正周期22思考：1是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定如常数函数f(x)a，每一个非零数都是它的周期2正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心及函数图象的关键点是什么关系？【提示】ysin x及ycos x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点学情自测：1函数ytan 3x的定义域为()Ax|x3k，kZBx|xk，kZCx|xk，kZ Dx|x，kZ【解析】由3xk，kZ得x，kZ，故

30、选D.【答案】D2函数f(x)2cos(x)是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为2的非奇非偶函数D最小正周期为的偶函数【解析】f(x)2cos(x)2cos(x)2sin x，故f(x)是最小正周期为2的奇函数【答案】A3(2012福建高考)函数f(x)sin(x)的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx【解析】法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.法二x时，ysin()0，不合题意，排除A；x时，ysin()，不合题意，排除B；x时，ysin()1，符合题意，C项正确；而x时，ysin()，不合题意，故D

31、项也不正确【答案】C4比较大小：sin()_sin()【解析】0，sin()sin()【答案】5函数y23cos(x)的最大值为_，此时x_.【解析】当cos(x)1时，函数有最大值5，此时，x2k，kZ，即x2k，kZ.【答案】52k，kZ典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012山东高考)函数y2sin()(0x9)的最大值及最小值之和为()A2B0C1 D1(2)函数y的定义域为_【思路】(1)先确定的范围，再数形结合求最值；(2)由tan x10且xk，kZ求解【解答】(1)0x9，x，sin(x)，1y，2，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有即故函数的定义

32、域为x|xk且xk，kZ【答案】(1)A(2)x|xk且xk，kZ,变式训练1：(1)函数y的定义域为_(2)当x，时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_【解析】(1)由2sin x10得sin x，2kx2k，kZ，故函数的定义域为2k，2k(kZ)(2)x，sin x1，又y3sin x2cos2x2sin2xsin x12(sin x)2，当sin x时，ymin，当sin x1或时，ymax2.【答案】(1)2k，2k(kZ)(2)2例2（三角函数的单调性）(2012北京高考)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间【思

33、路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把x当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑【解答】(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin(2x)1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysin x的单调递减区间为2k，2k(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)变式训练2:(2013武汉模拟)已知函数ysi

34、n(2x)，求：(1)函数的周期；(2)求函数在，0上的单调递减区间【解】由ysin(2x)可化为ysin(2x)(1)周期T.(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以xR时，ysin(2x)的减区间为k，k，kZ.取k1,0可得函数在，0上的单调递减区间为，和，0.例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f(x)sin(x)(0，|)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线x成轴对称图形；它的图象关于点(，0)成中心对称图形；在区间，0)上是增函数以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)【思路】本题是一个开放性题目，

35、依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断【解答】若、成立，则2；令2k，kZ，且|，故k0，.此时f(x)sin(2x)，当x时，sin(2x)sin 0，f(x)的图象关于(，0)成中心对称；又f(x)在，上是增函数，在，0)上也是增函数，因此，用类似的分析可得.因此填或.【答案】或,变式训练3：已知函数f(x)sin(x)1，则下列说法正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T2，f(x)sin(x)1cos x1，因此函数f(x)是偶函数，故选B.【答案】B小结：两条性

36、质1.若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题课后作业(十八)三角函数的图象及性质一、选择题1(2013银川模拟)下列函数中，最小正周期为，且图

37、象关于直线x对称的函数是()Ay2sin(2x) By2sin(2x) Cy2sin() Dy2sin(2x)【解析】根据函数的最小正周期为，排除C，又图象关于直线x对称，则f()2或f()2，代入检验知选B.【答案】B2函数ytan(x)的定义域是()Ax|x Bx|x Cx|xk，kZ Dx|xk，kZ【解析】ytan(x)tan(x)，由xk，kZ，得xn，kZ，故选D.【答案】D3函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B，1C，1 D1，【解析】f(x)(sin x)2，sin x1,1，f(x)1，f(x)的值域为，1【答案】C4(2013日照质检)函数ysin 2x的图

38、象向右平移(0)个单位，得到的图象关于直线x对称，则的最小值为()A. B. C. D以上都不对【解析】函数ysin 2x的图象平移后所得图象对应的函数解析式为ysin 2(x)sin(2x2)，其图象关于x对称，所以22k(kZ)，解得(kZ)，故当k1时，的最小值为.【答案】A5(2013北京模拟)已知函数f(x)sin xcos x，设af()，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbac Dbca【解析】f(x)sin xcos x2sin(x)，函数f(x)的图象关于直线x对称，从而f()f(0)，又f(x)在0，上是增函数，f(0)f()f()，即ca

39、b.【答案】B6已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x)在区间4，6上是减函数【解析】T6，2k，2k(kZ)，令k0得.f(x)2sin()令2k2k，kZ，则6kx6k，kZ.易知f(x)在区间2，0上是增函数【答案】A二、填空题7(2013延吉模拟)已知f(x)Asin(x)，f()A，f()0，|的最小值为，则正数_.【解析】由|的最小值为知函数f(x)的周期T，.【答案】8已知函数f(x)3sin(x)(0)和

40、g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同，若x0，则f(x)的取值范围是_【解析】依题意得2，所以f(x)3sin(2x)因为x0，所以2x，所以sin(2x)，1，所以f(x)，3【答案】，39已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题是_【解析】f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x，时，2x，故是真命题；因为f()sin ，故f(x)的图象关于直

41、线x对称，故是真命题【答案】三、解答题10已知函数f(x)sin xcos xsin2x，(1)求f()的值；(2)若x0，求f(x)的最大值及相应的x值【解】(1)f(x)sin xcos xsin2x，f()sin cos sin2()2()21.(2)f(x)sin xcos xsin2xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，由x0，得2x，所以，当2x，即x时，f(x)取到最大值为.11设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x，(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间【解】(1)直线x是函数f(x)图象的一条对称轴，2k，kZ，即k，

42、kZ，又0，.(2)由(1)知f(x)sin(2x)，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.因此yf(x)的单调增区间为k，k，kZ.12(2013潍坊模拟)已知向量a(Asin x，Acos x)，b(cos ，sin )，f(x)ab1，其中A0，0，为锐角f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当x时，f(x)取得最大值3.(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移(0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求的最小值【解】(1)f(x)ab1Asin xcos Acos xsin 1Asin()1，f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，

43、T，2.当x时，f(x)的最大值为3，A312，且有22k(kZ)2k，为锐角，.f(x)2sin(2x)1.(2)由题意可得g(x)的解析式为g(x)2sin2(x)，g(x)为奇函数，2k，(kZ)，0，当k1时，取最小值.第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点梳理：1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用

44、五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0 3.由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移思考：1五点作法作yAsin(x)的图象，首先确定哪些数据？【提示】先确定x，即先使x等于0，2，然后求出x的值2在图象变换时运用“先平移后伸缩”及“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】可以看出，前者平移|个单位，后者平移|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定

45、要注意平移及伸缩的先后顺序，否则会出现错误学情自测：1已知简谐运动f(x)2sin(x)(|)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6，BT6，CT6， DT6，【解析】由题意知f(0)2sin 1，sin ，又|，又T6，故选A.【答案】A2把ysin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图象，则的值为()A1B4 C.D2【解析】横坐标变为原来的2倍，则x变为x，故得到的函数解析式为ysin x，故选C.【答案】C3将函数ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向右平行移动个单位，得到图象的函数解

46、析式为()Aysin(2x) Bysin(2x)Cysin(x) Dysin(x)【解析】将ysin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为ysin x，再把所得图象上所有点向右平移个单位，得到的图象解析式为ysin (x)sin(x)【答案】D4已知函数yAsin(x)(0，|)的部分图象如图341所示，则()图341A1，B1，C2， D2，【解析】由图象知A1，T4()，2，排除A，B，再由2，得.【答案】D5(2012安徽高考)要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向左平移个单位 D

47、向右平移个单位【解析】ycos(2x1)cos 2(x)，只要将函数ycos 2x的图象向左平移个单位即可，故选C.【答案】C典例探究：例1（函数yAsin(x)的图象变换）(1)(2012浙江高考)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()(2)(2013大连模拟)设0，函数ysin(x)2的图象向右平移个单位后及原图象重合，则的最小值是()A.B.C.D3【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后及原图象重合，则平移量是周期的整数倍【解答】(1)ycos 2x1ycos x1ycos(x1)1ycos(x1)结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T，由题意知kT，kZ，T，k，kZ，又0，k1时，有最小值，故选C.【答案】(1)A(2)C变式训练1：(1)(2013济南模拟)要得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)(2013青岛质检)将函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为()Ays