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1、第四章第四章 图形的认识与三角形图形的认识与三角形 第第 14 讲讲 三角形与全等三角形三角形与全等三角形考点梳理考点梳理 定义定义有关定理及结论有关定理及结论高高过三角形的一个顶点向对边作垂线段，顶点与垂足间的线段三角形的三条高相交于一点锐角三角形的三条高都在三角形内；钝角三角形中钝角两边上的高在三角形外，另一条在三角形内；直角三角形两条高为两条直角边，斜边上的高在三角形内中线中线连接三角形的顶点与对边中点的线段三角形三条中线相交于一点，交点叫做重心，都在三角形内；三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形角平分线角平分线三角形顶点出发的角的平分线与对边交点间的线段三角形的三条
2、角平分线相交于一点，交点叫做内心，都在三角形内中位线中位线连接三角形任意两边中点的线段三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半三角形的边角关系三角形的边角关系三角形的三边关三角形的三边关系系三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边三角形内角和定三角形内角和定理理三角形三个内角的和等于180三角形内角和定三角形内角和定理的推论理的推论(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角；(3)三角形的外角和等于360；(4)直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形；(5)一个三角形的三个内角中至少有两个锐角1全等三
3、角形全等三角形的性质全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；对应角相等；对应边上的高、中线相等；对应的角平分线相等；周长相等；面积相等2全等三角形的判定简称简称判定内容判定内容一般三角形的全等判定 “边角边”或“SAS”两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等“角边角”或“ASA”两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等“角角边”或“AAS”两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等“边边边”或“SSS”三边分别相等的两个三角形全等直角三角形的全等判定“斜边、直角边”或“HL”斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 典型例题运用典型例题运用 类型类型1 三角形三边关系的综合应用三角形
4、三边关系的综合应用 【例1 1】 若等腰三角形的两边长为4和7，则该等腰三角形的周长为(D)A12或21 B15 C18 D15或18D D当4为底时，其它两边都为7，4、7、7可以构成三角形，周长为18；当7为底时，其它两边都为4，7、4、4可以构成三角形，周长为15，故答案是15或18.变式运用 已知a，b，c为ABC的三边，化简：|abc|abc|abc|a3bca3bc|abc|abc|abc|(abc)(abc)(abc)abcabcabca3bc.变式运用 2018原创若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足 (b2)20，则第三边c的取值范围是1c592a1c5由题意，得a290
5、，b20，解得a3(边长为正数)，b2.321，325，1c5.类型类型2 2 三角形的角度计算三角形的角度计算【例2 2】 2017丰县模拟如图，在ABC中，C90，BE平分ABC，AF平分外角BAD，BE与FA交于点E，求E的度数【自主解答】 设ABCx，BAD是ABC的外角，C90，BADABCC90 x.AF平分外角BAD，DAF BAD (90 x)设AC与BE交于点G，EAGDAF (90 x)BE平分ABC，CBE ABC x，AGEBGC90CBE90 x.EEAGAGE180，即E (90 x)90 x180，解得E45.2121212121212121变式运用 2017重庆
6、模拟将一副直角三角板如图放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为(D)A30 B45 C60 D75D D如图，2904545(直角三角形两锐角互余)，3245，1330453075变式运用 如图所示，在ABC中，D是BC边上一点，12，34，BAC63，则DAC的度数为24 24设12x，则342x.BAC63，24117，即x2x117，x39，3478，DAC1803424.类型类型3 3 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定【例3 3】 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC中，ABBC，ABC90，BOAC于点
7、O，点P，D分别在AO和BC上，PBPD，DEAC于点E，求证：BPOPDE.(1)理清思路，完成解答，本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程(2)特殊位置，证明结论若BP平分ABO，其余条件不变求证：APCD.(3)知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系(不必写解答过程)变式运用 2017苏州模拟如图，在ABC中，ABCB，ABC90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BEBD，连结AE，DE，DC. (1)求证：ABECBD；(2)若CAE30，
8、求BDC的度数解：(1)证明：在ABE和CBD中，ABECBD(SAS)(2)ABECBD，AEBBDC.AEB为AEC的外角，AEBACBCAE304575，则BDC=75 六年真题全练六年真题全练命题点命题点1 1 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 1 12017德州观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2，图3)，则图6中挖去三角形的个数为(C)A121 B 362 C364 D729C C图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(13)个小三角
9、形，图3挖去中间的(1332)个小三角形，则图6挖去中间的(1332333435)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形2 22015德州如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下面四个结论：OAOD；ADEF；当A90时，四边形AEDF是正方形；AE2DF2AF2DE2.其中正确的是(D) A B C DD DAD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DEADFA90，DEDF.又ADAD，ADEADF(HL)，AEAF，ADEF，故不正确，正确；DEADFA90，A90，四边形AEDF是矩形又DEDF，四边形AEDF是正方形，故正确；AEAF，DEDF
10、，AE2DF2AF2DE2，故正确3 32012德州不一定在三角形内部的线段是(C) A三角形的角平分线 B三角形的中线 C三角形的高 D三角形的中位线C C因为在三角形中，它的中线、角平分线、中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形中钝角两边上的高在三角形的外部故选C.猜押预测 如图，已知ABC中，ACB90，CD为AB边上的高，ABC的平分线BE分别交CD，CA于点F，E，则下列结论正确的有(A)CFECEF；FCBFBC，ADCB；CFE与CBF互余 AB C DA A如图所示，BE平分ABC，56.3490，A390，A4.1A6，245，12，故CFECEF，所以正确；若FCBFBC，
11、即45，由可知A4，A56.A5690，A30，即只有当A30时，FCBFBC，而已知没有这个条件，故错误；3490，A390，A4，即ADCB，故正确；12，1590，2590，即CFE与CBF互余，故正确命题点命题点2 2 全等三角形4 42016德州在矩形ABCD中，AD2AB4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设AEM(090)，给出下列四个结论：AMCN；AMEBNE；BNAM2；SEMN .上述结论中正确的个数是(C) A1 B2 C3 D4cos22C C在矩形ABCD中，A
12、D2AB4，E是AD的中点，AEABDECD2.如图，连接EB，EC，易得BAE和CDE都是等腰直角三角形，BECE，ABEECN45.由互余角可得12，BEMCEN，BMCN，EMEN，故错误；又BNEDEN，MENA90，由互余角得AMEDENBNE，故正确；BNBCCN4CN，AMABBM2CN，BNAM2，故正确；在RtEAM中，EM ，EMEN ，SEMN EMEN ，故正确cos2cos22121cos2cos2cos225 52013德州如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上下列结论： CECF；AEB75；BEDFEF；S正方形ABC
13、D2 .其中正确的序号是(把你认为正确的都填上)3四边形ABCD是正方形，ABAD，BD90.AEF是等边三角形，AEAF.在RtABE和RtADF中，RtABERtADF(HL)，BEDF.BCCD，BCBECDDF，CECF，正确；CECF，ECF是等腰直角三角形，CEF45.AEF60，AEB75，正确；连接AC，交EF于点G，ACEF，且AC平分EF.CAFDAF，FGDF，BEDFEF，错误；EF2，CECF .设正方形的边长为a，在RtADF中，AD2DF2AF2，即a2(a )24，解得a ，则a22 ，S正方形ABCD2 ，正确22262 336 62014德州问题背景：如图1
14、，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G.使DGBE.连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；21实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东
15、方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离解：问题背景：EFBEDF.探索延伸：EFBEDF仍然成立理由如下：图1图2如图1，延长FD到点G，使DGBE，连接AG.BADC180，ADCADG180，BADG.在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)AEAG，BAEDAG.EAF BAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAF BAD.EAFGAF.2121在AEF和AGF中， AEFAGF(SAS)EFGF.FGDGDFBEDF，EFBE
16、DF.实际应用：如图2，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB3090(9070)140，EOF70，EOF AOB.又OAOB，OACOBC(9030)(7050)180，符合探索延伸中的条件结论EFAEBF成立即EF1.5(6080)210(海里)此时两舰艇之间的距离为210海里217 72013德州(1)如图1，已知ABC，以AB，AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BECD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)图1图2(2)如图2，已知ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系
17、？简单说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC45，CAE90，ABBC100米，ACAE，求BE的长图3解：(1)作图如下：证明：ABD和ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60.BADBACCAEBAC.即CADEAB.在CAD和EAB中，CADEAB(SAS)CDEB.(2)BECD，理由如下：四边形ABFD和ACGE均为正方形，ADAB，ACAE，BADCAE90.CADEAB.在CAD和EAB中，CADEAB(SAS)CDEB.(3)由(1)、(2)的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，BAD90，则ADAB100米，ABD45.BD100 米连接CD，则由(2)可得BECD.ABC45，DBC90.在RtDBC中，BC100米，BD100 米，根据勾股定理，得CD 100 (米)BECD100 米22)2100(1002233
数学第4章 图形的认识与三角形 第14讲 三角形与全等三角形
