抛物线及其标准方程-

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1、2021/7/11喷泉喷泉2021/7/12拱桥拱桥2021/7/13 与一个定点与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的比是常数的距离的比是常数e的点的轨迹的点的轨迹（直线（直线 l 不经过点不经过点F）, ,当当0 0e e1时，时，点的点的轨迹是轨迹是 ；当当e e1时，时，点的轨迹是点的轨迹是 ；我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的第二定义第二定义。那么当。那么当e= =1时，点的轨迹又是什么呢？时，点的轨迹又是什么呢？ 椭圆椭圆双曲线双曲线复习提问：复习提问： 2021/7/14 lF抛物线抛物线抛物线的抛物线的焦点焦点抛物线的抛物线的

2、准线准线 平面内与平面内与一个定点一个定点F F和和一条定直线一条定直线l l的距离相等的距离相等的点的轨迹的点的轨迹 叫做叫做抛物线抛物线（不经过点F）M2021/7/151.1.建建: :建立直角坐标系建立直角坐标系. .3.3.列列: :根据条件列出等式根据条件列出等式; ;4.4.代代: :代入坐标与数据代入坐标与数据; ;5.5.化化: :化简方程化简方程. .2.2.设设: :设点设点(x,y);(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：回顾求曲线方程一般步骤：6.6.（证证）: :检验检验2021/7/16 平面内与一个定点平面内与一个定点F和和一条定直线一条定直线l 的距离相的距离相

3、等的点的轨迹叫做等的点的轨迹叫做抛抛物线物线。 （定点定点F不在定不在定直线直线l 上上） 点点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准准线线。（一）（一）抛物线的定义抛物线的定义lFKMN想一想：定义中当直线想一想：定义中当直线l 经经过定点过定点F，则点，则点M的轨迹的轨迹是什么是什么?lF一条经过点一条经过点F且且垂直于垂直于l 的直线的直线 2021/7/17FMlN想一想：求抛物线方程时该如何想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？建立直角坐标系？（二）抛物线的标准方程（二）抛物线的标准方程2021/7/18yxoy=ax2+bx+cy=ax2+

4、cy=ax2思考：思考： 抛物抛物线是一个怎样线是一个怎样的对称图形？的对称图形？2021/7/19如图所示，以经如图所示，以经过点过点F且垂直且垂直于于l 的直线为的直线为x轴轴, x轴与直线轴与直线l 交于点交于点K，与抛物线交于点，与抛物线交于点O，则则O是线段是线段KF的中点的中点，以以O为为原点原点,建立直角坐标系。建立直角坐标系。 设设|KF|=p (p0),那么焦点那么焦点F的坐标为的坐标为( ,0),准准 线线 l 的方程为的方程为x= 。p2p2xyOFMlNK设点设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点是抛物线上任意一点，点M到到l的距离的距离为为d=|MN|想一想：想一想：

5、p的几何意义？的几何意义？求抛物线的方程求抛物线的方程为什么？为什么？2px (, 0 )2p2021/7/110 xyOFMlNK由抛物线的定义，由抛物线的定义，|2pdx|MFd22()|22ppxyx22|()2pMFxy22ypx化简后得化简后得 :抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为22(0)ypx p它表示的抛物线焦点在它表示的抛物线焦点在x轴的轴的正半轴上正半轴上,坐标是坐标是 ，准线方程是准线方程是(, 0 )2p2px 注意：抛物线注意：抛物线标准方程标准方程表示的是顶点在原点，表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。对称轴为坐标轴的抛物线。2021/7/111 一条抛物

6、线，由于它在坐标平面内的位置不一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。它形式。想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？yox2021/7/112准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是

7、二次式式,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.2021/7/113想一想：想一想：第一：一次项变量决定对称轴。第一：一次项变量决定对称轴。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。第二：一次项系数的正负决定了开口方向。说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。形到数的数形结合思想。2021/7/114（1）已知抛物线的标准方程是

8、）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为准线方程为x=- .3232 1 12解解:方程可化为方程可化为:x =- y,故故p=,焦点坐标焦点坐标为为(0, -),准线方程为准线方程为y= .16 1 24 1 242解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴

9、上,且且p/2=2,p=4,故其标准方程为故其标准方程为:x = - 8y22021/7/1151：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）（2）准线方程）准线方程 是是x = 41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x2021/7/116强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；关键：理解关键：理解p的几何意义，的几何意义，熟记标准方程四种形式熟记标准方程四种形式解：解：焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为2 p=2 又又焦点的位置不确定焦点的位置不确定

10、 该抛物线标准方程有四种形式该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况：此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y 题后反思：题后反思：用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程应求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式先确定抛物线的形式，再求再求p值。值。无法确定焦点位置，注意分类讨论无法确定焦点位置，注意分类讨论2021/7/1172、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =021焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（5，0

11、）x= -5（0，）18y= - 18y=2(0 , -2)感悟感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物抛物线的标准方程。线的标准方程。例例2 一种卫星接收天线的轴截面如图（1）所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接受天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。0.5m4.8m2021/7/119解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与角坐标系，使接收天线

12、的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。原点重合。 220.52.4p22(0)px py设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ，由已知条件，由已知条件(0.5,2.4)可得，点可得，点A的坐标是的坐标是 ，代入方程，得，代入方程，得5.76p 即即(2.88,0)211.52xy所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是焦点的坐标是4.8m0.5m2021/7/120（四）课堂小结（四）课堂小结平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四

13、种形式：求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l 不经过点不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。的抛物线。抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0)2021/7/121课外拓展：课外拓展： 1、为什么说二次函数为什么说二次函数y=ax2（a0)的图像是抛物线？你能指出

14、它的焦点的图像是抛物线？你能指出它的焦点坐标和准线方程？坐标和准线方程？2021/7/122解：二次函数可化为：解：二次函数可化为：x2= y1a即2p=1 a4a1焦点坐标是焦点坐标是（0, ），），准线方程是：准线方程是：y =4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上p2 2=14a所以不论所以不论a0,还是还是a0，都有，都有焦点坐标是焦点坐标是（ 0， ），），准线方程是：准线方程是：y =4a114a2021/7/123例例3. 3.求过点求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，

15、把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。29342021/7/124例例4 4、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM2px 2021/7/125 例例4.点点M与点与点F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0的距离小的距离小1,求点求点M的

16、轨迹方程的轨迹方程.例题讲解xyoF(4,0)Mx+5=0 解解: :由已知条件可知由已知条件可知, ,点点MM与点与点F F的距离等于它到直线的距离等于它到直线x+4=0 x+4=0的距离的距离, ,根据抛物线的根据抛物线的定义定义, ,点点MM的轨迹是以点的轨迹是以点F(4,0)F(4,0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线. . p/2=4, p/2=4, p=8. p=8. 又因为焦点在轴的正半轴又因为焦点在轴的正半轴, ,所以点所以点MM的轨迹方程为的轨迹方程为 y y2 2=16x.=16x.2021/7/126变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程

17、.(1)焦点是（0，-3） ；(2)准线是 ；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；12x x2= -12yy2=2x焦点 ，准线1(0,)32132y 焦点 ，准线(0, 2)2y 感悟感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物抛物线的标准方程。线的标准方程。感悟感悟：用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程应求抛物线标准方程应先确定抛物先确定抛物线的形式线的形式，再求再求p p值。值。2021/7/127强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；

18、(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解关键：理解p的几何意义，的几何意义，熟记标准方程四种形式熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线为坐标轴的抛物线解：解：焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为2 p=2 又又焦点的位置不确定焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况：此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y 解：解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；上； 又又抛

19、物线的焦点在直线抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，上， 焦点就是直线与坐标轴的交点，直线焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与与x轴的交点是轴的交点是（4，0），），与与y轴的交点是轴的交点是（0，3），）， 焦点坐标为焦点坐标为（4，0）或或（0，3）；）； 当焦点为当焦点为（4，0）时标准方程为时标准方程为y2=16x , 当焦点为当焦点为（0，3）时标准方程为时标准方程为x2= 12y , 综上，抛物线标准方程为综上，抛物线标准方程为 y2=16x或或 x2= 12y 2021/7/128 例例2.已知抛物线经过点已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程求它

20、的标准方程.解解: :若抛物线焦点在若抛物线焦点在x x轴上轴上, ,设它的标准方程为设它的标准方程为y y2 2=2mx,=2mx, 由于点由于点(-4,-2)(-4,-2)在抛物线上在抛物线上, ,故有故有(-2)(-2)2 2=2m(-4),=2m(-4), 解得解得m=-1m=-1, ,故此故此 时所求标准方程为时所求标准方程为y y2 2=-x;=-x; 若抛物线的焦点在若抛物线的焦点在y y轴上轴上, ,设它的标准方程为设它的标准方程为x x2 2=my,my, 由于点由于点(-4,-2)(-4,-2)在抛物线上在抛物线上, ,故有故有(-4)(-4)2 2=m(-2),m(-2), 解得解得m=-m=-, ,故此故此 时所求标准方程为时所求标准方程为x x2 2=-8y;=-8y; 综上所述综上所述, ,满足题意的抛物线的标准方程为满足题意的抛物线的标准方程为y y2 2=-x=-x或或x x2 2=-8y.=-8y.例题讲解xyo(-4,-2) 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！