数据波动易错点剖析

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1、 统计中的常见错解示例一、概念理解不透造成错解例1下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表，分数708090100人数13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ）A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分错解：选B.根据该小组本次数学测验的平均分是85分，得701+803+90x+1001=85（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出现了3次，90分也出现了3次，所以这组数据的众数是（80+90）=85（分）.故本题答案选B.错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么

2、这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方法来求众数.正解：选D.根据题意，如同前面所解，得x=3，所以在这组数据中80分出现了3次，90分出现了3次，次数最多，所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D.例2.一组数据的方差为s2,将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）A. s2 B. 2s2 C. s2 D. 4s2错解：选A.错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.

3、事实上，样本中各数据与样本平均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得，新数据的方差应是s2.正解：选C.设原数据为x1,x2,xn,其平均数为，方差为s2.根据题意，则新数据为x1, x2, xn,其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为：s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2= ( x1-)2+( x2-)2+( xn-)2= s2.所以，本题答案应选C.例 3.在一次数学测试中，某班名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分） 错解： 平均成绩为 84（ 分） 错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数

4、的计算公式当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计算正解：平均成绩为=84.08（ 分） 例 4.若一组数据 ，, ，的平均数为， 则， ， ，3 的平均数为_.错解： 数据 ， 的平均数仍为 答案：2错解分析：设原数据， ， ，的平均数为直接代入平均数公式计算， 可知新数据 ， ， ， ， 的平均数为 。正解：数据 ， ， ， ， 的平均数答案：4例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数.错解：由于该组数据正中间的数是，所以中位数为=3. 错解分析： 根据中位数的定义知，在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列数据然后观察数据的个数，若数据的个数为奇数，则最中

5、间的就是中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数即为中位数错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断正解：先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,9,9. 正中间有两个数, 分别是5和7, 而它们的平均数是6, 所以此组数据的中位数是6. 例6.某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额,统计了这15人某月的加工零件个数如表加工零件数540450300240210120人数112632 (1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数. (2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260, 分析这个定额是否合理?

6、为什么?错解:(1)计算可知:平均数为260.中位数为240.众数为240. (2)合理.因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,体现了这组数据的集中趋势. 错解分析：第(1)题解答正确.第(2)题解得不对, 原因在于,每月能完成260件的人一共是4人,还有11 人不能达到此定额.尽管260是平均数, 但若将其作为生产定额,不利于调动多数工人的积极性. 正解：(1)同错解；(2)若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240 件,比较合理, 因为240 既是中位数, 又是众数, 大多数人都能完成生产定额, 有利于调动多数工人的积极性.二、未作分类讨论造成漏解例7.一组数据5,7,7,x的

7、中位数与平均数相等,求x的值. 错解:由于平均数为, 而中位数为 =7, 所以=7，解得x=9. 错解分析：错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的. 事实上,x的大小可分三种情况:x5;57.从而可知本题的中位数是不确定的,要分类讨论. 正解：当x5时,中位数为6,此时=6,解得x=5; 当57 时,中位数为7,此时=7,解得x=9.综上可知,x=5 或x=9. 例8.一组数据-1,0,3,5，x的极差是7，那么x的值可能有（ ）A. 1个 B.2个 C. 4个 D. 6个错解：选A.根据题意，由x-（-1）=7，解得x=6，所以x的值有1个，故答案选A.错解分析：根据极差的定义知

8、，数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中，最小数为-1，最大数为5，它们的差是6.而题目中的极差为7，所以x可能是这组数据的最大数，或是最小数.错解中丢失了解.本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.正解：选B.根据极差的定义，对数据中的x的大小必须分两种情况来讨论：当x为这组数据中的最大数时，-1就为其最小数，则有x-(-1)=7,解得x=6.当x为这组数据中的最小数时，5就为其最大数，则有5-x=7,解得x=-2.综上所述，x可取两个值：-2或6.故答案应选B.三、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解例9.有m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则（m+n）个数

9、的平均数是（ ）A. B. C. D. 错解一：选A由题意可知，这是求x与y的平均数，所以它们的平均数是故答案选A错解二：选B由题意可知，所求（m+n）个数的总和为（x+y），所以，其平均数为故答案选B错解分析：以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全所造成的错解一是误认为求x,y的平均数，由此把样本容量当作2，把（x+y）当作了样本总量错解二虽然确定样本容量为（m+n），判断正确，但误将（x+y）当作样本总量，而此时的样本总量应为（mx+ny），所以，它们的平均数是正解：选C例10.甲、乙两工人生产直径为40mm的同一种零件现各抽取两人加工的5个零件，量得尺寸如下（单位：mm）：甲：4

10、2,41,40,39,38乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5问哪位工人生产的零件质量较好？错解：甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为：=（42+41+40+39+38）=40，=（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.所以，两工人生产的零件质量一样好.错解分析：错解是由于掌握知识不全面，考虑问题不周全造成的.分析数据不应该只从平均数上分析，还应该知道利用方差、极差来解决问题.极差、方差都可以反映数据的波动情况，由计算可知工人乙的极差、方差都比工人甲的小，所以工人乙生产的零件质量较好.正解：=（42+41+40+39+38）=40，甲的极差是42-38=4.s甲2=（42-40）2+（41-40）2+（40-40）2+（39-40）2+（38-40）2=2.=（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40，乙的极差是40.5-39.5=1.s乙2=（40.5-40）2+（40.1-40）2+（40-40）2+（39.9-40）2+（39.5-40）2=0.104.综上可知，在两位工人生产零件尺寸的平均数相同的情况下，工人乙的极差和方差都比工人甲的要小得多.所以工人乙生产的零件质量较好.