数列经典例题导讲精

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1、第四章 数列4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推

2、关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么我们把叫做和的等差中项 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3，n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n2

3、),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A，Ba1，则An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（3

4、n5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n1项的和. 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。错解： 错因：在对数列概念的理解上，仅注意了anSnSn-1与的关系，没注意a1=S1.正解： 当时， 当时， 经检验 时 也适合， 当时， 当时， 例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。错解：S30= S102

5、d. d30， S40= S30+d =100.错因：将等差数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.正解：由题意：得代入得S40 。例4等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.错因：误认为正解：例5已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和；错解：由an0得n5前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，Sn=a6+a7+a8+an Sn=错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误

6、认为“从n6起”的和.正解： 例6已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 得： 例7已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） （2） 当近于0时其和绝对值最小 令： 即 1024+ 得： 例8项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （） 证明：依题意 （获证）。 四、典型习题导练1已知，求及。2设，求证：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.6.在等差数列中， ，则 （ ）。A72B60C48D367

7、. 已知是等差数列，且满足，则等于_。8.已知数列成等差数列，且，求的值。4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前n项和公式： 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”

8、，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可

9、求其余两个。三、经典例题导讲例1 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：（常数）为等比数列，即B。错因：忽略了中隐含条件n1.正解：当n1时，a1=S1aq;当n1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例2 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.错解：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =.错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.正解：

10、由题意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.错解： a+a2+a3+an.错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a0时，a+a2+a3+an0; 当a1时，a+a2+a3+ann;当a1时， a+a2+a3+an.例4设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为。证明：证法一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，非零实数成等比数列 设公比为，则，代入 ，即，即。证法二： ，且 非零，。 例5在等比数列中，求该数列前7项之积。 解： ，前七项之积 例6求数列前n项和 解： 两式相减：例7从盛

11、有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 （kg）, a2=0.2（kg）, a3= ()20.2（kg） 由此可见：an= ()n-10.2（kg）, a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比数列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.01

12、25kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比数列，已知，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列

13、中，求的范围。4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增

14、或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, am=an+ (nm)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; 4.当m+n=p+q（m、n、p、q）时，对等差数列an有：am+an=ap+aq；对等比数列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k、b是非零常

15、数)是等差数列；若an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列an,当项数为2n时，S偶-S奇nd；项数为2n1时，S奇S偶a中（n）；8.若一阶线性递推数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲例1设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。错解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项

16、和公式时，忽视了q1的情况.正解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证由已知数列是由正数组成的等比数列，0,.若,则 0；若,原不等式成立.例2 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.即199（米）错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了100（米）因此到球

17、第10次着地时共经过的路程为300（米）答：共经过300米。例3 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，

18、出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，a(1+r)18+ a(1+r)17+ + a(1+r)1答：取出的钱的总数为。 例4求数列的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当时， 当时，例5求数列前n项和解：设数列的通项为bn，则 例6设等差数列an的前n项和为Sn，且，求数列an的前n项和 解：取n =1，则又由 可得：例7大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯

19、所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则当n为奇数时，取 S达到最小值当n为偶数时，取 S达到最大值 四、典型习题导练1在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？2某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)3已知数列中，是它的前项和，并且， （1） 设，求证数列是等比数列； （2） 设，求证数列是等差数列。4.在ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证ABC为正三角形。 5 三数成等比数列，若

20、将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值. 第五章不等式5.1不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式axb(1)当a0时，解为；(2)当a0时，解为；(3)当a0，b0时无解；当a0，b0时，解为R2. 一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1x2 类型解集ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx20xx-，xRRxx=-0RR3

21、.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成0或0的形式，转化为整式不等式求解，即：0f(x)g(x)00然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式

22、，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解注意分类

23、.三、经典例题导讲例1 如果kx2+2kx(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是.A. 1k0 B. 1k0 C. 1k0 D. 1k0错解：由题意：解得：1k0错因：将kx2+2kx(k+2)0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k0的情况.正解：当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立， k0符合题意.当k0时，由题意：解得：1k4故选D.错因：忽略了a4时，x|2x4x|2xa，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要条件,x|2x4x|2xaa4故选C.例3已知f(x) = ax + ，若求的范围.错

24、解： 由条件得 2 2得 +得 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有, 解得： 把和的范围代入得 例4 解不等式（x+2）2(x+3)(x2)错解：（x+2）2原不等式可化为：(x+3)(x2)原不等式的解集为x| x 3或x错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x2) 或（x+2）2(x+3)(x2)，解得：x=3或x2或x2解得：x 3或x2原不等式的解集为x| x 3或x或x例5 解关于x

25、的不等式解：将原不等式展开，整理得： 讨论：当时，当时，若0时；若0时当时，点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.例6关于x的不等式的解集为求关于x的不等式的解集解：由题设知，且是方程的两根， 从而 可以变形为即： 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.例7（06年高考江苏卷）不等式的解集为解：，0， 解得反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较

26、大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.四、典型习题导练1.解不等式2. 解不等式 3.解不等式 4. 解不等式 5.解不等式6.k为何值时，下式恒成立：7. 解不等式8. 解不等式5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: 是一个含有两个变 量 和 的 函数，称为目标函数2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题只含有两个变量的简单线性

27、规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不

28、等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时，直线必须经过可行域4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲例1 画出不等式组表示的平面区域.错解：如图（

29、1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范围.错解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 (1)+ 得：02y3 .2+(1)得. 34x2y12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：令z4x2y，画出可行域如右图所示，由得A点坐标（1.5，0.5）此时z41.520.55.由得B点坐标（3，1）此时z432110.54x2y10 例3 已知,求x2+y2的最值.错解：不等式组表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括

30、边界），令z= x2+y2由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)237，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)2

31、37，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，而在原点处，此时zx2+y202+020，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.例4某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？分析： 数据分析列表书桌书橱资源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利润（元/张）8012

32、0计划生产（张）xy设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为 2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x+3y=0目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为zmax=80100+400120=56000(元)若只生产书桌，得0x300，即最多生产300张书桌，利润为z=80300=24000（元）若只生产书橱，得0，先假设，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“

33、不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使

34、问题化难为易，化繁为简.如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不

35、等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语

36、.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.三、经典例题导讲例1 已知ab(ab),比较与的大小.错解： ab(ab)，b(ab)，(1)当a、b同号时，即ab0或ba0,ba0, ,0,b0,.例2 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.错解：所以选B.错因是由于在、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要

37、全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而，由当ab时，a+b2,两端同乘以，可得（a+b）2ab, ，因此选D.例3 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.错解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(

38、a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4 已知0 x 1, 0 a 1，试比较的大小.解法一： 0 1 - x2 1, 解法二： 0 1 - x2 1, 解法三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0，求证： 证：构造函数 则， 设2ab 由显然 2a 0, ab - 1 0, ab 0 上式 0f (x)在上单调递增，左边四、典型习题导练1.比较（a

39、+3）(a5)与（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正数，求证：3.已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求证：4.若，求证：5.若x 1，y 1，求证： 6证明：若a 0，则5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题

40、的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”为模型的新的形式.三经典例题导讲例1求y=的最小值.错解： y=2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个

41、条件缺一不可.正解：令t=,则t,于是y=由于当t时，y=是递增的，故当t2即x=0时，y取最小值.例2m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m23=0有两个正根.错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根. 例3若正数x，y满足，求xy的最大值解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号因，则，即，所以的最大值为.例4已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值分析：经过审题可以看出，长方体的全面

42、积S是定值因此最大值一定要用S来表示首要问题是列出函数关系式设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某

43、工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC中，APB=BPC=CPA=90，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切R都有.5青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6轮船每小时使用燃料

44、费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里时)的立方成正比已知某轮船的最大船速是18海里时，当速度是10海里时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明 一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这

45、类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法反证法.9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法. 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结

46、果的原因的思维方法. 11. 反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12. 应用反证法证明命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；间接证明命题为真.13. 数学归纳法：设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题p1成立；在假设pk成立的前提上，推出pk1也成立，那么可以断定，pn对一切正整数成立.14. 数学归纳法的步骤： （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确； （2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质

47、的推理. 而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲例1 是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2. (N).当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据、,上述结论对所有的自然数n成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列an有通项公式an=4n-2.猜想数列有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2. (N).当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意