数字信号处理高西全课后答案

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1、时域离散信号和时域离散系统第 1 章1.4习题与上机题解答习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图时域离散信号和时域离散系统第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)，

2、 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波

3、形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第 1 章3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。7

4、38123142时域离散信号和时域离散系统第 1 章4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？2121时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。

5、(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)

6、 （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nmmx0)(时域离散信号和时域离散系统第 1 章故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n

7、1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+

8、bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(

9、n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=a

10、x1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（7） y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。nm 0nm 000nnmnm 0时域离散信号和时域离散系统第 1 章（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变

11、系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|

12、y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 00nnnnk时域离散信号和时域离散系统第 1 章m（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系

13、统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)时域离散信号和时域离散系统第 1 章题7图时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5时域离散信号和时域离散系统第 1 章解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式

14、分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121时域离散信号和时域离散系统第 1 章8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1）

15、 h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mnm时域离散信号和时域离散系统第 1 章根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0nm 034nm时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2

16、)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时， mm时域离散信号和时域离散系统第 1 章nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时n

17、nmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明： （1） 因为令m=nm, 则mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmn

18、xnhnxm时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 利用上面已证明的结果， 得到)()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm时域离散信号和时域离散系统第 1 章交换求和号的次序， 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx时域离散信号和时域离散系统第 1 章)()()()()()()()()()()()()()( )3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhn

19、hnxmmm10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0时， n0083)( xnyn=1时， )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm时域离散信号和时域离散系统第 1 章)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2时

20、， 最后得到nmmnmxny05 . 083)(11 设系统由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： 令x(n)=(n), 则) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0时， 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1时， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时， 21) 1 (21)2(hhn=3时， 221)2(21) 3(hh归纳起来， 结果为)() 1(21)(1nnunhn时域离散信号和时域离

21、散系统第 1 章12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。)() 1()(11nnayny该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0时， 0

22、) 1() 1( )0( 22yayn=1时， 1)0()0( ) 1 (22yayn=2时， ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意 n 时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后得到) 1()( 12nuanyn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0时， n=1时， 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ayayn=2时， 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=3时， 任意 n 时

23、， 32233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后得到)() 1()(13nuanuanynn时域离散信号和时域离散系统第 1 章由（1）和（2）得到y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零

24、时， 是一个线性时不变系统。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期为)(txa)(txas 05. 01fT时域离散信号和时域离散系统第 1 章)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnnajj（2）（3） x(n)的数字频率=0.8， 故， 因而周期N=

25、5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。252时域离散信号和时域离散系统第 1 章题13解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；（2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 已知输入信号， 用卷积法

26、求输出。 输出信号y(n)为kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章时域离散信号和时域离散系统第 1 章15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为)2(2)() 1(21)(nxnxnyny

27、1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用递推法计算系统的零状态响应。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=单位脉冲序列， 长度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系数时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn=filter(B， A， xn) %调用filter解差分方程， 求系统输出信号y(n)n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n

28、， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系统的零状态响应 )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序运行结果： 时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波

29、形图如题15*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题15*解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章16*. 已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解解： （1） 系统差分方程的系数向量为B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系统差分方程的系数向量为B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1时域离散信号和系统的频域分析第章2.5习题与上机题解答习题与上机题解答1 设X(ej)和Y(ej)分别

30、是x(n)和y(n)的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇数偶数nnnxnx 0 )2/()(9(9)时域离散信号和系统的频域分析第章解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 则)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3） nnnxnxje )()(FT令n=

31、n， 则)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面证明上式成立： mmnymxnynx)()()()(时域离散信号和系统的频域分析第章mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 则)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk时域离散信号和系统的频域分析第章（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj时域离散信号和系统的频域

32、分析第章或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因为nnnxXjje )()e (对该式两边求导， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj时域离散信号和系统的频域分析第章因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 则时域离散信号和系统的频域分析第章)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶数时域离散信号和系统的频域分析第章或者)e()e (21)2(FT21j21j

33、XXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）题结果， 令x(n)=y(n), 则d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx时域离散信号和系统的频域分析第章（9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 则)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解： nnnxnsinde21)(0j003. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列， 试证明输

34、入x(n)=A cos(0n+j)的稳态响应为)(cos| )e (|)(00j0jnHAny时域离散信号和系统的频域分析第章解解： 假设输入信号x(n)=ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式说明当输入信号为复指数序列时， 输出序列仍是复指数序列， 且频率相同， 但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题：时域离散信号和系统的频域分析第章)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (

35、eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn时域离散信号和系统的频域分析第章上式中|H(ej)|是的偶函数， 相位函数是的奇函数， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4设其它01 . 01)(nnx时域离散信号和系统的频域分析第章将x(n)以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列， 画出x(n)和的波形， 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 )(nx为

36、周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn时域离散信号和系统的频域分析第章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第章或者 为周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn时域离散信号和系统的频域分析第章)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk时域离散信号和系统的频域分析第章5. 设题5图所示的序列x(n)的

37、FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列运算或工作：题5图时域离散信号和系统的频域分析第章)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX时域离散信号和系统的频域分析第章解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx时域离散信号和系统的频域

38、分析第章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图时域离散信号和系统的频域分析第章(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因为)(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX时域离散信号和系统的频域分析第章6 试求如下序列的傅里叶变换：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX时域离散信号和系统的频域分析第章(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2

39、j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j时域离散信号和系统的频域分析第章或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj

40、7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj时域离散信号和系统的频域分析第章7 设： （1） x(n)是实偶函数， （2） x(n)是实奇函数， 分别分析推导以上两种假设下， 其x(n)的傅里叶变换性质。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因为x(n)是实偶函数， 对上式两边取共轭， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章因此 X(ej)=X*（ej）上式说明x(n)是实序列， X

41、(ej)具有共轭对称性质。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函数， x(n) sin是奇函数， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j时域离散信号和系统的频域分析第章该式说明X(ej)是实函数， 且是的偶函数。 总结以上, x(n)是实偶函数时， 对应的傅里叶变换X(ej)是实函数， 是的偶函数。 （2） x(n)是实奇函数。 上面已推出， 由于x(n)是实序列， X(ej)具有共轭对称性质， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj时域离散信号和系统的频域分析第章由于x(n)是奇函数， 上式中x(

42、n) cos是奇函数， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej这说明X(ej)是纯虚数， 且是的奇函数。 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图时域离散信号和系统的频域分析第章9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。解解：nnnxXjje )()e (因为xe(n)的傅里叶变换对应X(

43、ej)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ej)的虚部乘以j， 因此时域离散信号和系统的频域分析第章cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo时域离散信号和系统的频域分析第章10 若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (时域离散信号和系统的频域分析第章121011 21

44、)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH时域离散信号和系统的频域分析第章11 若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT时域离散信号和系统的频域分析第章12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH时

45、域离散信号和系统的频域分析第章12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY时域离散信号和系统的频域分析第章13 已知xa(t)=2 cos(2f0

46、t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00时域离散信号和系统的频域分析第章上式中指数函数的傅里叶变换不存在， 引入奇异函数函数， 它的傅里叶变换可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(

47、0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf时域离散信号和系统的频域分析第章（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章式中0=0T=0.5 rad上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14 求出以下序列的Z变换及收敛域:(1) 2nu(n

48、)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)时域离散信号和系统的频域分析第章解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn时域离散信号和系统的频域分析第章21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn时域离散信号和系统的频域分析

49、第章15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。时域离散信号和系统的频域分析第章解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零点为3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。时域离

50、散信号和系统的频域分析第章题15解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 时域离散信号和系统的频域分析第章零点为 cos)cos(01jj rz极点为00j3j2e erzrz极零点分布图如题15解图(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 则x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y

51、(z)2时域离散信号和系统的频域分析第章因为) 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX极点为z1=0, z2=1零点为3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1处的极零点相互对消， 收敛域为0|z|， 极零点分布图如题15解图(c)所示。时域离散信号和系统的频域分析第章16 已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的

52、原序列。 （1）收敛域|z|0.5： 时域离散信号和系统的频域分析第章zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0时， 因为c内无极点，x(n)=0;n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么时域离散信号和系统的频域分析第章) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnzn

53、zn(2)收敛域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0时， c内有极点 0.5、 0 ， 但 0 是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， c外极点只有一个， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn时域离散信号和系统的频域分析第章（3）收敛域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0时， c内有极点 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 .

54、 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无极点， 所以x(n)=0。 时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分别求： (1) x(n)的Z变换；(2) nx(n)的Z变换；(3) anu(n)的Z变换。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1时域离散信号和系统的频域分析第章azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)

55、100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分别求： （1） 收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)。 时域离散信号和系统的频域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收敛域0.5|z|2:n0时，c内有极点0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0时， c内有极点0.5、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n时域离散信号和系统的频域分析第章最后得到 x(n)=2

56、nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0时， c内有极点0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内有极点0.5、 2、 0， 但极点0是一个n阶极点， 改成求c外极点留数， 可是c外没有极点， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反变换：21|,252311)(211zzzzzX(1)时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 4113

57、11)(21zzzX 4131)(22zzzzX时域离散信号和系统的频域分析第章21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn时域离散信号和系统的频域分析第章(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX时域离散信号和系统的频域分析第章) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(试用x(n)的Z变换X(z)和x(

58、n)的傅里叶变换X(ej)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej)。时域离散信号和系统的频域分析第章解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=n+m, 则)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx时域离散信号和系统的频域分析第章解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因为x(n)是实序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx时

59、域离散信号和系统的频域分析第章21 用Z变换法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n3时。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY时域离散信号和系统的频域分析第章1111119 . 005. 019 . 0

60、105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0时， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9

61、 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzY时域离散信号和系统的频域分析第章nnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)()(11111n0时， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0时， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n)时域离散信号和系统的频域分析第章(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 当n2时Y(z)0.8z1Y(z)

62、+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111时域离散信号和系统的频域分析第章n0时，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5nn0时, y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)时域离

63、散信号和系统的频域分析第章22 设线性时不变系统的系统函数H(z)为为实数aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络， 即|H(ej)|=常数；（2） 参数 a 如何取值， 才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)时域离散信号和系统的频域分析第章极点为a, 零点为a1。 设a=0.6， 极零点分布图如题22解图(a)所示。 我们知道|H(ej)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度， 按照题22解图(a)， 得到ACABaaazazHzj1je1jee)e (j因为角公用， aOAOBOCOA1，且AO

64、BAOC， 故aACAB1，即时域离散信号和系统的频域分析第章aACABH1)e (j故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j时域离散信号和系统的频域分析第章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第章（2） 只有选择|a|1才能使系统因果稳定。 设a=0.6， 极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23 设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域

65、， 并求出其单位脉冲响应h(n)；（3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)将上式进行Z变换， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1时域离散信号和系统的频域分析第章因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零点为z=0。 令z2z1=0， 求出极点： 2511z2512z极零点分布图如题23解图所示。 时域离散信号和系统的频域分析第章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第章(2) 由于限定系统是因果的， 收敛域需选包含点在内的收敛域， 即。 求系统的单位脉

66、冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H(z)的逆Z变换。 我们采用第二种方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中时域离散信号和系统的频域分析第章 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnn时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因为h(n)是因果序列, n0时， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn时域离散信号和系统的频域分析第章(3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzzzHzFnnn0时， c内只有极点z2， 只需求z2点的留数， nzzFnh)251(51),( sRe)(2时域离散信号和系统的频域分析第章n0时， c内只有两个极点： z2和z=0