244弧长和扇形面积

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1、弦切角弦切角PAB我我们们曾曾经经学学习习过过的的有有关关于于圆圆的的角角O(A)BPOA与圆心 重合PAB为圆心角点A运动到圆上OABPPAB为为圆圆周周角角PA绕绕A旋旋转转使使PA与与圆圆相相切切ABOPPAB此此时时是是什什么么角角？BOPABO答答：是是圆圆 的的弦切角弦切角顶点在圆上一边与圆相顶点在圆上一边与圆相交，另一边与圆相切交，另一边与圆相切的的角叫做角叫做弦切角弦切角PABPAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？PABm弧弧AmB是弦切角是弦切角PAB所夹的弧所夹的弧.顶点在圆上顶点在圆上，一边与圆相交一边与圆相交，另一边另一边与圆相切与圆

2、相切的角叫做的角叫做弦切角。弦切角。BACABCABCABCABC下面五个图中的下面五个图中的BACBAC是不是弦切角？是不是弦切角？ABC.O上。圆心在为直角，ACBAC.OABC圆心在角外。为锐角，BAC.OABC圆心在角内。为钝角，BAC、劣弧、优弧。所夹的弧分别是：半圆上图中 BAC如上图的圆周角现在分别作出他们所对,APCABPC.OD.OABPC.OABDPCBACAPC猜想：弦切角与圆周角的关系从数学的角度看，弦切角能分成几大类？弦切角定理弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.推论：推论：两个弦切角所夹的弧相等两个弦切角所夹的弧相等, ,那么那

3、么这两个弦切角相等这两个弦切角相等。BDECAOYSYZYSYZ在田径二百米跑比赛中，每位运动在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？弯路的展直长度相同吗？制造弯形管道时，经常要先按中心线制造弯形管道时，经常要先按中心线计算计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算再下料，这就涉及到计算弧长弧长的问题的问题（1 1）半径为半径为R的的圆圆, ,周长是多少？周长是多少？C=2R （3 3）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？ （4 4）140140圆心角所对的圆心角所对的

4、弧长是多少？弧长是多少？97180140RRl（2 2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？180RnlnABO若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长为为 ，则，则 l1803602RRl例例:制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长展直长度度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L L( (单单位：位：mmmm，精确到精确到1mm)1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB AB 的长的长L L （mm） 15705001

5、80900100因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm） 297015707002答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm2970mm 4、有一段弯道是圆弧形的、有一段弯道是圆弧形的,道道长是长是12m,弧所对的圆心角是弧所对的圆心角是81o,求这段圆弧的半径求这段圆弧的半径R(精确到精确到0.1m)(书书P122) 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和圆心角所对的和圆心角所对的弧弧围成的图围成的图形是形是扇形扇形。半径半径半径半径圆心角圆心角圆心角圆心角弧弧ABOBA扇形扇形那么：那么： 在半径为在半径为R R 的圆中的圆中, ,n n的圆

6、心角的圆心角所对的扇形面积的计算公式为所对的扇形面积的计算公式为360Rn2扇扇形形S 如果圆的半径为如果圆的半径为R，则圆的面积为则圆的面积为 ，l的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 ， 的圆心角对应的扇形面积为的圆心角对应的扇形面积为 2R3602Rn36036022RnRnnlO比较扇形面积比较扇形面积(S)公式和弧长公式和弧长(l)公公式式,你能用弧长来表示扇形的面积吗你能用弧长来表示扇形的面积吗?12SRl探索弧长与扇形面积的关系探索弧长与扇形面积的关系SR想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似扇形的面积公式与什么公式类似？ 3602RnS扇形180RnlABOO比

7、较扇形面积与弧长公式比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积用弧长表示扇形面积:lRS21扇形1 1个圆面积个圆面积21个圆面积个圆面积41个圆面积个圆面积43个圆面积个圆面积例例4：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。0BACD有水部分的面积有水部分的面积 = S扇扇- S解：如图，连接解：如图，连接OA、OB，作弦，作弦AB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为D，交弧交弧AB于点于点C. OC=0.6，

8、DC=0.3 OD=OCDC=0.3在在RtOAD中，中，OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：AD=0.33在在Rt OAD中，中，OD=1/2OA OAD=30 A OD=60， AOB=120有水部分的面积有水部分的面积0BADC变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面，求截面上有水部分的面积。上有水部分的面积。(结果保留结果保留 )0ABDCE有水部分的面积有水部分的面积 = S扇扇+ S BCA1:A, B, C两两不相交两两不相交,且半径都是且半径都是1cm,则

9、图中的三个扇形的面积之和为多少则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长弧长的和为多少的和为多少? （07年北京）年北京） 2. 2. 如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离, ,它它们的半径都是们的半径都是1, 1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (空白部分空白部分) )的面积之和的面积之和是是_._.ABCD（07年山东）年山东） 3.（2007，山东）如图所示，分别以，山东）如图所示，分别以n边形边形的顶点为圆心，以单位的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为影部分的面积之和为 个平方单位个平方单位 1. 1. 如图如图, ,一一根根 长的绳子长的绳子, ,一端栓在柱子一端栓在柱子上上, ,另一端栓着另一端栓着一只羊一只羊, , 羊的羊的活动最大区域活动最大区域面积是面积是 . . 5 53m5m5mo4m5mo4mABC